![Resolucao moyses vol 1 de Resolucao moyses vol 1 de](/uploads/1/2/5/6/125635080/666819885.jpg)
nl24-</title>n<meta http-equiv='Content-Type' content='text/html; charset='UTF-8'>n</head>nn<div><div><p><b>475n</b></p>n<p><b>CHAPTER 11n</b></p>n<p><b>Analytic Geometry in Calculusn</b></p>n<p><b>EXERCISE SET 11.1n</b></p>n<p><b>1.n</b></p>n<p>(1, 6)n(3, 3)n</p>n<p>(4, e) (–1, r)n0n</p>n<p>c/2n</p>n<p>(5, 8)n</p>n<p>(–6, –<i>p</i>)n</p>n<p><b>2.n</b></p>n<p>( , L)32n0n</p>n<p>c/2n</p>n<p>(–3, i)(–5, @)n</p>n<p>(2, $)n(0, c)n</p>n<p>(2, g)n</p>n<p><b>3. (a) </b>(3n<i>√n</i>3<i>, </i>3) <b>(b) </b>(<i>−</i>7<i>/</i>2<i>, </i>7n</p>n<p><i>√n</i>3<i>/</i>2) <b>(c) </b>(3n</p>n<p><i>√n</i>3<i>, </i>3)n</p>n<p><b>(d) </b>(0<i>, </i>0) <b>(e) </b>(<i>−</i>7n<i>√n</i>3<i>/</i>2<i>, </i>7<i>/</i>2) <b>(f) </b>(<i>−</i>5<i>, </i>0)n</p>n<p><b>4. (a) </b>(<i>−n√n</i>2<i>,−n</i></p>n<p><i>√n</i>2) <b>(b) </b>(3n</p>n<p><i>√n</i>2<i>,−</i>3n</p>n<p><i>√n</i>2) <b>(c) </b>(2n</p>n<p><i>√n</i>2<i>, </i>2n</p>n<p><i>√n</i>2)n</p>n<p><b>(d) </b>(3<i>, </i>0) <b>(e) </b>(0<i>,−</i>4) <b>(f) </b>(0<i>, </i>0)n</p>n<p><b>5. (a) </b>(5<i>, π</i>)<i>, </i>(5<i>,−π</i>) <b>(b) </b>(4<i>, </i>11<i>π/</i>6)<i>, </i>(4<i>,−π/</i>6) <b>(c) </b>(2<i>, </i>3<i>π/</i>2)<i>, </i>(2<i>,−π/</i>2)n<b>(d) </b>(8n</p>n<p><i>√n</i>2<i>, </i>5<i>π/</i>4)<i>, </i>(8n</p>n<p><i>√n</i>2<i>,−</i>3<i>π/</i>4) <b>(e) </b>(6<i>, </i>2<i>π/</i>3)<i>, </i>(6<i>,−</i>4<i>π/</i>3) <b>(f) </b>(n</p>n<p><i>√n</i>2<i>, π/</i>4)<i>, </i>(n</p>n<p><i>√n</i>2<i>,−</i>7<i>π/</i>4)n</p>n<p><b>6. (a) </b>(2<i>, </i>5<i>π/</i>6) <b>(b) </b>(<i>−</i>2<i>, </i>11<i>π/</i>6) <b>(c) </b>(2<i>,−</i>7<i>π/</i>6) <b>(d) </b>(<i>−</i>2<i>,−π/</i>6)n</p>n<p><b>7. (a) </b>(5<i>, </i>0<i>.</i>9273) <b>(b) </b>(10<i>,−</i>0<i>.</i>92730) <b>(c) </b>(1<i>.</i>27155<i>,−</i>0<i>.</i>66577)n</p>n<p><b>8. (a) </b>(5<i>, </i>2<i>.</i>2143) <b>(b) </b>(3<i>.</i>4482<i>, </i>2<i>.</i>6260) <b>(c) </b>(n√n</p>n<p>4 + <i>π</i>2<i>/</i>36<i>, </i>0<i>.</i>2561)n</p>n<p><b>9. (a) </b><i>r</i>2 = <i>x</i>2 + <i>y</i>2 = 4; circle <b>(b) </b><i>y </i>= 4; horizontal linen</p>n<p><b>(c) </b><i>r</i>2 = 3<i>r </i>cos <i>θ</i>, <i>x</i>2 + <i>y</i>2 = 3<i>x</i>, (<i>x− </i>3<i>/</i>2)2 + <i>y</i>2 = 9<i>/</i>4; circlen<b>(d) </b>3<i>r </i>cos <i>θ </i>+ 2<i>r </i>sin <i>θ </i>= 6, 3<i>x</i>+ 2<i>y </i>= 6; linen</p>n<p><b>10. (a) </b><i>r </i>cos <i>θ </i>= 5, <i>x </i>= 5; vertical linen<b>(b) </b><i>r</i>2 = 2<i>r </i>sin <i>θ</i>, <i>x</i>2 + <i>y</i>2 = 2<i>y</i>, <i>x</i>2 + (<i>y − </i>1)2 = 1; circlen<b>(c) </b><i>r</i>2 = 4<i>r </i>cos <i>θ </i>+ 4<i>r </i>sin <i>θ, x</i>2 + <i>y</i>2 = 4<i>x</i>+ 4<i>y, </i>(<i>x− </i>2)2 + (<i>y − </i>2)2 = 8; circlen<b>(d) </b><i>r </i>=n</p>n<p>1ncos <i>θn</i></p>n<p>sin <i>θn</i>cos <i>θn</i></p>n<p>, <i>r </i>cos2 <i>θ </i>= sin <i>θ</i>, <i>r</i>2 cos2 <i>θ </i>= <i>r </i>sin <i>θ</i>, <i>x</i>2 = <i>y</i>; parabolan</p>n<p><b>11. (a) </b><i>r </i>cos <i>θ </i>= 3 <b>(b) </b><i>r </i>=n<i>√n</i>7n</p>n<p><b>(c) </b><i>r</i>2 + 6<i>r </i>sin <i>θ </i>= 0, <i>r </i>= <i>−</i>6 sin <i>θn<b></b></i><b>(d) </b>9(<i>r </i>cos <i>θ</i>)(<i>r </i>sin <i>θ</i>) = 4, 9<i>r</i>2 sin <i>θ </i>cos <i>θ </i>= 4, <i>r</i>2 sin 2<i>θ </i>= 8<i>/</i>9n</p>n<p><b>12. (a) </b><i>r </i>sin <i>θ </i>= <i>−</i>3 <b>(b) </b><i>r </i>=n<i>√n</i>5n</p>n<p><b>(c) </b><i>r</i>2 + 4<i>r </i>cos <i>θ </i>= 0, <i>r </i>= <i>−</i>4 cos <i>θn<b></b></i><b>(d) </b><i>r</i>4 cos2 <i>θ </i>= <i>r</i>2 sin2 <i>θ</i>, <i>r</i>2 = tan2 <i>θ</i>, <i>r </i>= tan <i>θ</i></p>nn</div></div>n<div><div><p><b>476 Chapter 11n</b></p>n<p><b>13.n</b></p>n<p>0n</p>n<p>c/2n</p>n<p>–3n</p>n<p>–3n</p>n<p>3n</p>n<p>3n</p>n<p><i>r </i>= 3 sin 2<i>θn</i></p>n<p><b>14.n</b></p>n<p>–3 3n</p>n<p>–2.25n</p>n<p>2.25n</p>n<p><i>r </i>= 2 cos 3<i>θn</i></p>n<p><b>15.n</b></p>n<p>0n</p>n<p>c/2n</p>n<p>–4 4n–1n</p>n<p><i>r </i>= 3<i>− </i>4 sin 3<i>θn</i></p>n<p><b>16.n</b></p>n<p>0n</p>n<p>c/2n</p>n<p><i>r </i>= 2 + 2 sin <i>θn</i></p>n<p><b>17. (a) </b><i>r </i>= 5n</p>n<p><b>(b) </b>(<i>x− </i>3)2 + <i>y</i>2 = 9<i>, r </i>= 6 cos <i>θn<b></b></i><b>(c) </b>Example 6, <i>r </i>= 1<i>− </i>cos <i>θn</i></p>n<p><b>18. (a) </b>From (8-9), <i>r </i>= <i>a ± b </i>sin <i>θ </i>or <i>r </i>= <i>a ± b </i>cos <i>θ</i>. The curve is not symmetric about the <i>y</i>-axis,nso Theorem 11.1.1(a) eliminates the sine function, thus <i>r </i>= <i>a ± b </i>cos <i>θ</i>. The cartesian pointn(<i>−</i>3<i>, </i>0) is either the polar point (3<i>, π</i>) or (<i>−</i>3<i>, </i>0), and the cartesian point (<i>−</i>1<i>, </i>0) is eithernthe polar point (1<i>, π</i>) or (<i>−</i>1<i>, </i>0). A solution is <i>a </i>= 1<i>, b </i>= <i>−</i>2; we may take the equation asn<i>r </i>= 1<i>− </i>2 cos <i>θ</i>.n</p>n<p><b>(b) </b><i>x</i>2 + (<i>y </i>+ 3<i>/</i>2)2 = 9<i>/</i>4<i>, r </i>= <i>−</i>3 sin <i>θn<b></b></i><b>(c) </b>Figure 11.1.18, <i>a </i>= 1<i>, n </i>= 3<i>, r </i>= sin 3<i>θn</i></p>n<p><b>19. (a) </b>Figure 11.1.18, <i>a </i>= 3<i>, n </i>= 2<i>, r </i>= 3 sin 2<i>θn</i></p>n<p><b>(b) </b>From (8-9), symmetry about the <i>y</i>-axis and Theorem 11.1.1(b), the equation is of the formn<i>r </i>= <i>a± b </i>sin <i>θ</i>. The cartesian points (3<i>, </i>0) and (0<i>, </i>5) give <i>a </i>= 3 and 5 = <i>a</i>+ <i>b</i>, so <i>b </i>= 2 andn<i>r </i>= 3 + 2 sin <i>θ</i>.n</p>n<p><b>(c) </b>Example 8, <i>r</i>2 = 9 cos 2<i>θn</i></p>n<p><b>20. (a) </b>Example 6 rotated through <i>π/</i>2 radian: <i>a </i>= 3<i>, r </i>= 3<i>− </i>3 sin <i>θn<b></b></i><b>(b) </b>Figure 11.1.18, <i>a </i>= 1<i>, r </i>= cos 5<i>θn</i></p>n<p><b>(c) </b><i>x</i>2 + (<i>y − </i>2)2 = 4, <i>r </i>= 4 sin <i>θ</i></p>nn</div></div>n<div><div><p><b>Exercise Set 11.1 477n</b></p>n<p><b>21.n</b></p>n<p>Linen</p>n<p>4n</p>n<p><b>22.n</b></p>n<p>Linen</p>n<p>(n</p>n<p><b>23.n</b></p>n<p>Circlen</p>n<p>3n</p>n<p><b>24.n</b></p>n<p>4n</p>n<p>Circlen</p>n<p><b>25. </b>6n</p>n<p>Circlen</p>n<p><b>26.n</b></p>n<p>1n</p>n<p>2n</p>n<p>Cardioidn</p>n<p><b>27.n</b></p>n<p>Circlen</p>n<p>1n2n</p>n<p><b>28.n</b></p>n<p>4n</p>n<p>2n</p>n<p>Cardioidn</p>n<p><b>29.n</b></p>n<p>Cardioidn</p>n<p>3n</p>n<p>6 <b>30.n</b></p>n<p>5n</p>n<p>10n</p>n<p>Cardioidn</p>n<p><b>31. </b>4n</p>n<p>8n</p>n<p>Cardioidn</p>n<p><b>32.n</b></p>n<p>1n</p>n<p>3n</p>n<p>1n</p>n<p>Limaçonn</p>n<p><b>33.n</b>1n</p>n<p>2n</p>n<p>Cardioidn</p>n<p><b>34.n</b></p>n<p>1 7n</p>n<p>4n</p>n<p>Limaçonn</p>n<p><b>35.n</b></p>n<p>3n</p>n<p>2n</p>n<p>1n</p>n<p>Limaçonn</p>n<p><b>36.n</b></p>n<p>4n</p>n<p>2n</p>n<p>3n</p>n<p>Limaçonn</p>n<p><b>37.n</b></p>n<p>Limaçonn</p>n<p>3n</p>n<p>1 7n</p>n<p><b>38.n</b></p>n<p>2n</p>n<p>5n</p>n<p>8n</p>n<p>Limaçonn</p>n<p><b>39.n</b></p>n<p>3n</p>n<p>5n</p>n<p>Limaçonn</p>n<p>7n</p>n<p><b>40.n</b></p>n<p>31n</p>n<p>7n</p>n<p>Limaçonn</p>n<p><b>41.n</b></p>n<p>Lemniscaten</p>n<p>1n</p>n<p><b>42.n</b>3n</p>n<p>Lemniscaten</p>n<p><b>43.n</b></p>n<p>Lemniscaten</p>n<p>4n<b>44.n</b></p>n<p>Spiraln</p>n<p>2cn</p>n<p>4cn</p>n<p>6cn</p>n<p>8c</p>nn</div></div>n<div><div><p><b>478 Chapter 11n</b></p>n<p><b>45.n</b></p>n<p>Spiraln</p>n<p>2cn4cn</p>n<p>6cn</p>n<p>8cn</p>n<p><b>46. </b>2cn</p>n<p>6cn</p>n<p>4cn</p>n<p>Spiraln</p>n<p><b>47.n</b></p>n<p>2n</p>n<p>Four-petal rosen</p>n<p><b>48.n</b>3n</p>n<p>Four-petal rosen</p>n<p><b>49.n</b></p>n<p>9n</p>n<p>Eight-petal rosen</p>n<p><b>50.n</b></p>n<p>2n</p>n<p>Three-petal rosen</p>n<p><b>51.n</b></p>n<p>–1 1n</p>n<p>–1n</p>n<p>1 <b>52. </b>1n</p>n<p>–1n</p>n<p>–1 1n</p>n<p><b>53. </b>3n</p>n<p>–3n</p>n<p>–3 3n</p>n<p><b>54. </b>3n</p>n<p>–3n</p>n<p>–3 3n</p>n<p><b>55. </b>1n</p>n<p>–1n</p>n<p>–1 1n</p>n<p><b>56. </b>0 <i>≤ θ ≤ </i>8<i>π <b></b></i><b>57. (a) </b><i>−</i>4<i>π < θ < </i>4<i>π</i></p>nn</div></div>n<div><div><p><b>Exercise Set 11.1 479n</b></p>n<p><b>58. </b>Family I: <i>x</i>2 + (<i>y − b</i>)2 = <i>b</i>2<i>, b < </i>0, or <i>r </i>= 2<i>b </i>sin <i>θ</i>; Family II: (<i>x − a</i>)2 + <i>y</i>2 = <i>a</i>2<i>, a < </i>0, orn<i>r </i>= 2<i>a </i>cos <i>θn</i></p>n<p><b>59. (a) </b><i>r </i>=n<i>an</i></p>n<p>cos <i>θn, r </i>cos <i>θ </i>= <i>a, x </i>= <i>a <b></b></i><b>(b) </b><i>r </i>sin <i>θ </i>= <i>b, y </i>= <i>bn</i></p>n<p><b>60. </b>In I, along the <i>x</i>-axis, <i>x </i>= <i>r </i>grows ever slower with <i>θ</i>. In II <i>x </i>= <i>r </i>grows linearly with <i>θ</i>.nHence I: <i>r </i>=n</p>n<p><i>√nθ</i>; II: <i>r </i>= <i>θ</i>.n</p>n<p><b>61. (a) </b>c/2n</p>n<p>0n</p>n<p><b>(b) </b>c/2n</p>n<p>0n</p>n<p>(1, 9)n</p>n<p><b>(c) </b>c/2n</p>n<p>0n</p>n<p>(1, #)n</p>n<p><b>(d) </b>c/2n</p>n<p>0n</p>n<p>(–1, 3)n</p>n<p><b>(e) </b>c/2n</p>n<p>0n(1, 0)n</p>n<p>(1, 6)n</p>n<p>(2, 3)n</p>n<p><b>62. (a) </b>c/2n</p>n<p>0n</p>n<p>(1, ()n</p>n<p><b>(b) </b>c/2n</p>n<p>0n</p>n<p>(1, 3 )</p>nn</div></div>n<div><div><p><b>480 Chapter 11n</b></p>n<p><b>(c) </b>c/2n</p>n<p>0n</p>n<p>(1, ()n</p>n<p><b>(d) </b>c/2n</p>n<p>0n</p>n<p>(–1, ()n</p>n<p><b>(e) </b>c/2n</p>n<p>0n(1, 0)n</p>n<p>(1, 6)n</p>n<p>(2, 9)n</p>n<p><b>64. </b>The image of (<i>r</i>0<i>, θ</i>0) under a rotation through an angle <i>α </i>is (<i>r</i>0<i>, θ</i>0 + <i>α</i>). Hence (<i>f</i>(<i>θ</i>)<i>, θ</i>) lies onnthe original curve if and only if (<i>f</i>(<i>θ</i>)<i>, θ</i>+<i>α</i>) lies on the rotated curve, i.e. (<i>r, θ</i>) lies on the rotatedncurve if and only if <i>r </i>= <i>f</i>(<i>θ − α</i>).n</p>n<p><b>65. (a) </b><i>r </i>= 1 + cos(<i>θ − π/</i>4) = 1 +n<i>√n</i>2n2n</p>n<p>(cos <i>θ </i>+ sin <i>θ</i>)n</p>n<p><b>(b) </b><i>r </i>= 1 + cos(<i>θ − π/</i>2) = 1 + sin <i>θn<b></b></i><b>(c) </b><i>r </i>= 1 + cos(<i>θ − π</i>) = 1<i>− </i>cos <i>θn</i></p>n<p><b>(d) </b><i>r </i>= 1 + cos(<i>θ − </i>5<i>π/</i>4) = 1<i>−n√n</i>2n2n</p>n<p>(cos <i>θ </i>+ sin <i>θ</i>)n</p>n<p><b>66. </b><i>r</i>2 = 4 cos 2(<i>θ − π/</i>2) = <i>−</i>4 cos 2<i>θn</i></p>n<p><b>67. </b>Either <i>r − </i>1 = 0 or <i>θ − </i>1 = 0,nso the graph consists of thencircle <i>r </i>= 1 and the line <i>θ </i>= 1.n</p>n<p>0n</p>n<p>c/2n</p>n<p><i>r</i> = 1n</p>n<p><i>u</i> = 1n</p>n<p><b>68. (a) </b><i>r</i>2 = <i>Ar </i>sin <i>θ </i>+<i>Br </i>cos <i>θ</i>, <i>x</i>2 + <i>y</i>2 = <i>Ay </i>+<i>Bx, </i>(<i>x−B/</i>2)2 + (<i>y −A/</i>2)2 = (<i>A</i>2 +<i>B</i>2)<i>/</i>4, whichnis a circle of radiusn</p>n<p>1n2n</p>n<p>√n<i>A</i>2 +<i>B</i>2.n</p>n<p><b>(b) </b>Formula (4) follows by setting <i>A </i>= 0<i>, B </i>= 2<i>a, </i>(<i>x− a</i>)2 + <i>y</i>2 = <i>a</i>2, the circle of radius <i>a </i>aboutn(<i>a, </i>0). Formula (5) is derived in a similar fashion.n</p>n<p><b>69. </b><i>y </i>= <i>r </i>sin <i>θ </i>= (1 + cos <i>θ</i>) sin <i>θ </i>= sin <i>θ </i>+ sin <i>θ </i>cos <i>θ</i>,n<i>dy/dθ </i>= cos <i>θ − </i>sin2 <i>θ </i>+ cos2 <i>θ </i>= 2 cos2 <i>θ </i>+ cos <i>θ − </i>1 = (2 cos <i>θ − </i>1)(cos <i>θ </i>+ 1);n<i>dy/dθ </i>= 0 if cos <i>θ </i>= 1<i>/</i>2 or if cos <i>θ </i>= <i>−</i>1;n<i>θ </i>= <i>π/</i>3 or <i>π </i>(or <i>θ </i>= <i>−π/</i>3, which leads to the minimum point).nIf <i>θ </i>= <i>π/</i>3<i>, π</i>, then <i>y </i>= 3n</p>n<p><i>√n</i>3<i>/</i>4<i>, </i>0 so the maximum value of <i>y </i>is 3n</p>n<p><i>√n</i>3<i>/</i>4 and the polar coordinatesn</p>n<p>of the highest point are (3<i>/</i>2<i>, π/</i>3).</p>nn</div></div>n<div><div><p><b>Exercise Set 11.1 481n</b></p>n<p><b>70. </b><i>x </i>= <i>r </i>cos <i>θ </i>= (1 + cos <i>θ</i>) cos <i>θ </i>= cos <i>θ </i>+ cos2 <i>θ</i>, <i>dx/dθ </i>= <i>− </i>sin <i>θ − </i>2 sin <i>θ </i>cos <i>θ </i>= <i>− </i>sin <i>θ</i>(1 + 2 cos <i>θ</i>),n<i>dx/dθ </i>= 0 if sin <i>θ </i>= 0 or if cos <i>θ </i>= <i>−</i>1<i>/</i>2; <i>θ </i>= 0, 2<i>π/</i>3, or <i>π</i>. If <i>θ </i>= 0, 2<i>π/</i>3, <i>π</i>, then <i>x </i>= 2<i>,−</i>1<i>/</i>4<i>, </i>0nso the minimum value of <i>x </i>is <i>−</i>1<i>/</i>4. The leftmost point has polar coordinates (1<i>/</i>2<i>, </i>2<i>π/</i>3).n</p>n<p><b>71. </b>The width is twice the maximum value of <i>y </i>for 0 <i>≤ θ ≤ π/</i>4:n<i>y </i>= <i>r </i>sin <i>θ </i>= sin <i>θ </i>cos 2<i>θ </i>= sin <i>θ − </i>2 sin3 <i>θ, dy/dθ </i>= cos <i>θ − </i>6 sin2 <i>θ </i>cos <i>θ </i>= 0 when cos <i>θ </i>= 0 ornsin <i>θ </i>= 1<i>/n</i></p>n<p><i>√n</i>6<i>, y </i>= 1<i>/n</i></p>n<p><i>√n</i>6<i>− </i>2<i>/</i>(6n</p>n<p><i>√n</i>6) =n</p>n<p><i>√n</i>6<i>/</i>9, so the width of the petal is 2n</p>n<p><i>√n</i>6<i>/</i>9.n</p>n<p><b>72. </b>The width is twice the maximum value of <i>y </i>for 0 <i>≤ θ ≤ π/</i>4. To simplify the algebra, maximizen<i>u </i>= <i>y</i>2 = <i>r</i>2 sin2 <i>θ </i>= cos(2<i>θ</i>) sin2 <i>θ </i>= (1<i>− </i>2 sin2 <i>θ</i>) sin2 <i>θ</i>, thenn<i>dun</i></p>n<p><i>dθn</i>= (2 sin <i>θ − </i>8 sin3 <i>θ</i>) cos <i>θ </i>= 0 when sin2 <i>θ </i>= 1<i>/</i>4<i>, </i>sin <i>θ </i>= 1<i>/</i>2<i>, θ </i>= <i>π/</i>6, andn</p>n<p><i>u </i>= cos(2<i>θ</i>) sin2 <i>θ </i>= 1<i>/</i>8<i>, </i>width = 2<i>y </i>=n<i>√n</i>2<i>/</i>2.n</p>n<p><b>73. (a) </b>Let (<i>x</i>1<i>, y</i>1) and (<i>x</i>2<i>, y</i>2) be the rectangular coordinates of the points (<i>r</i>1<i>, θ</i>1) and (<i>r</i>2<i>, θ</i>2) thenn</p>n<p><i>d</i>=n√n(<i>x</i>2 <i>− x</i>1)2 + (<i>y</i>2 <i>− y</i>1)2 =n</p>n<p>√n(<i>r</i>2 cos <i>θ</i>2 <i>− r</i>1 cos <i>θ</i>1)2 + (<i>r</i>2 sin <i>θ</i>2 <i>− r</i>1 sin <i>θ</i>1)2n</p>n<p>=n√n<i>r</i>21 + <i>rn</i></p>n<p>2n2 <i>− </i>2<i>r</i>1<i>r</i>2(cos <i>θ</i>1 cos <i>θ</i>2 + sin <i>θ</i>1 sin <i>θ</i>2) =n</p>n<p>√n<i>r</i>21 + <i>rn</i></p>n<p>2n2 <i>− </i>2<i>r</i>1<i>r</i>2 cos(<i>θ</i>1 <i>− θ</i>2)<i>.n</i></p>n<p>An alternate proof follows directly from the Law of Cosines.n</p>n<p><b>(b) </b>Let <i>P </i>and <i>Q </i>have polar coordinates (<i>r</i>1<i>, θ</i>1)<i>, </i>(<i>r</i>2<i>, θ</i>2), respectively, then the perpendicularnfrom <i>OQ </i>to <i>OP </i>has length <i>h </i>= <i>r</i>2 sin(<i>θ</i>2 <i>− θ</i>1) and <i>A </i>= 12<i>hr</i>1 = 12<i>r</i>1<i>r</i>2 sin(<i>θ</i>2 <i>− θ</i>1).n</p>n<p><b>(c) </b>From Part (a), <i>d </i>=n√n9 + 4<i>− </i>2 <i>· </i>3 <i>· </i>2 cos(<i>π/</i>6<i>− π/</i>3) =n</p>n<p>√n13<i>− </i>6n</p>n<p><i>√n</i>3 <i>≈ </i>1<i>.</i>615n</p>n<p><b>(d) </b><i>A </i>=n1n2n2 sin(5<i>π/</i>6<i>− π/</i>3) = 1n</p>n<p><b>74. </b>The tips occur when <i>θ </i>= 0<i>, π/</i>2<i>, π, </i>3<i>π/</i>2 for which <i>r </i>= 1:n<i>d </i>=n</p>n<p>√n12 + 12 <i>− </i>2(1)(1) cos(<i>±π/</i>2) =n</p>n<p><i>√n</i>2. Geometrically, find the distance between, e.g., the pointsn</p>n<p>(0<i>, </i>1) and (1<i>, </i>0).n</p>n<p><b>75. </b>The tips are located at <i>r </i>= 1<i>, θ </i>= <i>π/</i>6<i>, </i>5<i>π/</i>6<i>, </i>3<i>π/</i>2 and, for example,n</p>n<p><i>d </i>=n√n1 + 1<i>− </i>2 cos(5<i>π/</i>6<i>− π/</i>6) =n</p>n<p>√n2(1<i>− </i>cos(2<i>π/</i>3)) =n</p>n<p><i>√n</i>3n</p>n<p><b>76. (a) </b>0 = (<i>r</i>2 + <i>a</i>2)2 <i>− a</i>4 <i>− </i>4<i>a</i>2<i>r</i>2 cos2 <i>θ </i>= <i>r</i>4 + <i>a</i>4 + 2<i>r</i>2<i>a</i>2 <i>− a</i>4 <i>− </i>4<i>a</i>2<i>r</i>2 cos2 <i>θn</i>= <i>r</i>4 + 2<i>r</i>2<i>a</i>2 <i>− </i>4<i>a</i>2<i>r</i>2 cos2 <i>θ, </i>so <i>r</i>2 = 2<i>a</i>2(2 cos2 <i>θ − </i>1) = 2<i>a</i>2 cos 2<i>θ.n</i></p>n<p><b>(b) </b>The distance from the point (<i>r, θ</i>) to (<i>a, </i>0) is (from Exercise 73(a))√n<i>r</i>2 + <i>a</i>2 <i>− </i>2<i>ra </i>cos(<i>θ − </i>0) =n</p>n<p><i>√nr</i>2 <i>− </i>2<i>ar </i>cos <i>θ </i>+ <i>a</i>2, and to the point (<i>a, π</i>) is√n</p>n<p><i>r</i>2 + <i>a</i>2 <i>− </i>2<i>ra </i>cos(<i>θ − π</i>) =n<i>√nr</i>2 + 2<i>ar </i>cos <i>θ </i>+ <i>a</i>2, and their product is√n</p>n<p>(<i>r</i>2 + <i>a</i>2)2 <i>− </i>4<i>a</i>2<i>r</i>2 cos2 <i>θ </i>=n√n<i>r</i>4 + <i>a</i>4 + 2<i>a</i>2<i>r</i>2(1<i>− </i>2 cos2 <i>θ</i>)n</p>n<p>=n√n4<i>a</i>4 cos2 2<i>θ </i>+ <i>a</i>4 + 2<i>a</i>2(2<i>a</i>2 cos 2<i>θ</i>)(<i>− </i>cos 2<i>θ</i>) = <i>a</i>2n</p>n<p><b>77. </b>limn<i>θ→</i>0+n</p>n<p><i>y </i>= limn<i>θ→</i>0+n</p>n<p><i>r </i>sin <i>θ </i>= limn<i>θ→</i>0+n</p>n<p>sin <i>θnθn</i></p>n<p>= 1, and limn<i>θ→</i>0+n</p>n<p><i>x </i>= limn<i>θ→</i>0+n</p>n<p><i>r </i>cos <i>θ </i>= limn<i>θ→</i>0+n</p>n<p>cos <i>θnθn</i></p>n<p>= +<i>∞</i>.n</p>n<p>1n</p>n<p>–1n</p>n<p>–1 2</p>nn</div></div>n<div><div><p><b>482 Chapter 11n</b></p>n<p><b>78. </b>limn<i>θ→</i>0<i>±n</i></p>n<p><i>y </i>= limn<i>θ→</i>0<i>±n</i></p>n<p><i>r </i>sin <i>θ </i>= limn<i>θ→</i>0<i>±n</i></p>n<p>sin <i>θnθ</i>2n</p>n<p>= limn<i>θ→</i>0<i>±n</i></p>n<p>sin <i>θnθn</i></p>n<p>limn<i>θ→</i>0<i>±n</i></p>n<p>1n<i>θn</i>= 1 <i>· </i>limn</p>n<p><i>θ→</i>0<i>±n</i>1n<i>θn</i>, so limn</p>n<p><i>θ→</i>0<i>±ny </i>does not exist.n</p>n<p><b>79. </b>Note that <i>r → ±∞ </i>as <i>θ </i>approaches odd multiples of <i>π/</i>2;n<i>x </i>= <i>r </i>cos <i>θ </i>= 4 tan <i>θ </i>cos <i>θ </i>= 4 sin <i>θ</i>,n<i>y </i>= <i>r </i>sin <i>θ </i>= 4 tan <i>θ </i>sin <i>θn</i>so <i>x → ±</i>4 and <i>y → ±∞ </i>as <i>θ </i>approachesnodd multiples of <i>π/</i>2<i>. </i>4–4n</p>n<p><i>un</i></p>n<p><i>rn</i></p>n<p><b>80. </b>limn<i>θ→</i>(<i>π/</i>2)<i>−n</i></p>n<p><i>x </i>= limn<i>θ→</i>(<i>π/</i>2)<i>−n</i></p>n<p><i>r </i>cos <i>θ </i>= limn<i>θ→</i>(<i>π/</i>2)<i>−n</i></p>n<p>2 sin2 <i>θ </i>= 2<i>, </i>and limn<i>θ→</i>(<i>π/</i>2)<i>−n</i></p>n<p><i>y </i>= +<i>∞</i>,n</p>n<p>so <i>x </i>= 2 is a vertical asymptote.n</p>n<p><b>81. </b>Let <i>r </i>= <i>a </i>sin<i>nθ </i>(the proof for <i>r </i>= <i>a </i>cos<i>nθ </i>is similar). If <i>θ </i>starts at 0, then <i>θ </i>would have to increasenby some positive integer multiple of <i>π </i>radians in order to reach the starting point and begin tonretrace the curve. Let (<i>r, θ</i>) be the coordinates of a point <i>P </i>on the curve for 0 <i>≤ θ < </i>2<i>π</i>. Nown<i>a </i>sin<i>n</i>(<i>θ </i>+ 2<i>π</i>) = <i>a </i>sin(<i>nθ </i>+ 2<i>πn</i>) = <i>a </i>sin<i>nθ </i>= <i>r </i>so <i>P </i>is reached again with coordinates (<i>r, θ </i>+ 2<i>π</i>)nthus the curve is traced out either exactly once or exactly twice for 0 <i>≤ θ < </i>2<i>π</i>. If for 0 <i>≤ θ < π</i>,n<i>P </i>(<i>r, θ</i>) is reached again with coordinates (<i>−r, θ </i>+ <i>π</i>) then the curve is traced out exactly once forn0 <i>≤ θ < π</i>, otherwise exactly once for 0 <i>≤ θ < </i>2<i>π</i>. Butn</p>n<p><i>a </i>sin<i>n</i>(<i>θ </i>+ <i>π</i>) = <i>a </i>sin(<i>nθ </i>+ <i>nπ</i>) =n{n</p>n<p><i>a </i>sin<i>nθ, n </i>evenn<i>−a </i>sin<i>nθ, n </i>oddn</p>n<p>so the curve is traced out exactly once for 0 <i>≤ θ < </i>2<i>π </i>if <i>n </i>is even, and exactly once for 0 <i>≤ θ < πn</i>if <i>n </i>is odd.n</p>n<p><b>82. (b) </b>Replacing <i>θ </i>with <i>−θ </i>changes <i>r </i>= 2<i>− </i>sin(<i>θ/</i>2) into <i>r </i>= 2+sin(<i>θ/</i>2) which is not an equivalentnequation. But the locus of points satisfying the first equation, when <i>θ </i>runs from 0 to 4<i>π</i>, isnthe same as the locus of points satisfying the second equation when <i>θ </i>runs from 0 to 4<i>π</i>, asncan be seen under the change of variables (equivalent to reversing direction of <i>θ</i>)n<i>θ → </i>4<i>π − θ</i>, for which 2 + sin(4<i>π − θ</i>) = 2<i>− </i>sin <i>θ</i>.n</p>n<p><b>EXERCISE SET 11.2n</b></p>n<p><b>1. (a) </b><i>dy/dx </i>=n2<i>tn</i>1<i>/</i>2n</p>n<p>= 4<i>t</i>; <i>dy/dxn</i>∣∣n<i>t</i>=<i>−</i>1 = <i>−</i>4; <i>dy/dxn</i></p>n<p>∣∣n<i>t</i>=1 = 4n</p>n<p><b>(b) </b><i>y </i>= (2<i>x</i>)2 + 1<i>, dy/dx </i>= 8<i>x, dy/dxn</i>∣∣n<i>x</i>=<i>±</i>(1<i>/</i>2) = <i>±</i>4n</p>n<p><b>2. (a) </b><i>dy/dx </i>= (4 cos <i>t</i>)<i>/</i>(<i>−</i>3 sin <i>t</i>) = <i>−</i>(4<i>/</i>3) cot <i>t</i>; <i>dy/dxn</i>∣∣n<i>t</i>=<i>π/</i>4 = <i>−</i>4<i>/</i>3<i>, dy/dxn</i></p>n<p>∣∣n<i>t</i>=7<i>π/</i>4 = 4<i>/</i>3n</p>n<p><b>(b) </b>(<i>x/</i>3)2 + (<i>y/</i>4)2 = 1<i>, </i>2<i>x/</i>9 + (2<i>y/</i>16)(<i>dy/dx</i>) = 0<i>, dy/dx </i>= <i>−</i>16<i>x/</i>9<i>y,ndy/dxn</i></p>n<p>∣∣n<i>x</i>=3<i>/n</i></p>n<p><i>√n</i>2n</p>n<p><i>y</i>=4<i>/n√n</i></p>n<p>2n</p>n<p>= <i>−</i>4<i>/</i>3; <i>dy/dxn</i>∣∣n</p>n<p><i>x</i>=3<i>/n√n</i></p>n<p>2n<i>y</i>=<i>−</i>4<i>/n</i></p>n<p><i>√n</i>2n</p>n<p>= 4<i>/</i>3n</p>n<p><b>3.n</b><i>d</i>2<i>yn</i></p>n<p><i>dx</i>2n=n</p>n<p><i>dn</i></p>n<p><i>dxn</i></p>n<p><i>dyn</i></p>n<p><i>dxn</i>=n</p>n<p><i>dn</i></p>n<p><i>dtn</i></p>n<p>(n<i>dyn</i></p>n<p><i>dxn</i></p>n<p>)n<i>dtn</i></p>n<p><i>dxn</i>= <i>− </i>1n</p>n<p>4<i>t</i>2n(1<i>/</i>2<i>t</i>) = <i>−</i>1<i>/</i>(8<i>t</i>3); positive when <i>t </i>= <i>−</i>1,n</p>n<p>negative when <i>t </i>= 1n</p>n<p><b>4.n</b><i>d</i>2<i>yn</i></p>n<p><i>dx</i>2n=n</p>n<p><i>dn</i></p>n<p><i>dtn</i></p>n<p>(n<i>dyn</i></p>n<p><i>dxn</i></p>n<p>)n<i>dtn</i></p>n<p><i>dxn</i>=n</p>n<p><i>−</i>(4<i>/</i>3)(<i>− </i>csc2 <i>t</i>)n<i>−</i>3 sin <i>t </i>= <i>−n</i></p>n<p>4n9ncsc3 <i>t</i>; negative at <i>t </i>= <i>π/</i>4, positive at <i>t </i>= 7<i>π/</i>4.</p>nn</div></div>n<div><div><p><b>Exercise Set 11.2 483n</b></p>n<p><b>5. </b><i>dy/dx </i>=n2n</p>n<p>1<i>/</i>(2n<i>√nt</i>)n</p>n<p>= 4n<i>√nt</i>, <i>d</i>2<i>y/dx</i>2 =n</p>n<p>2<i>/n√ntn</i></p>n<p>1<i>/</i>(2n<i>√nt</i>)n</p>n<p>= 4, <i>dy/dxn</i>∣∣n<i>t</i>=1 = 4, <i>dn</i></p>n<p>2<i>y/dx</i>2n∣∣n<i>t</i>=1 = 4n</p>n<p><b>6. </b><i>dy/dx </i>=n<i>t</i>2 <i>− </i>1n</p>n<p><i>tn</i>= <i>t− </i>1n</p>n<p><i>tn</i>, <i>d</i>2<i>y/dx</i>2 =n</p>n<p>(n1 +n</p>n<p>1n<i>t</i>2n</p>n<p>)n1n<i>tn</i>, <i>dy/dxn</i></p>n<p>∣∣n<i>t</i>=2 = 3<i>/</i>2, <i>dn</i></p>n<p>2<i>y/dx</i>2n∣∣n<i>t</i>=2 = 3<i>/</i>8n</p>n<p><b>7. </b><i>dy/dx </i>=nsec2 <i>tn</i></p>n<p>sec <i>t </i>tan <i>tn</i>= csc <i>t</i>, <i>d</i>2<i>y/dx</i>2 =n</p>n<p><i>− </i>csc <i>t </i>cot <i>tn</i>sec <i>t </i>tan <i>tn</i></p>n<p>= <i>− </i>cot3 <i>t</i>,n</p>n<p><i>dy/dxn</i>∣∣n<i>t</i>=<i>π/</i>3 = 2<i>/n</i></p>n<p><i>√n</i>3, <i>d</i>2<i>y/dx</i>2n</p>n<p>∣∣n<i>t</i>=<i>π/</i>3 = <i>−</i>1<i>/</i>(3n</p>n<p><i>√n</i>3)n</p>n<p><b>8. </b><i>dy/dx </i>=nsinh <i>tn</i>cosh <i>tn</i></p>n<p>= tanh <i>t</i>,n<i>d</i>2<i>yn</i></p>n<p><i>dx</i>2n= sech2<i>t/ </i>cosh <i>t </i>= sech3<i>t</i>, <i>dy/dxn</i></p>n<p>∣∣n<i>t</i>=0 = 0<i>, dn</i></p>n<p>2<i>y/dx</i>2n∣∣n<i>t</i>=0 = 1n</p>n<p><b>9.n</b><i>dyn</i></p>n<p><i>dxn</i>=n</p>n<p><i>dy/dθn</i></p>n<p><i>dx/dθn</i>=n</p>n<p>cos <i>θn</i>1<i>− </i>sin <i>θ </i>;n</p>n<p><i>d</i>2<i>yn</i></p>n<p><i>dx</i>2n=n</p>n<p><i>dn</i></p>n<p><i>dθn</i></p>n<p>(n<i>dyn</i></p>n<p><i>dxn</i></p>n<p>)/n<i>dxn</i></p>n<p><i>dθn</i>=n</p>n<p>(1<i>− </i>sin <i>θ</i>)(<i>− </i>sin <i>θ</i>) + cos2 <i>θn</i>(1<i>− </i>sin <i>θ</i>)2n</p>n<p>1n1<i>− </i>sin <i>θ </i>=n</p>n<p>1n(1<i>− </i>sin <i>θ</i>)2 ;n</p>n<p><i>dyn</i></p>n<p><i>dxn</i></p>n<p>∣∣∣n<i>θ</i>=<i>π/</i>6n</p>n<p>=n<i>√n</i>3<i>/</i>2n</p>n<p>1<i>− </i>1<i>/</i>2 =n<i>√n</i>3;n</p>n<p><i>d</i>2<i>yn</i></p>n<p><i>dx</i>2n</p>n<p>∣∣∣n<i>θ</i>=<i>π/</i>6n</p>n<p>=n1n</p>n<p>(1<i>− </i>1<i>/</i>2)2 = 4n</p>n<p><b>10.n</b><i>dyn</i></p>n<p><i>dxn</i>=n</p>n<p>3 cos<i>φn− </i>sin<i>φ </i>= <i>−</i>3 cot<i>φ</i>;n</p>n<p><i>d</i>2<i>yn</i></p>n<p><i>dx</i>2n=n</p>n<p><i>dn</i></p>n<p><i>dφn</i>(<i>−</i>3 cot<i>φ</i>)<i>dφn</i></p>n<p><i>dxn</i>= <i>−</i>3(<i>− </i>csc2 <i>φ</i>)(<i>− </i>csc<i>φ</i>) = <i>−</i>3 csc3 <i>φ</i>;n</p>n<p><i>dyn</i></p>n<p><i>dxn</i></p>n<p>∣∣∣∣n<i>φ</i>=5<i>π/</i>6n</p>n<p>= 3n<i>√n</i>3;n</p>n<p><i>d</i>2<i>yn</i></p>n<p><i>dx</i>2n</p>n<p>∣∣∣∣n<i>φ</i>=5<i>π/</i>6n</p>n<p>= <i>−</i>24n</p>n<p><b>11. (a) </b><i>dy/dx </i>=n<i>−e−tnetn</i></p>n<p>= <i>−e−</i>2<i>t</i>; for <i>t </i>= 1, <i>dy/dx </i>= <i>−e−</i>2, (<i>x, y</i>) = (<i>e, e−</i>1); <i>y − e−</i>1 = <i>−e−</i>2(<i>x− e</i>),n<i>y </i>= <i>−e−</i>2<i>x</i>+ 2<i>e−</i>1n</p>n<p><b>(b) </b><i>y </i>= 1<i>/x, dy/dx </i>= <i>−</i>1<i>/x</i>2<i>,m </i>= <i>−</i>1<i>/e</i>2<i>, y − e−</i>1 = <i>− </i>1n<i>e</i>2n</p>n<p>(<i>x− e</i>)<i>, y </i>= <i>− </i>1n<i>e</i>2n</p>n<p><i>x</i>+n2n<i>en</i></p>n<p><b>12. </b><i>dy/dx </i>=n16<i>t− </i>2n</p>n<p>2n= 8<i>t− </i>1; for <i>t </i>= 1, <i>dy/dx </i>= 7, (<i>x, y</i>) = (6<i>, </i>10); <i>y − </i>10 = 7(<i>x− </i>6), <i>y </i>= 7<i>x− </i>32n</p>n<p><b>13. </b><i>dy/dx </i>=n<i>−</i>4 sin <i>tn</i>2 cos <i>tn</i></p>n<p>= <i>−</i>2 tan <i>tn</i></p>n<p><b>(a) </b><i>dy/dx </i>= 0 if tan <i>t </i>= 0, <i>t </i>= <i>nπ </i>for <i>n </i>= 0<i>,±</i>1<i>, · · ·n</i></p>n<p><b>(b) </b><i>dx/dy </i>= <i>−</i>1n2ncot <i>t </i>= 0 if cot <i>t </i>= 0, <i>t </i>= <i>π/</i>2 + <i>nπ </i>for <i>n </i>= 0<i>,±</i>1<i>, · · ·n</i></p>n<p><b>14. </b><i>dy/dx </i>=n2<i>t</i>+ 1n</p>n<p>6<i>t</i>2 <i>− </i>30<i>t</i>+ 24 =n2<i>t</i>+ 1n</p>n<p>6(<i>t− </i>1)(<i>t− </i>4)n<b>(a) </b><i>dy/dx </i>= 0 if <i>t </i>= <i>−</i>1<i>/</i>2n</p>n<p><b>(b) </b><i>dx/dy </i>=n6(<i>t− </i>1)(<i>t− </i>4)n</p>n<p>2<i>t</i>+ 1n= 0 if <i>t </i>= 1<i>, </i>4n</p>n<p><b>15. </b><i>x </i>= <i>y </i>= 0 when <i>t </i>= 0<i>, π</i>;n<i>dyn</i></p>n<p><i>dxn</i>=n</p>n<p>2 cos 2<i>tn</i>cos <i>tn</i></p>n<p>;n<i>dyn</i></p>n<p><i>dxn</i></p>n<p>∣∣∣∣n<i>t</i>=0n</p>n<p>= 2<i>,ndyn</i></p>n<p><i>dxn</i></p>n<p>∣∣∣∣n<i>t</i>=<i>πn</i></p>n<p>= <i>−</i>2<i>, </i>the equations of the tangentnlines are <i>y </i>= <i>−</i>2<i>x, y </i>= 2<i>x</i>.</p>nn</div></div>n<div><div><p><b>484 Chapter 11n</b></p>n<p><b>16. </b><i>y</i>(<i>t</i>) = 0 has three solutions, <i>t </i>= 0<i>,±π/</i>2; the last two correspond to the crossing point.nFor <i>t </i>= <i>±π/</i>2, <i>m </i>= <i>dyn</i></p>n<p><i>dxn</i>=n</p>n<p>2n<i>±π </i>; the tangent lines are given by <i>y </i>= <i>±n</i></p>n<p>2n<i>πn</i>(<i>x− </i>2).n</p>n<p><b>17. </b>If <i>x </i>= 4 then <i>t</i>2 = 4, <i>t </i>= <i>±</i>2, <i>y </i>= 0 for <i>t </i>= <i>±</i>2 so (4<i>, </i>0) is reached when <i>t </i>= <i>±</i>2.n<i>dy/dx </i>= (3<i>t</i>2 <i>− </i>4)<i>/</i>2<i>t</i>. For <i>t </i>= 2, <i>dy/dx </i>= 2 and for <i>t </i>= <i>−</i>2, <i>dy/dx </i>= <i>−</i>2.nThe tangent lines are <i>y </i>= <i>±</i>2(<i>x− </i>4).n</p>n<p><b>18. </b>If <i>x </i>= 3 then <i>t</i>2 <i>− </i>3<i>t </i>+ 5 = 3, <i>t</i>2 <i>− </i>3<i>t </i>+ 2 = 0, (<i>t − </i>1)(<i>t − </i>2) = 0, <i>t </i>= 1 or 2. If <i>t </i>= 1 or 2 thenn<i>y </i>= 1 so (3<i>, </i>1) is reached when <i>t </i>= 1 or 2. <i>dy/dx </i>= (3<i>t</i>2 +2<i>t− </i>10)<i>/</i>(2<i>t− </i>3). For <i>t </i>= 1, <i>dy/dx </i>= 5,nthe tangent line is <i>y − </i>1 = 5(<i>x − </i>3), <i>y </i>= 5<i>x − </i>14. For <i>t </i>= 2, <i>dy/dx </i>= 6, the tangent line isn<i>y − </i>1 = 6(<i>x− </i>3), <i>y </i>= 6<i>x− </i>17.n</p>n<p><b>19. (a) </b>1n</p>n<p>–1n</p>n<p>–1 1n</p>n<p><b>(b)n</b><i>dxn</i></p>n<p><i>dtn</i>= <i>−</i>3 cos2 <i>t </i>sin <i>t </i>and <i>dyn</i></p>n<p><i>dtn</i>= 3 sin2 <i>t </i>cos <i>t </i>are both zero when <i>t </i>= 0<i>, π/</i>2<i>, π, </i>3<i>π/</i>2<i>, </i>2<i>π</i>,n</p>n<p>so singular points occur at these values of <i>t</i>.n</p>n<p><b>20. (a) </b>when <i>y </i>= 0n</p>n<p><b>(b)n</b><i>dxn</i></p>n<p><i>dyn</i>=n</p>n<p><i>a− a </i>cos <i>θna </i>sin <i>θn</i></p>n<p>= 0 when <i>θ </i>= 2<i>nπ, n </i>= 0<i>, </i>1<i>, . . . </i>(which is when <i>y </i>= 0).n</p>n<p><b>21. </b>Substitute <i>θ </i>= <i>π/</i>6, <i>r </i>= 1, and <i>dr/dθ </i>=n<i>√n</i>3 in equation (7) gives slope <i>m </i>=n</p>n<p><i>√n</i>3.n</p>n<p><b>22. </b>As in Exercise 21, <i>θ </i>= <i>π/</i>2, <i>dr/dθ </i>= <i>−</i>1, <i>r </i>= 1, <i>m </i>= 1n</p>n<p><b>23. </b>As in Exercise 21, <i>θ </i>= 2, <i>dr/dθ </i>= <i>−</i>1<i>/</i>4, <i>r </i>= 1<i>/</i>2, <i>m </i>= tan 2<i>− </i>2n2 tan 2 + 1n</p>n<p><b>24. </b>As in Exercise 21, <i>θ </i>= <i>π/</i>6, <i>dr/dθ </i>= 4n<i>√n</i>3<i>a</i>, <i>r </i>= 2<i>a</i>, <i>m </i>= 3n</p>n<p><i>√n</i>3<i>/</i>5n</p>n<p><b>25. </b>As in Exercise 21, <i>θ </i>= <i>π/</i>4, <i>dr/dθ </i>= <i>−</i>3n<i>√n</i>2<i>/</i>2, <i>r </i>=n</p>n<p><i>√n</i>2<i>/</i>2, <i>m </i>= 1<i>/</i>2n</p>n<p><b>26. </b>As in Exercise 21, <i>θ </i>= <i>π</i>, <i>dr/dθ </i>= 3, <i>r </i>= 4, <i>m </i>= 4<i>/</i>3n</p>n<p><b>27. </b><i>m </i>=n<i>dyn</i></p>n<p><i>dxn</i>=n</p>n<p><i>r </i>cos <i>θ </i>+ (sin <i>θ</i>)(<i>dr/dθ</i>)n<i>−r </i>sin <i>θ </i>+ (cos <i>θ</i>)(<i>dr/dθ</i>) =n</p>n<p>cos <i>θ </i>+ 2 sin <i>θ </i>cos <i>θn− </i>sin <i>θ </i>+ cos2 <i>θ − </i>sin2 <i>θ </i>; if <i>θ </i>= 0<i>, π/</i>2<i>, π</i>,n</p>n<p>then <i>m </i>= 1<i>, </i>0<i>,−</i>1<i>.n</i></p>n<p><b>28. </b><i>m </i>=n<i>dyn</i></p>n<p><i>dxn</i>=n</p>n<p>cos <i>θ</i>(4 sin <i>θ − </i>1)n4 cos2 <i>θ </i>+ sin <i>θ − </i>2 ; if <i>θ </i>= 0<i>, π/</i>2<i>, π </i>then <i>m </i>= <i>−</i>1<i>/</i>2<i>, </i>0<i>, </i>1<i>/</i>2<i>.</i></p>nn</div></div>n<div><div><p><b>Exercise Set 11.2 485n</b></p>n<p><b>29. </b><i>dx/dθ </i>= <i>−a </i>sin <i>θ</i>(1 + 2 cos <i>θ</i>), <i>dy/dθ </i>= <i>a</i>(2 cos <i>θ − </i>1)(cos <i>θ </i>+ 1)n<b>(a) </b>horizontal if <i>dy/dθ </i>= 0 and <i>dx/dθ 	</i>= 0. <i>dy/dθ </i>= 0 when cos <i>θ </i>= 1<i>/</i>2 or cos <i>θ </i>= <i>−</i>1 so <i>θ </i>= <i>π/</i>3,n</p>n<p>5<i>π/</i>3, or <i>π</i>; <i>dx/dθ 	</i>= 0 for <i>θ </i>= <i>π/</i>3 and 5<i>π/</i>3. For the singular point <i>θ </i>= <i>π </i>we find thatnlimn<i>θ→πn</i></p>n<p><i>dy/dx </i>= 0. There is a horizontal tangent line at (3<i>a/</i>2<i>, π/</i>3)<i>, </i>(0<i>, π</i>), and (3<i>a/</i>2<i>, </i>5<i>π/</i>3).n</p>n<p><b>(b) </b>vertical if <i>dy/dθ 	</i>= 0 and <i>dx/dθ </i>= 0. <i>dx/dθ </i>= 0 when sin <i>θ </i>= 0 or cos <i>θ </i>= <i>−</i>1<i>/</i>2 so <i>θ </i>= 0, <i>π</i>,n2<i>π/</i>3, or 4<i>π/</i>3; <i>dy/dθ 	</i>= 0 for <i>θ </i>= 0, 2<i>π/</i>3, and 4<i>π/</i>3. The singular point <i>θ </i>= <i>π </i>was discussednin Part (a). There is a vertical tangent line at (2<i>a, </i>0)<i>, </i>(<i>a/</i>2<i>, </i>2<i>π/</i>3), and (<i>a/</i>2<i>, </i>4<i>π/</i>3)<i>.n</i></p>n<p><b>30. </b><i>dx/dθ </i>= <i>a</i>(cos2 <i>θ − </i>sin2 <i>θ</i>) = <i>a </i>cos 2<i>θ, dy/dθ </i>= 2<i>a </i>sin <i>θ </i>cos <i>θ </i>= <i>a </i>sin 2<i>θn<b></b></i><b>(a) </b>horizontal if <i>dy/dθ </i>= 0 and <i>dx/dθ 	</i>= 0. <i>dy/dθ </i>= 0 when <i>θ </i>= 0<i>, π/</i>2<i>, π, </i>3<i>π/</i>2;n</p>n<p><i>dx/dθ 	</i>= 0 for (0<i>, </i>0)<i>, </i>(<i>a, π/</i>2)<i>, </i>(0<i>, π</i>)<i>, </i>(<i>−a, </i>3<i>π/</i>2); in reality only two distinct pointsn<b>(b) </b>vertical if <i>dy/dθ 	</i>= 0 and <i>dx/dθ </i>= 0. <i>dx/dθ </i>= 0 when <i>θ </i>= <i>π/</i>4<i>, </i>3<i>π/</i>4<i>, </i>5<i>π/</i>4<i>, </i>7<i>π/</i>4; <i>dy/dθ 	</i>= 0n</p>n<p>there, so vertical tangent line at (<i>a/n√n</i>2<i>, π/</i>4)<i>, </i>(<i>a/n</i></p>n<p><i>√n</i>2<i>, </i>3<i>π/</i>4)<i>, </i>(<i>−a/n</i></p>n<p><i>√n</i>2<i>, </i>5<i>π/</i>4)<i>, </i>(<i>−a/n</i></p>n<p><i>√n</i>2<i>, </i>7<i>π/</i>4),n</p>n<p>only two distinct pointsn</p>n<p><b>31. </b><i>dy/dθ </i>= (<i>d/dθ</i>)(sin2 <i>θ </i>cos2 <i>θ</i>) = (sin 4<i>θ</i>)<i>/</i>2 = 0 at <i>θ </i>= 0<i>, π/</i>4<i>, π/</i>2<i>, </i>3<i>π/</i>4<i>, π</i>; at the same points,n</p>n<p><i>dx/dθ </i>= (<i>d/dθ</i>)(sin <i>θ </i>cos3 <i>θ</i>) = cos2 <i>θ</i>(4 cos2 <i>θ− </i>3). Next, <i>dxndθn</i></p>n<p>= 0 at <i>θ </i>= <i>π/</i>2, a singular point; andn<i>θ </i>= 0<i>, π </i>both give the same point, so there are just three points with a horizontal tangent.n</p>n<p><b>32. </b><i>dx/dθ </i>= 4 sin2 <i>θ − </i>sin <i>θ − </i>2, <i>dy/dθ </i>= cos <i>θ</i>(1<i>− </i>4 sin <i>θ</i>). <i>dy/dθ </i>= 0 when cos <i>θ </i>= 0 or sin <i>θ </i>= 1<i>/</i>4 son<i>θ </i>= <i>π/</i>2, 3<i>π/</i>2, sin<i>−</i>1(1<i>/</i>4), or <i>π − </i>sin<i>−</i>1(1<i>/</i>4); <i>dx/dθ 	</i>= 0 at these points, so there is a horizontalntangent at each one.n</p>n<p><b>33.n</b></p>n<p>0n</p>n<p>c/2n</p>n<p>2n</p>n<p><i>θ</i>0 = <i>π/</i>6<i>, π/</i>2<i>, </i>5<i>π/</i>6,n<i>y </i>= <i>±x/n</i></p>n<p><i>√n</i>3<i>, x </i>= 0n</p>n<p><b>34.n</b></p>n<p>0n</p>n<p>c/2n4n</p>n<p><i>θ</i>0 = 0<i>, y </i>= 0n</p>n<p><b>35.n</b></p>n<p>0n</p>n<p>c/2n</p>n<p>4n</p>n<p><i>θ</i>0 = <i>±π/</i>4<i>, y </i>= <i>±xn</i></p>n<p><b>36.n</b></p>n<p>0n</p>n<p>c/2n</p>n<p><i>θ</i>0 = 0<i>, π/</i>2<i>, x </i>= 0<i>, y </i>= 0n</p>n<p><b>37.n</b></p>n<p>0n</p>n<p>c/2n</p>n<p>3n</p>n<p><i>θ</i>0 = 2<i>π/</i>3<i>, </i>4<i>π/</i>3<i>, y </i>= <i>±n√n</i>3<i>xn</i></p>n<p><b>38.n</b></p>n<p>0n</p>n<p>c/2n</p>n<p><i>θ</i>0 = 0<i>, y </i>= 0</p>nn</div></div>n<div><div><p><b>486 Chapter 11n</b></p>n<p><b>39. </b><i>r</i>2 + (<i>dr/dθ</i>)2 = <i>a</i>2 + 02 = <i>a</i>2, <i>L </i>=n∫ 2<i>πn</i>0n</p>n<p><i>adθ </i>= 2<i>πan</i></p>n<p><b>40. </b><i>r</i>2 + (<i>dr/dθ</i>)2 = (2<i>a </i>cos <i>θ</i>)2 + (<i>−</i>2<i>a </i>sin <i>θ</i>)2 = 4<i>a</i>2, <i>L </i>=n∫ <i>π/</i>2n<i>−π/</i>2n</p>n<p>2<i>adθ </i>= 2<i>πan</i></p>n<p><b>41. </b><i>r</i>2 + (<i>dr/dθ</i>)2 = [<i>a</i>(1<i>− </i>cos <i>θ</i>)]2 + [<i>a </i>sin <i>θ</i>]2 = 4<i>a</i>2 sin2(<i>θ/</i>2), <i>L </i>= 2n∫ <i>πn</i>0n</p>n<p>2<i>a </i>sin(<i>θ/</i>2)<i>dθ </i>= 8<i>an</i></p>n<p><b>42. </b><i>r</i>2 + (<i>dr/dθ</i>)2 = [sin2(<i>θ/</i>2)]2 + [sin(<i>θ/</i>2) cos(<i>θ/</i>2)]2 = sin2(<i>θ/</i>2), <i>L </i>=n∫ <i>πn</i>0n</p>n<p>sin(<i>θ/</i>2)<i>dθ </i>= 2n</p>n<p><b>43. </b><i>r</i>2 + (<i>dr/dθ</i>)2 = (<i>e</i>3<i>θ</i>)2 + (3<i>e</i>3<i>θ</i>)2 = 10<i>e</i>6<i>θ</i>, <i>L </i>=n∫ 2n0n</p>n<p><i>√n</i>10<i>e</i>3<i>θdθ </i>=n</p>n<p><i>√n</i>10(<i>e</i>6 <i>− </i>1)<i>/</i>3n</p>n<p><b>44. </b><i>r</i>2 + (<i>dr/dθ</i>)2 = [sin3(<i>θ/</i>3)]2 + [sin2(<i>θ/</i>3) cos(<i>θ/</i>3)]2 = sin4(<i>θ/</i>3),n</p>n<p><i>L </i>=n∫ <i>π/</i>2n0n</p>n<p>sin2(<i>θ/</i>3)<i>dθ </i>= (2<i>π − </i>3n<i>√n</i>3)<i>/</i>8n</p>n<p><b>45. (a) </b>From (3),n<i>dyn</i></p>n<p><i>dxn</i>=n</p>n<p>3 sin <i>tn</i>1<i>− </i>3 cos <i>tn</i></p>n<p><b>(b) </b>At <i>t </i>= 10<i>,ndyn</i></p>n<p><i>dxn</i>=n</p>n<p>3 sin 10n1<i>− </i>3 cos 10 <i>≈ −</i>0<i>.</i>46402<i>, θ ≈ </i>tann</p>n<p><i>−</i>1(<i>−</i>0<i>.</i>46402) = <i>−</i>0<i>.</i>4345n</p>n<p><b>46. (a)n</b><i>dyn</i></p>n<p><i>dxn</i>= 0 whenn</p>n<p><i>dyn</i></p>n<p><i>dtn</i>= <i>−</i>2 cos <i>t </i>= 0<i>, t </i>= <i>π/</i>2<i>, </i>3<i>π/</i>2<i>, </i>5<i>π/</i>2n</p>n<p><b>(b)n</b><i>dxn</i></p>n<p><i>dtn</i>= 0 when 1 + 2 sin <i>t </i>= 0<i>, </i>sin <i>t </i>= <i>−</i>1<i>/</i>2<i>, t </i>= 7<i>π/</i>6<i>, </i>11<i>π/</i>6<i>, </i>19<i>π/</i>6n</p>n<p><b>47. (a) </b><i>r</i>2 + (<i>dr/dθ</i>)2 = (cos<i>nθ</i>)2 + (<i>−n </i>sin<i>nθ</i>)2 = cos2 <i>nθ </i>+ <i>n</i>2 sin2 <i>nθn</i>= (1<i>− </i>sin2 <i>nθ</i>) + <i>n</i>2 sin2 <i>nθ </i>= 1 + (<i>n</i>2 <i>− </i>1) sin2 <i>nθ,n</i></p>n<p><i>L </i>= 2n∫ <i>π/</i>(2<i>n</i>)n0n</p>n<p>√n1 + (<i>n</i>2 <i>− </i>1) sin2 <i>nθdθn</i></p>n<p><b>(b) </b><i>L </i>= 2n∫ <i>π/</i>4n0n</p>n<p>√n1 + 3 sin2 2<i>θdθ ≈ </i>2<i>.</i>42n</p>n<p><b>(c) </b><i>nnLn</i></p>n<p>2n2.42211n</p>n<p>3n2.22748n</p>n<p>4n2.14461n</p>n<p>5n2.10100n</p>n<p>6n2.07501n</p>n<p>7n2.05816n</p>n<p>8n2.04656n</p>n<p>9n2.03821n</p>n<p>10n2.03199n</p>n<p>11n2.02721n</p>n<p><i>nnLn</i></p>n<p>12n2.02346n</p>n<p>13n2.02046n</p>n<p>14n2.01802n</p>n<p>15n2.01600n</p>n<p>16n2.01431n</p>n<p>17n2.01288n</p>n<p>18n2.01167n</p>n<p>19n2.01062n</p>n<p>20n2.00971n</p>n<p><b>48. (a)n</b></p>n<p>0n</p>n<p>c/2 <b>(b) </b><i>r</i>2 + (<i>dr/dθ</i>)2 = (<i>e−θ</i>)2 + (<i>−e−θ</i>)2 = 2<i>e−</i>2<i>θ</i>,n</p>n<p><i>L </i>= 2n∫ +<i>∞n</i>0n</p>n<p><i>e−</i>2<i>θdθn</i></p>n<p><b>(c) </b><i>L </i>= limn<i>θ</i>0<i>→</i>+<i>∞n</i></p>n<p>2n∫ <i>θ</i>0n0n</p>n<p><i>e−</i>2<i>θdθ </i>= limn<i>θ</i>0<i>→</i>+<i>∞n</i></p>n<p>(1<i>− e−</i>2<i>θ</i>0) = 1</p>nn</div></div>n<div><div><p><b>Exercise Set 11.2 487n</b></p>n<p><b>49. </b><i>x′ </i>= 2<i>t</i>, <i>y′ </i>= 3, (<i>x′</i>)2 + (<i>y′</i>)2 = 4<i>t</i>2 + 9n</p>n<p><i>S </i>= 2<i>πn</i>∫ 2n0n(3<i>t</i>)n</p>n<p>√n4<i>t</i>2 + 9<i>dt </i>= 6<i>πn</i></p>n<p>∫ 4n0n</p>n<p><i>tn</i>√n4<i>t</i>2 + 9<i>dt </i>=n</p>n<p><i>πn</i></p>n<p>2n(4<i>t</i>2 + 9)3<i>/</i>2n</p>n<p>]2n0n=n</p>n<p><i>πn</i></p>n<p>2n(125<i>− </i>27) = 49<i>πn</i></p>n<p><b>50. </b><i>x′ </i>= <i>et</i>(cos <i>t− </i>sin <i>t</i>), <i>y′ </i>= <i>et</i>(cos <i>t</i>+ sin <i>t</i>), (<i>x′</i>)2 + (<i>y′</i>)2 = 2<i>e</i>2<i>tn</i></p>n<p><i>S </i>= 2<i>πn</i>∫ <i>π/</i>2n0n</p>n<p>(<i>et </i>sin <i>t</i>)n<i>√n</i>2<i>e</i>2<i>tdt </i>= 2n</p>n<p><i>√n</i>2<i>πn</i>∫ <i>π/</i>2n0n</p>n<p><i>e</i>2<i>t </i>sin <i>t dtn</i></p>n<p>= 2n<i>√n</i>2<i>πn</i>[n1n5n<i>e</i>2<i>t</i>(2 sin <i>t− </i>cos <i>t</i>)n</p>n<p>]<i>π/</i>2n0n</p>n<p>=n2n<i>√n</i>2n</p>n<p>5n<i>π</i>(2<i>eπ </i>+ 1)n</p>n<p><b>51. </b><i>x′ </i>= <i>−</i>2 sin <i>t </i>cos <i>t</i>, <i>y′ </i>= 2 sin <i>t </i>cos <i>t</i>, (<i>x′</i>)2 + (<i>y′</i>)2 = 8 sin2 <i>t </i>cos2 <i>tn</i></p>n<p><i>S </i>= 2<i>πn</i>∫ <i>π/</i>2n0n</p>n<p>cos2 <i>tn</i>√n8 sin2 <i>t </i>cos2 <i>t dt </i>= 4n</p>n<p><i>√n</i>2<i>πn</i>∫ <i>π/</i>2n0n</p>n<p>cos3 <i>t </i>sin <i>t dt </i>= <i>−n√n</i>2<i>π </i>cos4 <i>tn</i></p>n<p>]<i>π/</i>2n0n</p>n<p>=n<i>√n</i>2<i>πn</i></p>n<p><b>52. </b><i>x′ </i>= 6, <i>y′ </i>= 8<i>t</i>, (<i>x′</i>)2 + (<i>y′</i>)2 = 36 + 64<i>t</i>2, <i>S </i>= 2<i>πn</i>∫ 1n0n</p>n<p>6<i>tn</i>√n36 + 64<i>t</i>2 <i>dt </i>= 49<i>πn</i></p>n<p><b>53. </b><i>x′ </i>= <i>−r </i>sin <i>t</i>, <i>y′ </i>= <i>r </i>cos <i>t</i>, (<i>x′</i>)2 + (<i>y′</i>)2 = <i>r</i>2, <i>S </i>= 2<i>πn</i>∫ <i>πn</i>0n</p>n<p><i>r </i>sin <i>tn√nr</i>2 <i>dt </i>= 2<i>πr</i>2n</p>n<p>∫ <i>πn</i>0n</p>n<p>sin <i>t dt </i>= 4<i>πr</i>2n</p>n<p><b>54.n</b><i>dxn</i></p>n<p><i>dφn</i>= <i>a</i>(1<i>− </i>cos<i>φ</i>), <i>dyn</i></p>n<p><i>dφn</i>= <i>a </i>sin<i>φ</i>,n</p>n<p>(n<i>dxn</i></p>n<p><i>dφn</i></p>n<p>)2n+n(n<i>dyn</i></p>n<p><i>dφn</i></p>n<p>)2n= 2<i>a</i>2(1<i>− </i>cos<i>φ</i>)n</p>n<p><i>S </i>= 2<i>πn</i>∫ 2<i>πn</i>0n</p>n<p><i>a</i>(1<i>− </i>cos<i>φ</i>)n√n2<i>a</i>2(1<i>− </i>cos<i>φ</i>) <i>dφ </i>= 2n</p>n<p><i>√n</i>2<i>πa</i>2n</p>n<p>∫ 2<i>πn</i>0n</p>n<p>(1<i>− </i>cos<i>φ</i>)3<i>/</i>2<i>dφ,n</i></p>n<p>but 1<i>− </i>cos<i>φ </i>= 2 sin2 <i>φn</i>2nso (1<i>− </i>cos<i>φ</i>)3<i>/</i>2 = 2n</p>n<p><i>√n</i>2 sin3n</p>n<p><i>φn</i></p>n<p>2nfor 0 <i>≤ φ ≤ π </i>and, taking advantage of then</p>n<p>symmetry of the cycloid, <i>S </i>= 16<i>πa</i>2n∫ <i>πn</i>0n</p>n<p>sin3n<i>φn</i></p>n<p>2n<i>dφ </i>= 64<i>πa</i>2<i>/</i>3n</p>n<p><b>55. (a)n</b><i>drn</i></p>n<p><i>dtn</i>= 2 andn</p>n<p><i>dθn</i></p>n<p><i>dtn</i>= 1 son</p>n<p><i>drn</i></p>n<p><i>dθn</i>=n</p>n<p><i>dr/dtn</i></p>n<p><i>dθ/dtn</i>=n</p>n<p>2n1n</p>n<p>= 2, <i>r </i>= 2<i>θ </i>+ <i>C</i>, <i>r </i>= 10 when <i>θ </i>= 0 son</p>n<p>10 = <i>C, r </i>= 2<i>θ </i>+ 10.n</p>n<p><b>(b) </b><i>r</i>2 + (<i>dr/dθ</i>)2 = (2<i>θ </i>+ 10)2 + 4, during the first 5 seconds the rod rotates through an anglen</p>n<p>of (1)(5) = 5 radians so <i>L </i>=n∫ 5n0n</p>n<p>√n(2<i>θ </i>+ 10)2 + 4<i>dθ</i>, let <i>u </i>= 2<i>θ </i>+ 10 to getn</p>n<p><i>L</i>=n1n2n</p>n<p>∫ 20n10n</p>n<p>√n<i>u</i>2 + 4<i>du </i>=n</p>n<p>1n2n</p>n<p>[<i>un</i>2n</p>n<p>√n<i>u</i>2 + 4 + 2 ln <i>|u</i>+n</p>n<p>√n<i>u</i>2 + 4<i>|n</i></p>n<p>]20n10n</p>n<p>=n1n2n</p>n<p>[n10n<i>√n</i>404<i>− </i>5n</p>n<p><i>√n</i>104 + 2 lnn</p>n<p>20 +n<i>√n</i>404n</p>n<p>10 +n<i>√n</i>104n</p>n<p>]n<i>≈ </i>75<i>.</i>7 mmn</p>n<p><b>56. </b><i>x </i>= <i>r </i>cos <i>θ, y </i>= <i>r </i>sin <i>θ,ndxn</i></p>n<p><i>dθn</i>=n</p>n<p><i>drn</i></p>n<p><i>dθn</i>cos <i>θ − r </i>sin <i>θ, dyn</i></p>n<p><i>dθn</i>= <i>r </i>cos <i>θ </i>+n</p>n<p><i>drn</i></p>n<p><i>dθn</i>sin <i>θ,</i>(n</p>n<p><i>dxn</i></p>n<p><i>dθn</i></p>n<p>)2n+n(n<i>dyn</i></p>n<p><i>dθn</i></p>n<p>)2n= <i>r</i>2 +n</p>n<p>(n<i>drn</i></p>n<p><i>dθn</i></p>n<p>)2n, and Formula (6) of Section 8.4 becomesn</p>n<p><i>L </i>=n∫ <i>βnαn</i></p>n<p>√n<i>r</i>2 +n</p>n<p>(n<i>drn</i></p>n<p><i>dθn</i></p>n<p>)2n<i>dθ</i></p>nn</div></div>n<div><div><p><b>488 Chapter 11n</b></p>n<p><b>57. (a) </b>The end of the inner arm traces out the circle <i>x</i>1 = cos <i>t, y</i>1 = sin <i>t</i>. Relative to the end ofnthe inner arm, the outer arm traces out the circle <i>x</i>2 = cos 2<i>t, y</i>2 = <i>− </i>sin 2<i>t</i>. Add to get thenmotion of the center of the rider cage relative to the center of the inner arm:n<i>x </i>= cos <i>t</i>+ cos 2<i>t, y </i>= sin <i>t− </i>sin 2<i>t</i>.n</p>n<p><b>(b) </b>Same as Part (a), except <i>x</i>2 = cos 2<i>t, y</i>2 = sin 2<i>t</i>, so <i>x </i>= cos <i>t</i>+ cos 2<i>t, y </i>= sin <i>t</i>+ sin 2<i>tn</i></p>n<p><b>(c) </b><i>L</i>1 =n∫ 2<i>πn</i>0n</p>n<p>[(n<i>dxn</i></p>n<p><i>dtn</i></p>n<p>)2n+n(n<i>dyn</i></p>n<p><i>dtn</i></p>n<p>)2]1<i>/</i>2n<i>dt </i>=n</p>n<p>∫ 2<i>πn</i>0n</p>n<p><i>√n</i>5<i>− </i>4 cos 3<i>t dt ≈ </i>13<i>.</i>36489321,n</p>n<p><i>L</i>2 =n∫ 2<i>πn</i>0n</p>n<p><i>√n</i>5 + 4 cos <i>t dt ≈ </i>13<i>.</i>36489322; <i>L</i>1 and <i>L</i>2 appear to be equal, and indeed, with then</p>n<p>substitution <i>u </i>= 3<i>t− π </i>and the periodicity of cos<i>u</i>,n</p>n<p><i>L</i>1 =n1n3n</p>n<p>∫ 5<i>πn−πn</i></p>n<p>√n5<i>− </i>4 cos(<i>u</i>+ <i>π</i>) <i>du </i>=n</p>n<p>∫ 2<i>πn</i>0n</p>n<p><i>√n</i>5 + 4 cos<i>u du </i>= <i>L</i>2.n</p>n<p><b>59. (a) </b>The thread leaves the circle at the point <i>x</i>1 = <i>a </i>cos <i>θ, y</i>1 = <i>a </i>sin <i>θ</i>, and the end of the threadnis, relative to the point on the circle, on the tangent line at <i>x</i>2 = <i>aθ </i>sin <i>θ, y</i>2 = <i>−aθ </i>cos <i>θ</i>;nadding, <i>x </i>= <i>a</i>(cos <i>θ </i>+ <i>θ </i>sin <i>θ</i>)<i>, y </i>= <i>a</i>(sin <i>θ − θ </i>cos <i>θ</i>).n</p>n<p><b>(b) </b><i>dx/dθ </i>= <i>aθ </i>cos <i>θ, dy/dθ </i>= <i>aθ </i>sin <i>θ</i>; <i>dx/dθ </i>= 0 has solutions <i>θ </i>= 0<i>, π/</i>2<i>, </i>3<i>π/</i>2; and <i>dy/dθ </i>= 0nhas solutions <i>θ </i>= 0<i>, π, </i>2<i>π</i>. At <i>θ </i>= <i>π/</i>2<i>, dy/dθ > </i>0, so the direction is North; at <i>θ </i>= <i>π,ndx/dθ < </i>0, so West; at <i>θ </i>= 3<i>π/</i>2<i>, dy/dθ < </i>0, so South; at <i>θ </i>= 2<i>π, dx/dθ > </i>0, so East.n</p>n<p>Finally, limn<i>θ→</i>0+n</p>n<p><i>dyn</i></p>n<p><i>dxn</i>= limn</p>n<p><i>θ→</i>0+ntan <i>θ </i>= 0, so East.n</p>n<p><b>(c)n</b></p>n<p>–5n</p>n<p>5n</p>n<p>–5 51n</p>n<p><i>a </i>= 1n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p><b>60. (a)n</b></p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p>–1 1n</p>n<p>–1n</p>n<p>1n</p>n<p><b>(c) </b><i>L </i>=n∫ 1n<i>−</i>1n</p>n<p>[ncos2n</p>n<p>(n<i>πt</i>2n</p>n<p>2n</p>n<p>)n+ sin2n</p>n<p>(n<i>πt</i>2n</p>n<p>2n</p>n<p>)]n<i>dt </i>= 2</p>nn</div></div>n<div><div><p><b>Exercise Set 11.3 489n</b></p>n<p><b>61. </b>tan<i>ψ </i>= tan(<i>φ− θ</i>) = tan<i>φ− </i>tan <i>θn</i>1 + tan<i>φ </i>tan <i>θn</i></p>n<p>=n</p>n<p><i>dyn</i></p>n<p><i>dxn− yn</i></p>n<p><i>xn</i></p>n<p>1 +n<i>yn</i></p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>dyn</i></p>n<p><i>dxn</i></p>n<p>=n</p>n<p><i>r </i>cos <i>θ </i>+ (<i>dr/dθ</i>) sin <i>θn−r </i>sin <i>θ </i>+ (<i>dr/dθ</i>) cos <i>θ −n</i></p>n<p>sin <i>θn</i>cos <i>θn</i></p>n<p>1 +n(n</p>n<p><i>r </i>cos <i>θ </i>+ (<i>dr/dθ</i>) sin <i>θ</i>)n<i>−r </i>sin <i>θ </i>+ (<i>dr/dθ</i>) cos <i>θ</i>)n</p>n<p>)(nsin <i>θn</i>cos <i>θn</i></p>n<p>) = <i>rndr/dθn</i></p>n<p><b>62. (a) </b>From Exercise 61,n</p>n<p>tan<i>ψ </i>=n<i>rn</i></p>n<p><i>dr/dθn</i>=n</p>n<p>1<i>− </i>cos <i>θn</i>sin <i>θn</i></p>n<p>= tann<i>θn</i></p>n<p>2n,n</p>n<p>so <i>ψ </i>= <i>θ/</i>2.n</p>n<p><b>(b)n</b></p>n<p>0n</p>n<p>c/2n</p>n<p><b>(c) </b>At <i>θ </i>= <i>π/</i>2<i>, ψ </i>= <i>θ/</i>2 = <i>π/</i>4. At <i>θ </i>= 3<i>π/</i>2<i>, ψ </i>= <i>θ/</i>2 = 3<i>π/</i>4.n</p>n<p><b>63. </b>tan<i>ψ </i>=n<i>rn</i></p>n<p><i>dr/dθn</i>=n</p>n<p><i>aebθn</i></p>n<p><i>abebθn</i>=n</p>n<p>1n<i>bn</i>is constant, so <i>ψ </i>is constant.n</p>n<p><b>EXERCISE SET 11.3n</b></p>n<p><b>1. (a) </b><i>A </i>=n∫ <i>πn</i>0n</p>n<p>1n2n4<i>a</i>2 sin2 <i>θ dθ </i>= <i>πa</i>2 <b>(b) </b><i>A </i>=n</p>n<p>∫ <i>π/</i>2n<i>−π/</i>2n</p>n<p>1n2n4<i>a</i>2 cos2 <i>θ dθ </i>= <i>πa</i>2n</p>n<p><b>2. (a) </b><i>r</i>2 = 2<i>r </i>sin <i>θ </i>+ 2<i>r </i>cos <i>θ, x</i>2 + <i>y</i>2 <i>− </i>2<i>y − </i>2<i>x </i>= 0<i>, </i>(<i>x− </i>1)2 + (<i>y − </i>1)2 = 2n</p>n<p><b>(b) </b><i>A </i>=n∫ 3<i>π/</i>4n<i>−π/</i>4n</p>n<p>1n2n(2 sin <i>θ </i>+ 2 cos <i>θ</i>)2 <i>dθ </i>= 2<i>πn</i></p>n<p><b>3. </b><i>A </i>=n∫ 2<i>πn</i>0n</p>n<p>1n2n(2 + 2 sin <i>θ</i>)2<i>dθ </i>= 6<i>π <b></b></i><b>4. </b><i>A </i>=n</p>n<p>∫ <i>π/</i>2n0n</p>n<p>1n2n(1 + cos <i>θ</i>)2<i>dθ </i>= 3<i>π/</i>8 + 1n</p>n<p><b>5. </b><i>A </i>= 6n∫ <i>π/</i>6n0n</p>n<p>1n2n(16 cos2 3<i>θ</i>)<i>dθ </i>= 4<i>πn</i></p>n<p><b>6. </b>The petal in the first quadrant has arean∫ <i>π/</i>2n0n</p>n<p>1n2n4 sin2 2<i>θ dθ </i>= <i>π/</i>2, so total area = 2<i>π</i>.n</p>n<p><b>7. </b><i>A </i>= 2n∫ <i>πn</i>2<i>π/</i>3n</p>n<p>1n2n(1 + 2 cos <i>θ</i>)2<i>dθ </i>= <i>π − </i>3n</p>n<p><i>√n</i>3<i>/</i>2 <b>8. </b><i>A </i>=n</p>n<p>∫ 3n1n</p>n<p>2n<i>θ</i>2n</p>n<p><i>dθ </i>= 4<i>/</i>3n</p>n<p><b>9. </b>area = <i>A</i>1 <i>−A</i>2 =n∫ <i>π/</i>2n0n</p>n<p>1n2n4 cos2 <i>θ dθ −n</i></p>n<p>∫ <i>π/</i>4n0n</p>n<p>1n2ncos 2<i>θ dθ </i>= <i>π/</i>2<i>− </i>1n</p>n<p>4</p>nn</div></div>n<div><div><p><b>490 Chapter 11n</b></p>n<p><b>10. </b>area = <i>A</i>1 <i>−A</i>2 =n∫ <i>πn</i>0n</p>n<p>1n2n(1 + cos <i>θ</i>)2 <i>dθ −n</i></p>n<p>∫ <i>π/</i>2n0n</p>n<p>1n2ncos2 <i>θ dθ </i>= 5<i>π/</i>8n</p>n<p><b>11. </b>The circles intersect when cos <i>θ </i>=n<i>√n</i>3 sin <i>θ, </i>tan <i>θ </i>= 1<i>/n</i></p>n<p><i>√n</i>3<i>, θ </i>= <i>π/</i>6, son</p>n<p><i>A </i>= <i>A</i>1+<i>A</i>2 =n∫ <i>π/</i>6n0n</p>n<p>1n2n(4n<i>√n</i>3 sin <i>θ</i>)2 <i>dθ</i>+n</p>n<p>∫ <i>π/</i>2n<i>π/</i>6n</p>n<p>1n2n(4 cos <i>θ</i>)2 <i>dθ </i>= 2<i>π−</i>3n</p>n<p><i>√n</i>3+4<i>π/</i>3<i>−n</i></p>n<p><i>√n</i>3 = 10<i>π/</i>3<i>−</i>4n</p>n<p><i>√n</i>3.n</p>n<p><b>12. </b>The curves intersect when 1 + cos <i>θ </i>= 3 cos <i>θ, </i>cos <i>θ </i>= 1<i>/</i>2<i>, θ </i>= <i>±π/</i>3, and hence total area isn</p>n<p><i>A </i>= 2n∫ <i>π/</i>3n0n</p>n<p>1n2n(1 + cos <i>θ</i>)2 <i>dθ </i>+ 2n</p>n<p>∫ <i>π/</i>2n<i>π/</i>3n</p>n<p>1n2n9 cos2 <i>θ dθ </i>= 2(<i>π/</i>4 + 9n</p>n<p><i>√n</i>3<i>/</i>16 + 3<i>π/</i>8<i>− </i>9n</p>n<p><i>√n</i>3<i>/</i>16) = 5<i>π/</i>4.n</p>n<p><b>13. </b><i>A </i>= 2n∫ <i>π/</i>2n<i>π/</i>6n</p>n<p>1n2n[9 sin2 <i>θ − </i>(1 + sin <i>θ</i>)2]<i>dθ </i>= <i>πn</i></p>n<p><b>14. </b><i>A </i>= 2n∫ <i>πn</i>0n</p>n<p>1n2n[16<i>− </i>(2<i>− </i>2 cos <i>θ</i>)2]<i>dθ </i>= 10<i>π <b></b></i><b>15. </b><i>A </i>= 2n</p>n<p>∫ <i>π/</i>3n0n</p>n<p>1n2n[(2+2 cos <i>θ</i>)2<i>−</i>9]<i>dθ </i>= 9n</p>n<p><i>√n</i>3<i>/</i>2<i>−πn</i></p>n<p><b>16. </b><i>A </i>= 2n∫ <i>π/</i>4n0n</p>n<p>1n2n(4 cos2 <i>θ − </i>4 sin2 <i>θ</i>)<i>dθ </i>= 2n</p>n<p><b>17. </b><i>A </i>= 2n</p>n<p>[∫ 2<i>π/</i>3n0n</p>n<p>1n2n(1<i>/</i>2 + cos <i>θ</i>)2<i>dθ −n</i></p>n<p>∫ <i>πn</i>2<i>π/</i>3n</p>n<p>1n2n(1<i>/</i>2 + cos <i>θ</i>)2<i>dθn</i></p>n<p>]n= (<i>π </i>+ 3n</p>n<p><i>√n</i>3)<i>/</i>4n</p>n<p><b>18. </b><i>A </i>= 2n∫ <i>π/</i>3n0n</p>n<p>1n2n</p>n<p>[n(2 + 2 cos <i>θ</i>)2 <i>− </i>9n</p>n<p>4nsec2 <i>θn</i></p>n<p>]n<i>dθ </i>= 2<i>π </i>+n</p>n<p>9n4n</p>n<p><i>√n</i>3n</p>n<p><b>19. </b><i>A </i>= 2n∫ <i>π/</i>4n0n</p>n<p>1n2n(4<i>− </i>2 sec2 <i>θ</i>)<i>dθ </i>= <i>π − </i>2 <b>20. </b><i>A </i>= 8n</p>n<p>∫ <i>π/</i>8n0n</p>n<p>1n2n(4<i>a</i>2 cos2 2<i>θ − </i>2<i>a</i>2)<i>dθ </i>= 2<i>a</i>2n</p>n<p><b>21. (a) </b><i>r </i>is not real for <i>π/</i>4 <i>< θ < </i>3<i>π/</i>4 and 5<i>π/</i>4 <i>< θ < </i>7<i>π/</i>4n</p>n<p><b>(b) </b><i>A </i>= 4n∫ <i>π/</i>4n0n</p>n<p>1n2n<i>a</i>2 cos 2<i>θ dθ </i>= <i>a</i>2n</p>n<p><b>(c) </b><i>A </i>= 4n∫ <i>π/</i>6n0n</p>n<p>1n2n</p>n<p>[n4 cos 2<i>θ − </i>2n</p>n<p>]n<i>dθ </i>= 2n</p>n<p><i>√n</i>3<i>− </i>2<i>πn</i></p>n<p>3n</p>n<p><b>22. </b><i>A </i>= 2n∫ <i>π/</i>2n0n</p>n<p>1n2nsin 2<i>θ dθ </i>= 1 <b>23. </b><i>A </i>=n</p>n<p>∫ 4<i>πn</i>2<i>πn</i></p>n<p>1n2n<i>a</i>2<i>θ</i>2 <i>dθ −n</i></p>n<p>∫ 2<i>πn</i>0n</p>n<p>1n2n<i>a</i>2<i>θ</i>2 <i>dθ </i>= 8<i>π</i>3<i>a</i>2n</p>n<p><b>24. (a) </b><i>x </i>= <i>r </i>cos <i>θ, y </i>= <i>r </i>sin <i>θ,n</i></p>n<p>(<i>dx/dθ</i>)2 + (<i>dy/dθ</i>)2 = (<i>f ′</i>(<i>θ</i>) cos <i>θ− f</i>(<i>θ</i>) sin <i>θ</i>)2 + (<i>f ′</i>(<i>θ</i>) sin <i>θ</i>+ <i>f</i>(<i>θ</i>) cos <i>θ</i>)2 = <i>f ′</i>(<i>θ</i>)2 + <i>f</i>(<i>θ</i>)2;n</p>n<p><i>S </i>=n∫ <i>βnαn</i></p>n<p>2<i>πf</i>(<i>θ</i>) sin <i>θn</i>√n</p>n<p><i>f ′</i>(<i>θ</i>)2 + <i>f</i>(<i>θ</i>)2 <i>dθ </i>if about <i>θ </i>= 0; similarly for <i>θ </i>= <i>π/</i>2n</p>n<p><b>(b) </b><i>f ′, g′ </i>are continuous and no segment of the curve is traced more than once.</p>nn</div></div>n<div><div><p><b>Exercise Set 11.3 491n</b></p>n<p><b>25. </b><i>r</i>2 +n(n<i>drn</i></p>n<p><i>dθn</i></p>n<p>)2n= cos2 <i>θ </i>+ sin2 <i>θ </i>= 1,n</p>n<p>so <i>S </i>=n∫ <i>π/</i>2n<i>−π/</i>2n</p>n<p>2<i>π </i>cos2 <i>θ dθ </i>= <i>π</i>2<i>.n</i></p>n<p><b>26. </b><i>S </i>=n∫ <i>π/</i>2n0n</p>n<p>2<i>πeθ </i>cos <i>θn√n</i>2<i>e</i>2<i>θ dθn</i></p>n<p>= 2n<i>√n</i>2<i>πn</i>∫ <i>π/</i>2n0n</p>n<p><i>e</i>2<i>θ </i>cos <i>θ dθ </i>=n2n<i>√n</i>2<i>πn</i>5n</p>n<p>(<i>eπ − </i>2)n</p>n<p><b>27. </b><i>S </i>=n∫ <i>πn</i>0n</p>n<p>2<i>π</i>(1<i>− </i>cos <i>θ</i>) sin <i>θn</i>√n</p>n<p>1<i>− </i>2 cos <i>θ </i>+ cos2 <i>θ </i>+ sin2 <i>θ dθn</i></p>n<p>= 2n<i>√n</i>2<i>πn</i>∫ <i>πn</i>0n</p>n<p>sin <i>θ</i>(1<i>− </i>cos <i>θ</i>)3<i>/</i>2 <i>dθ </i>= 2n5n2n<i>√n</i>2<i>π</i>(1<i>− </i>cos <i>θ</i>)5<i>/</i>2n</p>n<p>∣∣∣<i>πn</i>0n= 32<i>π/</i>5n</p>n<p><b>28. </b><i>S </i>=n∫ <i>πn</i>0n</p>n<p>2<i>πa</i>(sin <i>θ</i>)<i>a dθ </i>= 4<i>πa</i>2n</p>n<p><b>29. (a) </b><i>r</i>3 cos3 <i>θ − </i>3<i>r</i>2 cos <i>θ </i>sin <i>θ </i>+ <i>r</i>3 sin3 <i>θ </i>= 0<i>, r </i>= 3 cos <i>θ </i>sin <i>θn</i>cos3 <i>θ </i>+ sin3 <i>θn</i></p>n<p><b>30. (a) </b><i>A </i>= 2n∫ <i>π/</i>(2<i>n</i>)n0n</p>n<p>1n2n<i>a</i>2 cos2 <i>nθ dθ </i>=n</p>n<p><i>πa</i>2n</p>n<p>4<i>nn<b></b></i><b>(b) </b><i>A </i>= 2n</p>n<p>∫ <i>π/</i>(2<i>n</i>)n0n</p>n<p>1n2n<i>a</i>2 cos2 <i>nθ dθ </i>=n</p>n<p><i>πa</i>2n</p>n<p>4<i>nn</i></p>n<p><b>(c)n</b>1n2<i>nn</i></p>n<p><i>× </i>total area = <i>πan</i>2n</p>n<p>4<i>nn<b></b></i><b>(d)n</b></p>n<p>1n<i>nn× </i>total area = <i>πan</i></p>n<p>2n</p>n<p>4<i>nn</i></p>n<p><b>31. </b>If the upper right corner of the square is the point (<i>a, a</i>) then the large circle has equation <i>r </i>=n<i>√n</i>2<i>an</i></p>n<p>and the small circle has equation (<i>x− a</i>)2 + <i>y</i>2 = <i>a</i>2<i>, r </i>= 2<i>a </i>cos <i>θ</i>, son</p>n<p>area of crescent = 2n∫ <i>π/</i>4n0n</p>n<p>1n2n</p>n<p>[n(2<i>a </i>cos <i>θ</i>)2 <i>− </i>(n</p>n<p><i>√n</i>2<i>a</i>)2n</p>n<p>]n<i>dθ </i>= <i>a</i>2 = area of square.</p>nn</div></div>n<div><div><p><b>492 Chapter 11n</b></p>n<p><b>32. </b><i>A </i>=n∫ 2<i>πn</i>0n</p>n<p>1n2n(cos 3<i>θ </i>+ 2)2 <i>dθ </i>= 9<i>π/</i>2n</p>n<p>3n</p>n<p>–3n</p>n<p>–3 3n</p>n<p><b>33. </b><i>A </i>=n∫ <i>π/</i>2n0n</p>n<p>1n2n4 cos2 <i>θ </i>sin4 <i>θ dθ </i>= <i>π/</i>16n</p>n<p>1n</p>n<p>–1n</p>n<p>0 1n</p>n<p><b>EXERCISE SET 11.4n</b></p>n<p><b>1. (a) </b>4<i>px </i>= <i>y</i>2, point (1<i>, </i>1)<i>, </i>4<i>p </i>= 1<i>, x </i>= <i>y</i>2 <b>(b) </b><i>−</i>4<i>py </i>= <i>x</i>2, point (3<i>,−</i>3)<i>, </i>12<i>p </i>= 9<i>,−</i>3<i>y </i>= <i>x</i>2n</p>n<p><b>(c) </b><i>a </i>= 3<i>, b </i>= 2<i>,nx</i>2n</p>n<p>9n+n</p>n<p><i>y</i>2n</p>n<p>4n= 1 <b>(d) </b><i>a </i>= 3<i>, b </i>= 2<i>,n</i></p>n<p><i>x</i>2n</p>n<p>4n+n</p>n<p><i>y</i>2n</p>n<p>9n= 1n</p>n<p><b>(e) </b>asymptotes: <i>y </i>= <i>±x</i>, so <i>a </i>= <i>b</i>; point (0<i>, </i>1), so <i>y</i>2 <i>− x</i>2 = 1n</p>n<p><b>(f) </b>asymptotes: <i>y </i>= <i>±x</i>, so <i>b </i>= <i>a</i>; point (2<i>, </i>0), so <i>xn</i>2n</p>n<p>4n<i>− yn</i></p>n<p>2n</p>n<p>4n= 1n</p>n<p><b>2. (a) </b>Part (a), vertex (0<i>, </i>0)<i>, p </i>= 1<i>/</i>4; focus (1<i>/</i>4<i>, </i>0), directrix: <i>x </i>= <i>−</i>1<i>/</i>4nPart (b), vertex (0<i>, </i>0)<i>, p </i>= 3<i>/</i>4; focus (0<i>,−</i>3<i>/</i>4), directrix: <i>y </i>= 3<i>/</i>4n</p>n<p><b>(b) </b>Part (c), <i>c </i>=n<i>√na</i>2 <i>− b</i>2 =n</p>n<p><i>√n</i>5, foci (<i>±n</i></p>n<p><i>√n</i>5<i>, </i>0)n</p>n<p>Part (d), <i>c </i>=n<i>√na</i>2 <i>− b</i>2 =n</p>n<p><i>√n</i>5, foci (0<i>,±n</i></p>n<p><i>√n</i>5)n</p>n<p><b>(c) </b>Part (e), <i>c </i>=n<i>√na</i>2 + <i>b</i>2 =n</p>n<p><i>√n</i>2, foci at (0<i>,±n</i></p>n<p><i>√n</i>2); asymptotes: <i>y</i>2 <i>− x</i>2 = 0<i>, y </i>= <i>±xn</i></p>n<p>Part (f), <i>c </i>=n<i>√na</i>2 + <i>b</i>2 =n</p>n<p><i>√n</i>8 = 2n</p>n<p><i>√n</i>2, foci at (<i>±</i>2n</p>n<p><i>√n</i>2<i>, </i>0); asymptotes:n</p>n<p><i>x</i>2n</p>n<p>4n<i>− yn</i></p>n<p>2n</p>n<p>4n= 0<i>, y </i>= <i>±xn</i></p>n<p><b>3. (a)n</b></p>n<p>–3 3n</p>n<p>–3n</p>n<p>3n</p>n<p><i>F</i>(1,0) <i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p><i>x</i> = –1n</p>n<p><b>(b)n</b></p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p><i>F</i>(0, –2)n</p>n<p><i>y</i> = 2 n</p>n<p>–5 5n</p>n<p>–5n</p>n<p>5n</p>n<p><b>4. (a)n</b></p>n<p>5n2n</p>n<p><i>x</i> =n</p>n<p>5n2n</p>n<p><i>F</i>(– , 0) <i>xn</i></p>n<p><i>y <b></b></i><b>(b)n</b></p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p><i>F</i>(0, 1)n</p>n<p><i>y</i> = –1</p>nn</div></div>n<div><div><p><b>Exercise Set 11.4 493n</b></p>n<p><b>5. (a)n</b></p>n<p>6n</p>n<p>6n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i>1n2n</p>n<p><i>x</i> = n</p>n<p><i>V</i>(2, 3)n</p>n<p>7n2<i>F</i>( , 3)n</p>n<p><b>(b)n</b></p>n<p>–4n</p>n<p>–4n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p>9n4n</p>n<p><i>F</i>(–2, – )n</p>n<p>7n4n</p>n<p><i>y</i> = –n</p>n<p><i>V</i>(–2, –2)n</p>n<p><b>6. (a)n</b><i>x</i> = –1n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p><i>F</i>(–7, 1)n</p>n<p><i>V</i>(–4, 1)n</p>n<p><b>(b)n</b></p>n<p><i>F</i>(1, 1)n</p>n<p>1n</p>n<p><i>V </i>(1, )12n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p><i>y</i> = 0n</p>n<p><b>7. (a)n</b></p>n<p>4n</p>n<p>4n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p>5n2n</p>n<p><i>V</i>(2, )n</p>n<p><i>F</i>(2, 2)n</p>n<p><i>y</i> = 3n</p>n<p><b>(b)n</b></p>n<p>2n</p>n<p>4n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p><i>V</i>(–2, 2)n7n4<i>F </i>(– , 2)n</p>n<p>9n4n</p>n<p><i>x</i> = –n</p>n<p><b>8. (a)n</b></p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>y</i>9n2n</p>n<p><i>x</i> = –n</p>n<p>7n2n</p>n<p><i>F</i>(– , 3)n<i>V</i>(–4, 3)n</p>n<p><b>(b)n</b></p>n<p>15n16n</p>n<p><i>y</i> =n</p>n<p>17n16n</p>n<p><i>F</i>(–1, )n<i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p><i>V</i> (–1, 1)n</p>n<p><b>9. (a) </b><i>c</i>2 = 16<i>− </i>9 = 7, <i>c </i>=n<i>√n</i>7n</p>n<p>(4, 0)n</p>n<p>(0, 3)n</p>n<p>(0, –3)n</p>n<p>(–4, 0) <i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p>(–√7, 0)n</p>n<p>(√7, 0)n</p>n<p><b>(b)n</b><i>x</i>2n</p>n<p>1n+n</p>n<p><i>y</i>2n</p>n<p>9n= 1n</p>n<p><i>c</i>2 = 9<i>− </i>1 = 8<i>, c </i>= 2n<i>√n</i>2n</p>n<p>(0, 3)n</p>n<p>(0, –3)n</p>n<p>(–1, 0) (1, 0)n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p>(0, √8)n</p>n<p>(0, –√8)</p>nn</div></div>n<div><div><p><b>494 Chapter 11n</b></p>n<p><b>10. (a) </b><i>c</i>2 = 25<i>− </i>4 = 21, <i>c </i>=n<i>√n</i>21n</p>n<p>(0, 2)n</p>n<p>(0, –2)n</p>n<p>(–3, 0)n</p>n<p>(3, 0)n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p>(–√5, 0)n</p>n<p>(√5, 0)n</p>n<p><b>(b)n</b><i>x</i>2n</p>n<p>9n+n</p>n<p><i>y</i>2n</p>n<p>36n= 1n</p>n<p><i>c</i>2 = 36<i>− </i>9 = 27<i>, c </i>= 3n<i>√n</i>3n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>y </i>(3√3, 0)n</p>n<p>(3, 0)n</p>n<p>(0, 6)n</p>n<p>(0, –6)n</p>n<p>(–3, 0)n</p>n<p>(–3√3, 0)n</p>n<p><b>11. (a)n</b>(<i>x− </i>1)2n</p>n<p>9n+n</p>n<p>(<i>y − </i>3)2n16n</p>n<p>= 1n</p>n<p><i>c</i>2 = 16<i>− </i>9 = 7<i>, c </i>=n<i>√n</i>7n</p>n<p>(1, 7)n</p>n<p>(1, –1)n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p>(1 – √7, 3) (1 + √7, 3)n</p>n<p>(5, 3)(–3, 3)n</p>n<p><b>(b)n</b>(<i>x</i>+ 2)2n</p>n<p>4n+n</p>n<p>(<i>y </i>+ 1)2n</p>n<p>9n= 1n</p>n<p><i>c</i>2 = 9<i>− </i>4 = 5<i>, c </i>=n<i>√n</i>5n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p>(–2, –1 + √5 )n</p>n<p>(–2, –1 – √5 )n</p>n<p>(0, –1)n</p>n<p>(–2, 2)n</p>n<p>(–2, –4)n</p>n<p>(–4, –1)n</p>n<p><b>12. (a)n</b>(<i>x</i>+ 3)2n</p>n<p>16n+n</p>n<p>(<i>y − </i>5)2n4n</p>n<p>= 1n</p>n<p><i>c</i>2 = 16<i>− </i>4 = 12<i>, c </i>= 2n<i>√n</i>3n</p>n<p>(1, 5)n</p>n<p>(–3, 7)n</p>n<p>(–3, 3)n</p>n<p>(–7, 5)n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p>(–3 – 2√3, 5)n</p>n<p>(–3 + 2√3, 5)n</p>n<p><b>(b)n</b><i>x</i>2n</p>n<p>4n+n</p>n<p>(<i>y </i>+ 2)2n</p>n<p>9n= 1n</p>n<p><i>c</i>2 = 9<i>− </i>4 = 5<i>, c </i>=n<i>√n</i>5n</p>n<p>(0, –5)n</p>n<p>(0, 1) (0, –2 + √5)n</p>n<p>(0, –2 – √5)n</p>n<p>(–2, –2) (2, –2)n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>y</i></p>nn</div></div>n<div><div><p><b>Exercise Set 11.4 495n</b></p>n<p><b>13. (a)n</b>(<i>x</i>+ 1)2n</p>n<p>9n+n</p>n<p>(<i>y − </i>1)2n1n</p>n<p>= 1n</p>n<p><i>c</i>2 = 9<i>− </i>1 = 8<i>, c </i>= 2n<i>√n</i>2n</p>n<p>(–1, 2)n</p>n<p>(–1, 0)(–4, 1)n</p>n<p>(2, 1)n<i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p>(–1 – √8, 1)n</p>n<p>(–1 + √8, 1)n</p>n<p><b>(b)n</b>(<i>x</i>+ 1)2n</p>n<p>4n+n</p>n<p>(<i>y − </i>5)2n16n</p>n<p>= 1n</p>n<p><i>c</i>2 = 16<i>− </i>4 = 12<i>, c </i>= 2n<i>√n</i>3n</p>n<p>(1, 5)(–3, 5)n</p>n<p>(–1, 1)n</p>n<p>(–1, 9)n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p>(–1, 5 + 2√3)n</p>n<p>(–1, 5 – 2√3)n</p>n<p><b>14. (a)n</b>(<i>x− </i>1)2n</p>n<p>4n+n</p>n<p>(<i>y </i>+ 3)2n</p>n<p>9n= 1n</p>n<p><i>c</i>2 = 9<i>− </i>4 = 5<i>, c </i>=n<i>√n</i>5n</p>n<p>(1, –3 + √5)n</p>n<p>(1, –3 – √5)n(3, –3)n</p>n<p>(1, 0)n</p>n<p>(1, –6)n</p>n<p>(–1, –3)n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p><b>(b)n</b>(<i>x</i>+ 2)2n</p>n<p>9n+n</p>n<p>(<i>y − </i>3)2n5n</p>n<p>= 1n</p>n<p><i>c</i>2 = 9<i>− </i>5 = 4<i>, c </i>= 2n</p>n<p>(–2, 3 + √5)n</p>n<p>(–2, 3 – √5)n</p>n<p>(0, 3)n(–5, 3) (1, 3)n</p>n<p>(–4, 3)n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p><b>15. (a) </b><i>c</i>2 = <i>a</i>2 + <i>b</i>2 = 16 + 9 = 25<i>, c </i>= 5n</p>n<p>(–4, 0) (4, 0)n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p>3n4n</p>n<p><i>y</i> = – <i>x </i>3n4n</p>n<p><i>y</i> = <i>xn</i></p>n<p>(–5, 0) (5, 0)n</p>n<p><b>(b) </b><i>y</i>2<i>/</i>4<i>− x</i>2<i>/</i>36 = 1n<i>c</i>2 = 4 + 36 = 40<i>, c </i>= 2n</p>n<p><i>√n</i>10n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p>1n3n</p>n<p><i>y</i> = – <i>x</i>1n3n</p>n<p><i>y</i> = <i>xn</i></p>n<p>(0, –2)n</p>n<p>(0, 2)n</p>n<p>(0, 2√10)n</p>n<p>(0, –2√10)n</p>n<p><b>16. (a) </b><i>c</i>2 = <i>a</i>2 + <i>b</i>2 = 9 + 25 = 34<i>, c </i>=n<i>√n</i>34n</p>n<p>(0, –3)n</p>n<p>(0, 3)n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p>(0, √34)n</p>n<p>(0, –√34)n</p>n<p>3n5n</p>n<p><i>y</i> = – <i>x </i>3n5n</p>n<p><i>y</i> = <i>xn</i></p>n<p><b>(b) </b><i>x</i>2<i>/</i>25<i>− y</i>2<i>/</i>16 = 1n<i>c</i>2 = 25 + 16 = 41<i>, c </i>=n</p>n<p><i>√n</i>41n</p>n<p>(–5, 0) (5, 0)n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i>4n5n</p>n<p><i>y</i> = – <i>x </i>4n5n</p>n<p><i>y</i> = <i>xn</i></p>n<p>(–√41, 0) (√41, 0)</p>nn</div></div>n<div><div><p><b>496 Chapter 11n</b></p>n<p><b>17. (a) </b><i>c</i>2 = 9 + 4 = 13<i>, c </i>=n<i>√n</i>13n</p>n<p>(4, –2) <i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p>(1 – √13, –2) (1 + √13, –2)n</p>n<p>(–2, –2)n</p>n<p><i>y</i> + 2 = – (<i>x</i> – 1)2n3n</p>n<p><i>y</i> + 2 = (<i>x</i> – 1)2n3n</p>n<p><b>(b) </b>(<i>y − </i>3)2<i>/</i>9<i>− </i>(<i>x− </i>2)2<i>/</i>4 = 1n<i>c</i>2 = 9 + 4 = 13<i>, c </i>=n</p>n<p><i>√n</i>13n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p>(2, 6)n(2, 0)n</p>n<p>(2, 3 + √13)n</p>n<p>(2, 3 – √13)n</p>n<p>3n2n</p>n<p><i>y</i> – 3 = (<i>x</i> – 2)n</p>n<p>3n2n</p>n<p><i>y</i> – 3 = – (<i>x</i> – 2)n</p>n<p><b>18. (a) </b><i>c</i>2 = 3 + 5 = 8<i>, c </i>= 2n<i>√n</i>2n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p>(2, –4 + √3)n(2, –4 – √3)n</p>n<p>(2, –4 – 2√2)n</p>n<p>(2, –4 + 2√2)n</p>n<p>√35<i>y</i> + 4 = (<i>x</i> – 2)n</p>n<p>√35<i>y</i> + 4 = – (<i>x</i> – 2)n</p>n<p><b>(b) </b>(<i>x</i>+ 1)2<i>/</i>1<i>− </i>(<i>y − </i>3)2<i>/</i>2 = 1n<i>c</i>2 = 1 + 2 = 3<i>, c </i>=n</p>n<p><i>√n</i>3n</p>n<p>(–2, 3)n</p>n<p>(–1 + √3, 3)(–1 − √3, 3)n</p>n<p>(0, 3)n</p>n<p><i>y</i> − 3 = √2(<i>x</i> + 1)n</p>n<p><i>y</i> − 3 = −√2(<i>x</i> + 1)n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p><b>19. (a) </b>(<i>x</i>+ 1)2<i>/</i>4<i>− </i>(<i>y − </i>1)2<i>/</i>1 = 1n<i>c</i>2 = 4 + 1 = 5<i>, c </i>=n</p>n<p><i>√n</i>5n</p>n<p>(–3, 1)n</p>n<p>(1, 1)n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p><i>y</i> – 1 = – (<i>x</i> + 1)1n2n</p>n<p><i>y</i> – 1 = (<i>x</i> + 1)1n2n</p>n<p>(–1 – √5, 1)n</p>n<p>(–1 + √5, 1)n</p>n<p><b>(b) </b>(<i>x− </i>1)2<i>/</i>4<i>− </i>(<i>y </i>+ 3)2<i>/</i>64 = 1n<i>c</i>2 = 4 + 64 = 68<i>, c </i>= 2n</p>n<p><i>√n</i>17n</p>n<p>(–1, –3) (3, –3) <i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p><i>y</i> + 3 = –4(<i>x</i> –1)n</p>n<p><i>y</i> + 3 = 4(<i>x</i> –1)n</p>n<p>(1 + 2√17, –3)(1 – 2√17, –3)</p>nn</div></div>n<div><div><p><b>Exercise Set 11.4 497n</b></p>n<p><b>20. (a) </b>(<i>y </i>+ 3)2<i>/</i>4<i>− </i>(<i>x− </i>2)2<i>/</i>9 = 1n<i>c</i>2 = 4 + 9 = 13<i>, c </i>=n</p>n<p><i>√n</i>13n</p>n<p>(2, –1)n</p>n<p>(2, –5)n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p>2n3n</p>n<p><i>y</i> + 3 = – (<i>x</i> – 2)n2n3n</p>n<p><i>y</i> + 3 = (<i>x</i> – 2)n</p>n<p>(–2, 3 – √13)n</p>n<p>(–2, 3 + √13)n</p>n<p><b>(b) </b>(<i>y − </i>5)2<i>/</i>9<i>− </i>(<i>x</i>+ 2)2<i>/</i>36 = 1n<i>c</i>2 = 9 + 36 = 45<i>, c </i>= 3n</p>n<p><i>√n</i>5n</p>n<p>(–2, 2)n</p>n<p>(–2, 8)n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p>1n2n</p>n<p><i>y</i> – 5 = – (<i>x</i> + 2)n</p>n<p>1n2n</p>n<p><i>y</i> – 5 = (<i>x</i> + 2)n</p>n<p>(–2, 5 + 3√5)n</p>n<p>(–2, 5 – 3√5)n</p>n<p><b>21. (a) </b><i>y</i>2 = 4<i>px</i>, <i>p </i>= 3, <i>y</i>2 = 12<i>x <b></b></i><b>(b) </b><i>y</i>2 = <i>−</i>4<i>px</i>, <i>p </i>= 7, <i>y</i>2 = <i>−</i>28<i>xn</i></p>n<p><b>22. (a) </b><i>x</i>2 = <i>−</i>4<i>py</i>, <i>p </i>= 3, <i>x</i>2 = <i>−</i>12<i>y <b></b></i><b>(b) </b><i>x</i>2 = <i>−</i>4<i>py</i>, <i>p </i>= 1<i>/</i>4, <i>x</i>2 = <i>−yn</i></p>n<p><b>23. (a) </b><i>x</i>2 = <i>−</i>4<i>py</i>, <i>p </i>= 3, <i>x</i>2 = <i>−</i>12<i>yn<b></b></i><b>(b) </b>The vertex is 3 units above the directrix so <i>p </i>= 3, (<i>x− </i>1)2 = 12(<i>y − </i>1)<i>.n</i></p>n<p><b>24. (a) </b><i>y</i>2 = 4<i>px</i>, <i>p </i>= 6, <i>y</i>2 = 24<i>xn</i></p>n<p><b>(b) </b>The vertex is half way between the focus and directrix so the vertex is at (2<i>, </i>4), the focus is 3nunits to the left of the vertex so <i>p </i>= 3, (<i>y − </i>4)2 = <i>−</i>12(<i>x− </i>2)n</p>n<p><b>25. </b><i>y</i>2 = <i>a</i>(<i>x − h</i>), 4 = <i>a</i>(3 <i>− h</i>) and 2 = <i>a</i>(2 <i>− h</i>), solve simultaneously to get <i>h </i>= 1, <i>a </i>= 2 son<i>y</i>2 = 2(<i>x− </i>1)n</p>n<p><b>26. </b>(<i>x− </i>5)2 = <i>a</i>(<i>y </i>+ 3), (9<i>− </i>5)2 = <i>a</i>(5 + 3) so <i>a </i>= 2, (<i>x− </i>5)2 = 2(<i>y </i>+ 3)n</p>n<p><b>27. (a) </b><i>x</i>2<i>/</i>9 + <i>y</i>2<i>/</i>4 = 1n</p>n<p><b>(b) </b><i>a </i>= 26<i>/</i>2 = 13, <i>c </i>= 5, <i>b</i>2 = <i>a</i>2 <i>− c</i>2 = 169<i>− </i>25 = 144; <i>x</i>2<i>/</i>169 + <i>y</i>2<i>/</i>144 = 1n</p>n<p><b>28. (a) </b><i>x</i>2 + <i>y</i>2<i>/</i>7 = 1n</p>n<p><b>(b) </b><i>b </i>= 4, <i>c </i>= 3, <i>a</i>2 = <i>b</i>2 + <i>c</i>2 = 16 + 9 = 25; <i>x</i>2<i>/</i>16 + <i>y</i>2<i>/</i>25 = 1n</p>n<p><b>29. (a) </b><i>c </i>= 1, <i>a</i>2 = <i>b</i>2 + <i>c</i>2 = 2 + 1 = 3; <i>x</i>2<i>/</i>3 + <i>y</i>2<i>/</i>2 = 1n</p>n<p><b>(b) </b><i>b</i>2 = 16<i>− </i>12 = 4; <i>x</i>2<i>/</i>16 + <i>y</i>2<i>/</i>4 = 1 and <i>x</i>2<i>/</i>4 + <i>y</i>2<i>/</i>16 = 1n</p>n<p><b>30. (a) </b><i>c </i>= 3, <i>b</i>2 = <i>a</i>2 <i>− c</i>2 = 16<i>− </i>9 = 7; <i>x</i>2<i>/</i>16 + <i>y</i>2<i>/</i>7 = 1n<b>(b) </b><i>a</i>2 = 9 + 16 = 25; <i>x</i>2<i>/</i>25 + <i>y</i>2<i>/</i>9 = 1 and <i>x</i>2<i>/</i>9 + <i>y</i>2<i>/</i>25 = 1n</p>n<p><b>31. (a) </b><i>a </i>= 6, (<i>−</i>3<i>, </i>2) satisfies <i>x</i>2<i>/</i>36 + <i>y</i>2<i>/b</i>2 = 1 so 9<i>/</i>36 + 4<i>/b</i>2 = 1, <i>b</i>2 = 16<i>/</i>3; <i>x</i>2<i>/</i>36 + 3<i>y</i>2<i>/</i>16 = 1n<b>(b) </b>The center is midway between the foci so it is at (<i>−</i>1<i>, </i>2), thusn</p>n<p><i>c </i>= 1, <i>b </i>= 2, <i>a</i>2 = 1 + 4 = 5<i>, a </i>=n<i>√n</i>5; (<i>x</i>+ 1)2<i>/</i>4 + (<i>y − </i>2)2<i>/</i>5 = 1n</p>n<p><b>32. (a) </b>Substitute (3<i>, </i>2) and (1<i>, </i>6) into <i>x</i>2<i>/A</i>+ <i>y</i>2<i>/B </i>= 1 to get 9<i>/A</i>+4<i>/B </i>= 1 and 1<i>/A</i>+36<i>/B </i>= 1nwhich yields <i>A </i>= 10, <i>B </i>= 40; <i>x</i>2<i>/</i>10 + <i>y</i>2<i>/</i>40 = 1n</p>n<p><b>(b) </b>The center is at (2<i>,−</i>1) thus <i>c </i>= 2, <i>a </i>= 3, <i>b</i>2 = 9<i>− </i>4 = 5; (<i>x− </i>2)2<i>/</i>5 + (<i>y </i>+ 1)2<i>/</i>9 = 1</p>nn</div></div>n<div><div><p><b>498 Chapter 11n</b></p>n<p><b>33. (a) </b><i>a </i>= 2, <i>c </i>= 3, <i>b</i>2 = 9<i>− </i>4 = 5; <i>x</i>2<i>/</i>4<i>− y</i>2<i>/</i>5 = 1n<b>(b) </b><i>a </i>= 1, <i>b/a </i>= 2, <i>b </i>= 2; <i>x</i>2 <i>− y</i>2<i>/</i>4 = 1n</p>n<p><b>34. (a) </b><i>a </i>= 4, <i>c </i>= 5, <i>b</i>2 = 25<i>− </i>16 = 9; <i>y</i>2<i>/</i>16<i>− x</i>2<i>/</i>9 = 1n<b>(b) </b><i>a </i>= 2, <i>a/b </i>= 2<i>/</i>3, <i>b </i>= 3; <i>y</i>2<i>/</i>4<i>− x</i>2<i>/</i>9 = 1n</p>n<p><b>35. (a) </b>vertices along <i>x</i>-axis: <i>b/a </i>= 3<i>/</i>2 so <i>a </i>= 8<i>/</i>3; <i>x</i>2<i>/</i>(64<i>/</i>9)<i>− y</i>2<i>/</i>16 = 1nvertices along <i>y</i>-axis: <i>a/b </i>= 3<i>/</i>2 so <i>a </i>= 6; <i>y</i>2<i>/</i>36<i>− x</i>2<i>/</i>16 = 1n</p>n<p><b>(b) </b><i>c </i>= 5, <i>a/b </i>= 2 and <i>a</i>2 + <i>b</i>2 = 25, solve to get <i>a</i>2 = 20, <i>b</i>2 = 5; <i>y</i>2<i>/</i>20<i>− x</i>2<i>/</i>5 = 1n</p>n<p><b>36. (a) </b>foci along the <i>x</i>-axis: <i>b/a </i>= 3<i>/</i>4 and <i>a</i>2 + <i>b</i>2 = 25, solve to get <i>a</i>2 = 16, <i>b</i>2 = 9;n<i>x</i>2<i>/</i>16 <i>− y</i>2<i>/</i>9 = 1 foci along the <i>y</i>-axis: <i>a/b </i>= 3<i>/</i>4 and <i>a</i>2 + <i>b</i>2 = 25 which results inn<i>y</i>2<i>/</i>9<i>− x</i>2<i>/</i>16 = 1n</p>n<p><b>(b) </b><i>c </i>= 3, <i>b/a </i>= 2 and <i>a</i>2 + <i>b</i>2 = 9 so <i>a</i>2 = 9<i>/</i>5, <i>b</i>2 = 36<i>/</i>5; <i>x</i>2<i>/</i>(9<i>/</i>5)<i>− y</i>2<i>/</i>(36<i>/</i>5) = 1n</p>n<p><b>37. (a) </b>The center is at (3<i>, </i>6), <i>a </i>= 3, <i>c </i>= 5, <i>b</i>2 = 25<i>− </i>9 = 16; (<i>x− </i>3)2<i>/</i>9<i>− </i>(<i>y − </i>6)2<i>/</i>16 = 1n<b>(b) </b>The asymptotes intersect at (3<i>, </i>1) which is the center, (<i>x − </i>3)2<i>/a</i>2 <i>− </i>(<i>y − </i>1)2<i>/b</i>2 = 1 is then</p>n<p>form of the equation because (0<i>, </i>0) is to the left of both asymptotes, 9<i>/a</i>2 <i>− </i>1<i>/b</i>2 = 1 andn<i>a/b </i>= 1 which yields <i>a</i>2 = 8, <i>b</i>2 = 8; (<i>x− </i>3)2<i>/</i>8<i>− </i>(<i>y − </i>1)2<i>/</i>8 = 1.n</p>n<p><b>38. (a) </b>the center is at (1<i>,−</i>2); <i>a </i>= 2, <i>c </i>= 10, <i>b</i>2 = 100<i>− </i>4 = 96; (<i>y </i>+ 2)2<i>/</i>4<i>− </i>(<i>x− </i>1)2<i>/</i>96 = 1n</p>n<p><b>(b) </b>the center is at (1<i>,−</i>1); 2<i>a </i>= 5<i>− </i>(<i>−</i>3) = 8<i>, a </i>= 4<i>, </i>(<i>x− </i>1)n2n</p>n<p>16n<i>− </i>(<i>y </i>+ 1)n</p>n<p>2n</p>n<p>16n= 1n</p>n<p><b>39. (a) </b><i>y </i>= <i>ax</i>2 + <i>b</i>, (20<i>, </i>0) and (10<i>, </i>12) are on the curve son400<i>a</i>+ <i>b </i>= 0 and 100<i>a</i>+ <i>b </i>= 12. Solve for <i>b </i>to getn<i>b </i>= 16 ft = height of arch.n</p>n<p><b>(b)n</b><i>x</i>2n</p>n<p><i>a</i>2n+n</p>n<p><i>y</i>2n</p>n<p><i>b</i>2n= 1<i>, </i>400 = <i>a</i>2<i>, a </i>= 20;n</p>n<p>100n400n</p>n<p>+n144n<i>b</i>2n</p>n<p>= 1,n</p>n<p><i>b </i>= 8n<i>√n</i>3 ft = height of arch.n</p>n<p>–20 –10 10 20n</p>n<p>(10, 12)n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p><b>40. (a) </b>(<i>x− b/</i>2)2 = <i>a</i>(<i>y − h</i>), but (0<i>, </i>0) is on the parabola so <i>b</i>2<i>/</i>4 = <i>−ah</i>, <i>a </i>= <i>− bn</i>2n</p>n<p>4<i>hn</i>,n</p>n<p>(<i>x− b/</i>2)2 = <i>− bn</i>2n</p>n<p>4<i>hn</i>(<i>y − h</i>)n</p>n<p><b>(b) </b>As in Part (a), <i>y </i>= <i>−</i>4<i>hnb</i>2n</p>n<p>(<i>x− b/</i>2)2 + <i>h</i>, <i>A </i>=n∫ <i>bn</i>0n</p>n<p>[n<i>−</i>4<i>hnb</i>2n</p>n<p>(<i>x− b/</i>2)2 + <i>hn</i>]n<i>dx </i>=n</p>n<p>2n3n<i>bhn</i></p>n<p><b>41. </b>We may assume that the vertex is (0<i>, </i>0) and the parabola opens to the right. Let <i>P </i>(<i>x</i>0<i>, y</i>0) be anpoint on the parabola <i>y</i>2 = 4<i>px</i>, then by the definition of a parabola, <i>PF </i>= distance from <i>P </i>tondirectrix <i>x </i>= <i>−p</i>, so <i>PF </i>= <i>x</i>0 + <i>p </i>where <i>x</i>0 <i>≥ </i>0 and <i>PF </i>is a minimum when <i>x</i>0 = 0 (the vertex).</p>nn</div></div>n<div><div><p><b>Exercise Set 11.4 499n</b></p>n<p><b>42. </b>Let <i>p </i>= distance (in millions of miles) betweennthe vertex (closest point) and the focus <i>F </i>,nthen <i>PD </i>= <i>PF </i>, 2<i>p</i>+ 20 = 40, <i>p </i>= 10 million miles.n</p>n<p>40 60°n</p>n<p>40 cos 60° = 20<i>pn</i></p>n<p><i>DnPn</i></p>n<p><i>pn</i></p>n<p>Directrixn</p>n<p><b>43. </b>Use an <i>xy</i>-coordinate system so that <i>y</i>2 = 4<i>px </i>is an equation of the parabola, then (1<i>, </i>1<i>/</i>2) is anpoint on the curve so (1<i>/</i>2)2 = 4<i>p</i>(1), <i>p </i>= 1<i>/</i>16. The light source should be placed at the focusnwhich is 1<i>/</i>16 ft. from the vertex.n</p>n<p><b>44. (a) </b>Substitute <i>x</i>2 = <i>y/</i>2 into <i>y</i>2 <i>− </i>8<i>x</i>2 = 5 to get <i>y</i>2 <i>− </i>4<i>y − </i>5 = 0;n<i>y </i>= <i>−</i>1<i>, </i>5. Use <i>x</i>2 = <i>y/</i>2 to find that there is no solution ifn<i>y </i>= <i>−</i>1 and that <i>x </i>= <i>±n</i></p>n<p>√n5<i>/</i>2 if <i>y </i>= 5. The curves intersectn</p>n<p>at (n√n</p>n<p>5<i>/</i>2<i>, </i>5) and (<i>−n</i>√n</p>n<p>5<i>/</i>2<i>, </i>5), and thus the area isn</p>n<p><i>A </i>= 2n∫ <i>√</i>5<i>/</i>2n0n</p>n<p>(n√n5 + 8<i>x</i>2 <i>− </i>2<i>x</i>2) <i>dxn</i></p>n<p>=n[n<i>xn√n</i>5 + 8<i>x</i>2 + (5<i>/</i>4)n</p>n<p><i>√n</i>2 sinh<i>−</i>1(2<i>/</i>5)n</p>n<p><i>√n</i>10<i>x</i>)<i>− </i>(4<i>/</i>3)<i>x</i>3]5<i>/</i>20n</p>n<p>=n5n<i>√n</i>10n6n</p>n<p>+n5n<i>√n</i>2n</p>n<p>4nln(2 +n</p>n<p><i>√n</i>5)n</p>n<p>5n2(–√ , 5) 52(√ , 5)n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p><b>(b) </b>Eliminate <i>x </i>to get <i>y</i>2 = 1, <i>y </i>= <i>±</i>1. Use either equationnto find that <i>x </i>= <i>±</i>2 if <i>y </i>= 1 or if <i>y </i>= <i>−</i>1. The curvesnintersect at (2<i>, </i>1), (2<i>,−</i>1), (<i>−</i>2<i>, </i>1), and (<i>−</i>2<i>,−</i>1),nand thus the area isn</p>n<p><i>A </i>= 4n∫ <i>√</i>5<i>/</i>3n0n</p>n<p>1n3n</p>n<p>√n1 + 2<i>x</i>2 <i>dxn</i></p>n<p>+ 4n∫ 2n<i>√n</i></p>n<p>5<i>/</i>3n</p>n<p>[n1n3n</p>n<p>√n1 + 2<i>x</i>2 <i>− </i>1<i>√n</i></p>n<p>7n</p>n<p>√n3<i>x</i>2 <i>− </i>5n</p>n<p>]n<i>dxn</i></p>n<p>=n1n3n</p>n<p><i>√n</i>2 ln(2n</p>n<p><i>√n</i>2 + 3) +n</p>n<p>10n21n</p>n<p><i>√n</i>21 ln(2n</p>n<p><i>√n</i>3 +n</p>n<p><i>√n</i>7)<i>− </i>5n</p>n<p>21nln 5n</p>n<p>(–2, 1)n</p>n<p>(–2, –1) (2, –1)n</p>n<p>(2, 1)n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p><b>(c) </b>Add both equations to get <i>x</i>2 = 4, <i>x </i>= <i>±</i>2.nUse either equation to find that <i>y </i>= <i>±n</i></p>n<p><i>√n</i>3 if <i>x </i>= 2n</p>n<p>or if <i>x </i>= <i>−</i>2. The curves intersect atn(2<i>,n</i></p>n<p><i>√n</i>3), (2<i>,−n</i></p>n<p><i>√n</i>3), (<i>−</i>2<i>,n</i></p>n<p><i>√n</i>3), (<i>−</i>2<i>,−n</i></p>n<p><i>√n</i>3) and thusn</p>n<p><i>A </i>= 4n∫ 1n0n</p>n<p>√n7<i>− x</i>2 <i>dx</i>+ 4n</p>n<p>∫ 2n1n</p>n<p>[√n7<i>− x</i>2 <i>−n</i></p>n<p>√n<i>x</i>2 <i>− </i>1n</p>n<p>]n<i>dxn</i></p>n<p>= 14 sin<i>−</i>1n(n2n7n</p>n<p><i>√n</i>7n)n+ 2 ln(2 +n</p>n<p><i>√n</i>3)n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p>(–2, √3) (2, √3)n</p>n<p>(–2, –√3) (2, –√3)</p>nn</div></div>n<div><div><p><b>500 Chapter 11n</b></p>n<p><b>45. (a) </b><i>P </i>: (<i>b </i>cos <i>t, b </i>sin <i>t</i>); <i>Q </i>: (<i>a </i>cos <i>t, a </i>sin <i>t</i>); <i>R </i>: (<i>a </i>cos <i>t, b </i>sin <i>t</i>)n</p>n<p><b>(b) </b>For a circle, <i>t </i>measures the angle between the positive <i>x</i>-axis and the line segment joiningnthe origin to the point. For an ellipse, <i>t </i>measures the angle between the <i>x</i>-axis and <i>OPQ</i>,nnot <i>OR</i>.n</p>n<p><b>46. (a) </b>For any point (<i>x, y</i>)<i>, </i>the equationn<i>y </i>= <i>b </i>sinh <i>t </i>has a unique solution <i>t</i>,n<i>−∞ < t < </i>+<i>∞</i>. On the hyperbola,n<i>x</i>2n</p>n<p><i>a</i>2n= 1 +n</p>n<p><i>y</i>2n</p>n<p><i>b</i>2n= 1 + sinh2 <i>tn</i></p>n<p>= cosh2 <i>t</i>, so <i>x </i>= <i>±a </i>cosh <i>t</i>.n</p>n<p><b>(b) </b>3n</p>n<p>–3n</p>n<p>–3 3n</p>n<p><b>47. (a) </b>For any point (<i>x, y</i>), the equation <i>y </i>= <i>b </i>tan <i>t </i>has a unique solution <i>t </i>where <i>−π/</i>2 <i>< t < π/</i>2.nOn the hyperbola,n</p>n<p><i>x</i>2n</p>n<p><i>a</i>2n= 1 +n</p>n<p><i>y</i>2n</p>n<p><i>b</i>2n= 1 + tan2 <i>t </i>= sec2 <i>t</i>, so <i>x </i>= <i>±a </i>sec <i>t</i>.n</p>n<p><b>(b) </b>3n</p>n<p>–3n</p>n<p>–3 3n</p>n<p><b>48. </b>By Definition 11.4.1, (<i>x− </i>2)2 + (<i>y − </i>4)2 = <i>y</i>2<i>, </i>(<i>x− </i>2)2 = 8<i>y − </i>16<i>, </i>(<i>x− </i>2)2 = 8(<i>y − </i>2)n</p>n<p><b>49. </b>(4<i>, </i>1) and (4<i>, </i>5) are the foci so the center is at (4<i>, </i>3) thus <i>c </i>= 2, <i>a </i>= 12<i>/</i>2 = 6, <i>b</i>2 = 36 <i>− </i>4 = 32;n(<i>x− </i>4)2<i>/</i>32 + (<i>y − </i>3)2<i>/</i>36 = 1n</p>n<p><b>50. </b>From the definition of a hyperbola,n∣∣∣√(<i>x− </i>1)2 + (<i>y − </i>1)2 <i>−</i>√<i>x</i>2 + <i>y</i>2 ∣∣∣ = 1,√n</p>n<p>(<i>x− </i>1)2 + (<i>y − </i>1)2 <i>−n</i>√n<i>x</i>2 + <i>y</i>2 = <i>±</i>1, transpose the second radical to the right hand side of then</p>n<p>equation and square and simplify to get <i>±</i>2n√n<i>x</i>2 + <i>y</i>2 = <i>−</i>2<i>x − </i>2<i>y </i>+ 1, square and simplify againn</p>n<p>to get 8<i>xy − </i>4<i>x− </i>4<i>y </i>+ 1 = 0.n</p>n<p><b>51. </b>Let the ellipse have equationn4n81n</p>n<p><i>x</i>2 +n<i>y</i>2n</p>n<p>4n= 1, then <i>A</i>(<i>x</i>) = (2<i>y</i>)2 = 16n</p>n<p>(n1<i>− </i>4<i>xn</i></p>n<p>2n</p>n<p>81n</p>n<p>)n<i>,n</i></p>n<p><i>V </i>= 2n∫ 9<i>/</i>2n0n</p>n<p>16n(n1<i>− </i>4<i>xn</i></p>n<p>2n</p>n<p>81n</p>n<p>)n<i>dx </i>= 96n</p>n<p><b>52. </b>See Exercise 51, <i>A</i>(<i>x</i>) =n<i>√n</i>3<i>y</i>2 = 4n</p>n<p><i>√n</i>3n(n1<i>− </i>4n</p>n<p>81n<i>x</i>2n)n<i>, V </i>= 2n</p>n<p>∫ 9<i>/</i>2n0n</p>n<p>4n<i>√n</i>3n(n1<i>− </i>4n</p>n<p>81n<i>x</i>2n)n</p>n<p><i>dx </i>= 24n<i>√n</i>3n</p>n<p><b>53. </b>Assumen<i>x</i>2n</p>n<p><i>a</i>2n+n</p>n<p><i>y</i>2n</p>n<p><i>b</i>2n= 1<i>, A </i>= 4n</p>n<p>∫ <i>an</i>0n</p>n<p><i>bn</i>√n1<i>− x</i>2<i>/a</i>2 <i>dx </i>= <i>πabn</i></p>n<p><b>54. (a) </b>Assumen<i>x</i>2n</p>n<p><i>a</i>2n+n</p>n<p><i>y</i>2n</p>n<p><i>b</i>2n= 1<i>, V </i>= 2n</p>n<p>∫ <i>an</i>0n</p>n<p><i>πb</i>2n(n1<i>− x</i>2<i>/a</i>2) <i>dx </i>= 4n</p>n<p>3n<i>πab</i>2n</p>n<p><b>(b) </b>In Part (a) interchange <i>a </i>and <i>b </i>to obtain the result.</p>nn</div></div>n<div><div><p><b>Exercise Set 11.4 501n</b></p>n<p><b>55. </b>Assumen<i>x</i>2n</p>n<p><i>a</i>2n+n</p>n<p><i>y</i>2n</p>n<p><i>b</i>2n= 1<i>,n</i></p>n<p><i>dyn</i></p>n<p><i>dxn</i>= <i>− bxn</i></p>n<p><i>an√na</i>2 <i>− x</i>2 <i>, </i>1 +n</p>n<p>(n<i>dyn</i></p>n<p><i>dxn</i></p>n<p>)2n=n</p>n<p><i>a</i>4 <i>− </i>(<i>a</i>2 <i>− b</i>2)<i>x</i>2n<i>a</i>2(<i>a</i>2 <i>− x</i>2) <i>,n</i></p>n<p><i>S </i>= 2n∫ <i>an</i>0n</p>n<p>2<i>πbnan</i></p>n<p>√n1<i>− x</i>2<i>/a</i>2n</p>n<p>√n<i>a</i>4 <i>− </i>(<i>a</i>2 <i>− b</i>2)<i>x</i>2n</p>n<p><i>a</i>2 <i>− x</i>2 <i>dx </i>= 2<i>πabn</i>(n<i>bn</i></p>n<p><i>an</i>+n</p>n<p><i>an</i></p>n<p><i>cn</i>sin<i>−</i>1n</p>n<p><i>cn</i></p>n<p><i>an</i></p>n<p>)n<i>, c </i>=n</p>n<p>√n<i>a</i>2 <i>− b</i>2n</p>n<p><b>56. </b>As in Exercise 55, 1 +n(n<i>dxn</i></p>n<p><i>dyn</i></p>n<p>)2n=n</p>n<p><i>b</i>4 + (<i>a</i>2 <i>− b</i>2)<i>y</i>2n<i>b</i>2(<i>b</i>2 <i>− y</i>2) <i>,n</i></p>n<p><i>S </i>= 2n∫ <i>bn</i>0n</p>n<p>2<i>πan</i>√n1<i>− y</i>2<i>/b</i>2n</p>n<p>√n<i>b</i>4 + (<i>a</i>2 <i>− b</i>2)<i>y</i>2n</p>n<p><i>b</i>2(<i>b</i>2 <i>− y</i>2) <i>dy </i>= 2<i>πabn</i>(n<i>an</i></p>n<p><i>bn</i>+n</p>n<p><i>bn</i></p>n<p><i>cn</i>lnn</p>n<p><i>a</i>+ <i>cnbn</i></p>n<p>)n<i>, c </i>=n</p>n<p>√n<i>a</i>2 <i>− b</i>2n</p>n<p><b>57. </b>Open the compass to the length of half the major axis, place the point of the compass at an endnof the minor axis and draw arcs that cross the major axis to both sides of the center of the ellipse.nPlace the tacks where the arcs intersect the major axis.n</p>n<p><b>58. </b>Let <i>P </i>denote the pencil tip, and let <i>R</i>(<i>x, </i>0) be the point below <i>Q </i>and <i>P </i>which lies on the line <i>L</i>.nThen <i>QP </i>+ <i>PF </i>is the length of the string and <i>QR </i>= <i>QP </i>+ <i>PR </i>is the length of the side of thentriangle. These two are equal, so <i>PF </i>= <i>PR</i>. But this is the definition of a parabola according tonDefinition 11.4.1.n</p>n<p><b>59. </b>Let <i>P </i>denote the pencil tip, and let <i>k </i>be the difference between the length of the ruler and thatnof the string. Then <i>QP </i>+ <i>PF</i>2 + <i>k </i>= <i>QF</i>1, and hence <i>PF</i>2 + <i>k </i>= <i>PF</i>1<i>, PF</i>1 <i>− PF</i>2 = <i>k</i>. But thisnis the definition of a hyperbola according to Definition 11.4.3.n</p>n<p><b>60. </b>In the <i>x′y′</i>-plane an equation of the circle is <i>x′</i>2+<i>y′</i>2 = <i>r</i>2 where <i>r </i>is the radius of the cylinder. Letn<i>P </i>(<i>x, y</i>) be a point on the curve in the <i>xy</i>-plane, then <i>x′ </i>= <i>x </i>cos <i>θ </i>and <i>y′ </i>= <i>y </i>so <i>x</i>2 cos2 <i>θ</i>+ <i>y</i>2 = <i>r</i>2n</p>n<p>which is an equation of an ellipse in the <i>xy</i>-plane.n</p>n<p><b>61. </b><i>L </i>= 2<i>a </i>=n√n<i>D</i>2 + <i>p</i>2<i>D</i>2 = <i>Dn</i></p>n<p>√n1 + <i>p</i>2 (see figure), so <i>a </i>=n</p>n<p>1n2n<i>Dn</i>√n1 + <i>p</i>2, but <i>b </i>=n</p>n<p>1n2n<i>D</i>,n</p>n<p><i>T </i>= <i>c</i>=n√n<i>a</i>2 <i>− b</i>2 =n</p>n<p>√n1n4n<i>D</i>2(1 + <i>p</i>2)<i>− </i>1n</p>n<p>4n<i>D</i>2 =n</p>n<p>1n2n<i>pD.n</i></p>n<p><i>Dn</i></p>n<p><i>pDn</i></p>n<p><b>62. </b><i>y </i>=n1n4<i>pn</i></p>n<p><i>x</i>2, <i>dy/dx </i>=n1n2<i>pn</i></p>n<p><i>x</i>, <i>dy/dxn</i>∣∣∣n<i>x</i>=<i>x</i>0n</p>n<p>=n1n2<i>pn</i></p>n<p><i>x</i>0, the tangent line at (<i>x</i>0<i>, y</i>0) has the formulan</p>n<p><i>y − y</i>0 =n<i>x</i>0n2<i>pn</i></p>n<p>(<i>x − x</i>0) =n<i>x</i>0n2<i>pn</i></p>n<p><i>x − xn</i>2n0n</p>n<p>2<i>pn</i>, butn</p>n<p><i>x</i>20n2<i>pn</i></p>n<p>= 2<i>y</i>0 because (<i>x</i>0<i>, y</i>0) is on the parabola <i>y </i>=n1n4<i>pn</i></p>n<p><i>x</i>2.n</p>n<p>Thus the tangent line is <i>y − y</i>0 =n<i>x</i>0n2<i>pn</i></p>n<p><i>x− </i>2<i>y</i>0, <i>y </i>=n<i>x</i>0n2<i>pn</i></p>n<p><i>x− y</i>0.n</p>n<p><b>63. </b>By implicit differentiation,n<i>dyn</i></p>n<p><i>dxn</i></p>n<p>∣∣∣∣n(<i>x</i>0<i>,y</i>0)n</p>n<p>= <i>− bn</i>2n</p>n<p><i>a</i>2n<i>x</i>0n<i>y</i>0n</p>n<p>if <i>y</i>0 <i>	</i>= 0, the tangent line isn</p>n<p><i>y − y</i>0 = <i>−nb</i>2n</p>n<p><i>a</i>2n<i>x</i>0n<i>y</i>0n</p>n<p>(<i>x− x</i>0), <i>a</i>2<i>y</i>0<i>y − a</i>2<i>y</i>20 = <i>−b</i>2<i>x</i>0<i>x</i>+ <i>b</i>2<i>x</i>20, <i>b</i>2<i>x</i>0<i>x</i>+ <i>a</i>2<i>y</i>0<i>y </i>= <i>b</i>2<i>x</i>20 + <i>a</i>2<i>y</i>20 ,n</p>n<p>but (<i>x</i>0<i>, y</i>0) is on the ellipse so <i>b</i>2<i>x</i>20 + <i>an</i>2<i>y</i>20 = <i>an</i></p>n<p>2<i>b</i>2; thus the tangent line is <i>b</i>2<i>x</i>0<i>x</i>+ <i>a</i>2<i>y</i>0<i>y </i>= <i>a</i>2<i>b</i>2,n<i>x</i>0<i>x/an</i></p>n<p>2 + <i>y</i>0<i>y/b</i>2 = 1. If <i>y</i>0 = 0 then <i>x</i>0 = <i>±a </i>and the tangent lines are <i>x </i>= <i>±a </i>which also followsnfrom <i>x</i>0<i>x/a</i>2 + <i>y</i>0<i>y/b</i>2 = 1.</p>nn</div></div>n<div><div><p><b>502 Chapter 11n</b></p>n<p><b>64. </b>By implicit differentiation,n<i>dyn</i></p>n<p><i>dxn</i></p>n<p>∣∣∣∣n(<i>x</i>0<i>,y</i>0)n</p>n<p>=n<i>b</i>2n</p>n<p><i>a</i>2n<i>x</i>0n<i>y</i>0n</p>n<p>if <i>y</i>0 <i>	</i>= 0, the tangent line is <i>y−y</i>0 =n<i>b</i>2n</p>n<p><i>a</i>2n<i>x</i>0n<i>y</i>0n</p>n<p>(<i>x−x</i>0),n</p>n<p><i>b</i>2<i>x</i>0<i>x−a</i>2<i>y</i>0<i>y </i>= <i>b</i>2<i>x</i>20<i>−a</i>2<i>y</i>20 = <i>a</i>2<i>b</i>2, <i>x</i>0<i>x/a</i>2<i>−y</i>0<i>y/b</i>2 = 1. If <i>y</i>0 = 0 then <i>x</i>0 = <i>±a </i>and the tangentnlines are <i>x </i>= <i>±a </i>which also follow from <i>x</i>0<i>x/a</i>2 <i>− y</i>0<i>y/b</i>2 = 1.n</p>n<p><b>65. </b>Usen<i>x</i>2n</p>n<p><i>a</i>2n+n</p>n<p><i>y</i>2n</p>n<p><i>b</i>2n= 1 andn</p>n<p><i>x</i>2n</p>n<p><i>A</i>2n<i>− yn</i></p>n<p>2n</p>n<p><i>B</i>2n= 1 as the equations of the ellipse and hyperbola. If (<i>x</i>0<i>, y</i>0) isn</p>n<p>a point of intersection thenn<i>x</i>20n<i>a</i>2n</p>n<p>+n<i>y</i>20n<i>b</i>2n</p>n<p>= 1 =n<i>x</i>20n<i>A</i>2n</p>n<p><i>− yn</i>2n0n</p>n<p><i>B</i>2n, so <i>x</i>20n</p>n<p>(n1n<i>A</i>2n</p>n<p><i>− </i>1n<i>a</i>2n</p>n<p>)n= <i>y</i>20n</p>n<p>(n1n<i>B</i>2n</p>n<p>+n1n<i>b</i>2n</p>n<p>)nandn</p>n<p><i>a</i>2<i>A</i>2<i>y</i>20(<i>bn</i>2 +<i>B</i>2) = <i>b</i>2<i>B</i>2<i>x</i>20(<i>an</i></p>n<p>2 <i>−A</i>2). Since the conics have the same foci, <i>a</i>2 <i>− b</i>2 = <i>c</i>2 = <i>A</i>2 +<i>B</i>2,nso <i>a</i>2 <i>− A</i>2 = <i>b</i>2 + <i>B</i>2. Hence <i>a</i>2<i>A</i>2<i>y</i>20 = <i>b</i>2<i>B</i>2<i>x</i>20. From Exercises 63 and 64, the slopes of then</p>n<p>tangent lines are <i>− bn</i>2<i>x</i>0n<i>a</i>2<i>y</i>0n</p>n<p>andn<i>B</i>2<i>x</i>0n<i>A</i>2<i>y</i>0n</p>n<p>, whose product is <i>−bn</i>2<i>B</i>2<i>x</i>20n<i>a</i>2<i>A</i>2<i>y</i>20n</p>n<p>= <i>−</i>1. Hence the tangent lines arenperpendicular.n</p>n<p><b>66. </b>Use implicit differentiation on <i>x</i>2 + 4<i>y</i>2 = 8 to getn<i>dyn</i></p>n<p><i>dxn</i></p>n<p>∣∣∣∣n(<i>x</i>0<i>,y</i>0)n</p>n<p>= <i>− x</i>0n4<i>y</i>0n</p>n<p>where (<i>x</i>0<i>, y</i>0) is the pointn</p>n<p>of tangency, but <i>−x</i>0<i>/</i>(4<i>y</i>0) = <i>−</i>1<i>/</i>2 because the slope of the line is <i>−</i>1<i>/</i>2 so <i>x</i>0 = 2<i>y</i>0. (<i>x</i>0<i>, y</i>0) isnon the ellipse so <i>x</i>20+4<i>yn</i></p>n<p>2n0 = 8 which when solved with <i>x</i>0 = 2<i>y</i>0 yields the points of tangency (2<i>, </i>1)n</p>n<p>and (<i>−</i>2<i>,−</i>1). Substitute these into the equation of the line to get <i>k </i>= <i>±</i>4.n</p>n<p><b>67. </b>Let (<i>x</i>0<i>, y</i>0) be such a point. The foci are at (<i>−n√n</i>5<i>, </i>0) and (n</p>n<p><i>√n</i>5<i>, </i>0)<i>, </i>the lines are perpendicular ifn</p>n<p>the product of their slopes is <i>−</i>1 so <i>y</i>0n<i>x</i>0 +n</p>n<p><i>√n</i>5n<i>· y</i>0n<i>x</i>0 <i>−n</i></p>n<p><i>√n</i>5n= <i>−</i>1<i>, y</i>20 = 5<i>− x</i>20 and 4<i>x</i>20 <i>− y</i>20 = 4<i>. </i>Solven</p>n<p>to get <i>x</i>0 = <i>±</i>3<i>/n√n</i>5<i>, y</i>0 = <i>±</i>4<i>/n</i></p>n<p><i>√n</i>5. The coordinates are (<i>±</i>3<i>/n</i></p>n<p><i>√n</i>5<i>, </i>4<i>/n</i></p>n<p><i>√n</i>5)<i>, </i>(<i>±</i>3<i>/n</i></p>n<p><i>√n</i>5<i>,−</i>4<i>/n</i></p>n<p><i>√n</i>5)<i>.n</i></p>n<p><b>68. </b>Let (<i>x</i>0<i>, y</i>0) be one of the points; then <i>dy/dxn</i>∣∣∣n(<i>x</i>0<i>,y</i>0)n</p>n<p>= 4<i>x</i>0<i>/y</i>0, the tangent line is <i>y </i>= (4<i>x</i>0<i>/y</i>0)<i>x</i>+4,n</p>n<p>but (<i>x</i>0<i>, y</i>0) is on both the line and the curve which leads to 4<i>x</i>20<i>− y</i>20 +4<i>y</i>0 = 0 and 4<i>x</i>20<i>− y</i>20 = 36,nsolve to get <i>x</i>0 = <i>±</i>3n</p>n<p><i>√n</i>13<i>/</i>2, <i>y</i>0 = <i>−</i>9.n</p>n<p><b>69. </b>Let <i>d</i>1 and <i>d</i>2 be the distances of the first and second observers, respectively, from the point of thenexplosion. Then <i>t </i>= (time for sound to reach the second observer) <i>− </i>(time for sound to reach thenfirst observer) = <i>d</i>2<i>/v − d</i>1<i>/v </i>so <i>d</i>2 <i>− d</i>1 = <i>vt</i>. For constant <i>v </i>and <i>t </i>the difference of distances, <i>d</i>2nand <i>d</i>1 is constant so the explosion occurred somewhere on a branch of a hyperbola whose foci aren</p>n<p>where the observers are. Since <i>d</i>2<i>−d</i>1 = 2<i>a, a </i>=n<i>vtn</i></p>n<p>2n<i>, b</i>2 = <i>c</i>2<i>− vn</i></p>n<p>2<i>t</i>2n</p>n<p>4n, andn</p>n<p><i>x</i>2n</p>n<p><i>v</i>2<i>t</i>2<i>/</i>4n<i>− yn</i></p>n<p>2n</p>n<p><i>c</i>2 <i>− </i>(<i>v</i>2<i>t</i>2<i>/</i>4) = 1.n</p>n<p><b>70. </b>As in Exercise 69, <i>d</i>2 <i>− d</i>1 = 2<i>a </i>= <i>vt </i>= (299,792,458 m/s)(10<i>−</i>7 s) <i>≈ </i>29<i>.</i>9792 m.n<i>a</i>2 = (<i>vt/</i>2)2 <i>≈ </i>449<i>.</i>3762 m2; <i>c</i>2 = (50)2 = 2500 m2n</p>n<p><i>b</i>2 = <i>c</i>2 <i>− a</i>2 = 2050<i>.</i>6238, <i>xn</i>2n</p>n<p>449<i>.</i>3762n<i>− yn</i></p>n<p>2n</p>n<p>2050<i>.</i>6238n= 1n</p>n<p>But <i>y </i>= 200 km = 200,000 m, so <i>x ≈ </i>93,625.05 m = 93.62505 km. The ship is located atn(93.62505,200).n</p>n<p><b>71. (a) </b>Usen<i>x</i>2n</p>n<p>9n+n</p>n<p><i>y</i>2n</p>n<p>4n= 1, <i>x </i>=n</p>n<p>3n2n</p>n<p>√n4<i>− y</i>2,n</p>n<p><i>V </i>=n∫ <i>−</i>2+<i>hn−</i>2n</p>n<p>(2)(3<i>/</i>2)n√n4<i>− y</i>2(18)<i>dy </i>= 54n</p>n<p>∫ <i>−</i>2+<i>hn−</i>2n</p>n<p>√n4<i>− y</i>2 <i>dyn</i></p>n<p>= 54n[n<i>yn</i></p>n<p>2n</p>n<p>√n4<i>− y</i>2 + 2 sin<i>−</i>1 <i>yn</i></p>n<p>2n</p>n<p>]<i>−</i>2+<i>hn−</i>2n</p>n<p>= 27n[n4 sin<i>−</i>1n</p>n<p><i>h− </i>2n2n</p>n<p>+ (<i>h− </i>2)n√n4<i>h− h</i>2 + 2<i>πn</i></p>n<p>]nft3</p>nn</div></div>n<div><div><p><b>Exercise Set 11.4 503n</b></p>n<p><b>(b) </b>When <i>h </i>= 4 ft, <i>V</i>full = 108 sinn<i>−</i>1 1 + 54<i>π </i>= 108<i>π </i>ft3, so solve for <i>h </i>when <i>V </i>= (<i>k/</i>4)<i>V</i>full<i>,n</i></p>n<p><i>k </i>= 1<i>, </i>2<i>, </i>3, to get <i>h </i>= 1<i>.</i>19205<i>, </i>2<i>, </i>2<i>.</i>80795 ft or 14<i>.</i>30465<i>, </i>24<i>, </i>33<i>.</i>69535 in.n</p>n<p><b>72. </b>We may assume <i>A > </i>0, since if <i>A < </i>0 then one can multiply the equation by <i>−</i>1, and if <i>A </i>= 0nthen one can exchange <i>A </i>with <i>C </i>(<i>C </i>cannot be zero simultaneously with <i>A</i>). Thenn</p>n<p><i>Ax</i>2 + <i>Cy</i>2 +<i>Dx</i>+ <i>Ey </i>+ <i>F </i>= <i>An</i>(n<i>x</i>+n</p>n<p><i>Dn</i></p>n<p>2<i>An</i></p>n<p>)2n+ <i>Cn</i></p>n<p>(n<i>y </i>+n</p>n<p><i>En</i></p>n<p>2<i>Cn</i></p>n<p>)2n+ <i>F − Dn</i></p>n<p>2n</p>n<p>4<i>An− En</i></p>n<p>2n</p>n<p>4<i>Cn</i>= 0.n</p>n<p><b>(a) </b>Let <i>AC > </i>0. If <i>F <nD</i>2n</p>n<p>4<i>An</i>+n</p>n<p><i>E</i>2n</p>n<p>4<i>Cn</i>the equation represents an ellipse (a circle if <i>A </i>= <i>C</i>);n</p>n<p>if <i>F </i>=n<i>D</i>2n</p>n<p>4<i>An</i>+n</p>n<p><i>E</i>2n</p>n<p>4<i>Cn</i>, the point <i>x </i>= <i>−D/</i>(2<i>A</i>)<i>, y </i>= <i>−E/</i>(2<i>C</i>); and if <i>F > Dn</i></p>n<p>2n</p>n<p>4<i>An</i>+n</p>n<p><i>E</i>2n</p>n<p>4<i>Cn</i>then there isn</p>n<p>no graph.n</p>n<p><b>(b) </b>If <i>AC < </i>0 and <i>F </i>=n<i>D</i>2n</p>n<p>4<i>An</i>+n</p>n<p><i>E</i>2n</p>n<p>4<i>Cn</i>, then[<i>√n</i></p>n<p><i>An</i></p>n<p>(n<i>x</i>+n</p>n<p><i>Dn</i></p>n<p>2<i>An</i></p>n<p>)n+n<i>√−Cn</i></p>n<p>(n<i>y </i>+n</p>n<p><i>En</i></p>n<p>2<i>Cn</i></p>n<p>)][<i>√nAn</i></p>n<p>(n<i>x</i>+n</p>n<p><i>Dn</i></p>n<p>2<i>An</i></p>n<p>)n<i>−√−Cn</i></p>n<p>(n<i>y </i>+n</p>n<p><i>En</i></p>n<p>2<i>Cn</i></p>n<p>)]n= 0,n</p>n<p>a pair of lines; otherwise a hyperbolan</p>n<p><b>(c) </b>Assume <i>C </i>= 0, so <i>Ax</i>2+<i>Dx</i>+<i>Ey</i>+<i>F </i>= 0. If <i>E 	</i>= 0, parabola; if <i>E </i>= 0 then <i>Ax</i>2+<i>Dx</i>+<i>F </i>= 0.nIf this polynomial has roots <i>x </i>= <i>x</i>1<i>, x</i>2 with <i>x</i>1 <i>	</i>= <i>x</i>2 then a pair of parallel lines; if <i>x</i>1 = <i>x</i>2nthen one line; if no roots, then no graph. If <i>A </i>= 0<i>, C 	</i>= 0 then a similar argument applies.n</p>n<p><b>73. (a) </b>(<i>x− </i>1)2 <i>− </i>5(<i>y </i>+ 1)2 = 5, hyperbolan<b>(b) </b><i>x</i>2 <i>− </i>3(<i>y </i>+ 1)2 = 0<i>, x </i>= <i>±n</i></p>n<p><i>√n</i>3(<i>y </i>+ 1), two linesn</p>n<p><b>(c) </b>4(<i>x</i>+ 2)2 + 8(<i>y </i>+ 1)2 = 4, ellipsen</p>n<p><b>(d) </b>3(<i>x</i>+ 2)2 + (<i>y </i>+ 1)2 = 0, the point (<i>−</i>2<i>,−</i>1) (degenerate case)n<b>(e) </b>(<i>x</i>+ 4)2 + 2<i>y </i>= 2, parabolan</p>n<p><b>(f) </b>5(<i>x</i>+ 4)2 + 2<i>y </i>= <i>−</i>14, parabolan</p>n<p><b>74. </b>distance from the point (<i>x, y</i>) to the focus (0<i>, p</i>) = distance to the directrix <i>y </i>= <i>−p</i>, so <i>x</i>2+(<i>y−p</i>)2n= (<i>y </i>+ <i>p</i>)2<i>, x</i>2 = 4<i>pyn</i></p>n<p><b>75. </b>distance from the point (<i>x, y</i>) to the focus (0<i>,−c</i>) plus distance to the focus (0<i>, c</i>) = const = 2<i>a,</i>√n<i>x</i>2 + (<i>y </i>+ <i>c</i>)2 +n</p>n<p>√n<i>x</i>2 + (<i>y − c</i>)2 = 2<i>a, x</i>2 + (<i>y </i>+ <i>c</i>)2 = 4<i>a</i>2 + <i>x</i>2 + (<i>y − c</i>)2 <i>− </i>4<i>an</i></p>n<p>√n<i>x</i>2 + (<i>y − c</i>)2,√n</p>n<p><i>x</i>2 + (<i>y − c</i>)2 = <i>a− cnany</i>, and since <i>a</i>2 <i>− c</i>2 = <i>b</i>2, <i>xn</i></p>n<p>2n</p>n<p><i>b</i>2n+n</p>n<p><i>y</i>2n</p>n<p><i>a</i>2n= 1n</p>n<p><b>76. </b>distance from the point (<i>x, y</i>) to the focus (<i>−c, </i>0) less distance to the focus (<i>c, </i>0) is equal to 2<i>a,</i>√n(<i>x</i>+ <i>c</i>)2 + <i>y</i>2 <i>−n</i></p>n<p>√n(<i>x− c</i>)2 + <i>y</i>2 = <i>±</i>2<i>a, </i>(<i>x</i>+ <i>c</i>)2 + <i>y</i>2 = (<i>x− c</i>)2 + <i>y</i>2 + 4<i>a</i>2 <i>± </i>4<i>an</i></p>n<p>√n(<i>x− c</i>)2 + <i>y</i>2<i>,</i>√n</p>n<p>(<i>x− c</i>)2 + <i>y</i>2 = <i>±n</i>(<i>cxnan</i></p>n<p><i>− an</i>)n, and, since <i>c</i>2 <i>− a</i>2 = <i>b</i>2<i>, xn</i></p>n<p>2n</p>n<p><i>a</i>2n<i>− yn</i></p>n<p>2n</p>n<p><i>b</i>2n= 1n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p><i>F</i>(0, <i>p</i>)n<i>P</i>(<i>x</i>0, <i>y</i>0)n</p>n<p><i>y</i> = – <i>y</i>0 <i>Q</i>(0, – <i>y</i>0)n</p>n<p><b>77. </b>Assume the equation of the parabola is <i>x</i>2 = 4<i>py</i>. Thentangent line at <i>P </i>(<i>x</i>0<i>, y</i>0) (see figure) is given byn(<i>y − y</i>0)<i>/</i>(<i>x− x</i>0) = <i>m </i>= <i>x</i>0<i>/</i>2<i>p</i>. To find the <i>y</i>-intercept setn<i>x </i>= 0 and obtain <i>y </i>= <i>−y</i>0. Thus <i>Q </i>: (0<i>,−y</i>0). The focus isn(0<i>, p</i>) = (0<i>, x</i>20<i>/</i>4<i>y</i>0), the distance from <i>P </i>to the focus is√n<i>x</i>20 + (<i>y</i>0 <i>− p</i>)2 =n</p>n<p>√n4<i>py</i>0 + (<i>y</i>0 <i>− p</i>)2 =n</p>n<p>√n(<i>y</i>0 + <i>p</i>)2 = <i>y</i>0 + <i>p</i>,n</p>n<p>and the distance from the focus to the <i>y</i>-intercept is <i>p</i>+ <i>y</i>0,nso triangle <i>FPQ </i>is isosceles, and angles <i>FPQ </i>and <i>FQP </i>arenequal.</p>nn</div></div>n<div><div><p><b>504 Chapter 11n</b></p>n<p><b>78. (a) </b>tan <i>θ </i>= tan(<i>φ</i>2 <i>− φ</i>1) =ntan<i>φ</i>2 <i>− </i>tan<i>φ</i>1n1 + tan<i>φ</i>2 tan<i>φ</i>1n</p>n<p>=n<i>m</i>2 <i>−m</i>1n1 +<i>m</i>1<i>m</i>2n</p>n<p><b>(b) </b>By implicit differentiation, <i>m </i>= <i>dy/dxn</i>∣∣∣n<i>P </i>(<i>x</i>0<i>,y</i>0)n</p>n<p>= <i>− bn</i>2n</p>n<p><i>a</i>2n<i>x</i>0n<i>y</i>0n</p>n<p>if <i>y</i>0 <i>	</i>= 0. Let <i>m</i>1 and <i>m</i>2 be then</p>n<p>slopes of the lines through <i>P </i>and the foci at (<i>−c, </i>0) and (<i>c, </i>0) respectively, thenn<i>m</i>1 = <i>y</i>0<i>/</i>(<i>x</i>0 + <i>c</i>) and <i>m</i>2 = <i>y</i>0<i>/</i>(<i>x</i>0 <i>− c</i>). For <i>P </i>in the first quadrant,n</p>n<p>tan<i>α </i>=n<i>m−m</i>2n1 +<i>mm</i>2n</p>n<p>=n<i>−</i>(<i>b</i>2<i>x</i>0)<i>/</i>(<i>a</i>2<i>y</i>0)<i>− y</i>0<i>/</i>(<i>x</i>0 <i>− c</i>)n</p>n<p>1<i>− </i>(<i>b</i>2<i>x</i>0)<i>/</i>[<i>a</i>2(<i>x</i>0 <i>− c</i>)]n</p>n<p>=n<i>−b</i>2<i>x</i>20 <i>− a</i>2<i>y</i>20 + <i>b</i>2<i>cx</i>0n[(<i>a</i>2 <i>− b</i>2)<i>x</i>0 <i>− a</i>2<i>c</i>] <i>y</i>0n</p>n<p>=n<i>−a</i>2<i>b</i>2 + <i>b</i>2<i>cx</i>0n(<i>c</i>2<i>x</i>0 <i>− a</i>2<i>c</i>)<i>y</i>0n</p>n<p>=n<i>b</i>2n</p>n<p><i>cy</i>0n</p>n<p>similarly tan(<i>π − β</i>) = <i>m−m</i>1n1 +<i>mm</i>1n</p>n<p>= <i>− bn</i>2n</p>n<p><i>cy</i>0n= <i>− </i>tan<i>β </i>so tan<i>α </i>= tan<i>β</i>, <i>α </i>= <i>β</i>. The proofn</p>n<p>for the case <i>y</i>0 = 0 follows trivially. By symmetry, the result holds for <i>P </i>in the other threenquadrants as well.n</p>n<p><b>(c) </b>Let <i>P </i>(<i>x</i>0<i>, y</i>0) be in the third quadrant. Suppose <i>y</i>0 <i>	</i>= 0 and let <i>m </i>= slope of the tangent linenat <i>P </i>, <i>m</i>1 = slope of the line through <i>P </i>and (<i>−c, </i>0), <i>m</i>2 = slope of the line through <i>P </i>andn(<i>c, </i>0) then <i>m </i>=n</p>n<p><i>dyn</i></p>n<p><i>dxn</i></p>n<p>∣∣∣∣n(<i>x</i>0<i>,y</i>0)n</p>n<p>= (<i>b</i>2<i>x</i>0)<i>/</i>(<i>a</i>2<i>y</i>0), <i>m</i>1 = <i>y</i>0<i>/</i>(<i>x</i>0 + <i>c</i>), <i>m</i>2 = <i>y</i>0<i>/</i>(<i>x</i>0 <i>− c</i>). Usentan<i>α </i>= (<i>m</i>1 <i>−m</i>)<i>/</i>(1 +<i>m</i>1<i>m</i>) and tan<i>β </i>= (<i>m−m</i>2)<i>/</i>(1 +<i>mm</i>2) to getntan<i>α </i>= tan<i>β </i>= <i>−b</i>2<i>/</i>(<i>cy</i>0) so <i>α </i>= <i>β</i>. If <i>y</i>0 = 0 the result follows trivially and by symmetrynthe result holds for <i>P </i>in the other three quadrants as well.n</p>n<p><b>EXERCISE SET 11.5n</b></p>n<p><b>1. (a) </b>sin <i>θ </i>=n<i>√n</i>3<i>/</i>2, cos <i>θ </i>= 1<i>/</i>2n</p>n<p><i>x′ </i>= (<i>−</i>2)(1<i>/</i>2) + (6)(n<i>√n</i>3<i>/</i>2) = <i>−</i>1 + 3n</p>n<p><i>√n</i>3, <i>y′ </i>= <i>−</i>(<i>−</i>2)(n</p>n<p><i>√n</i>3<i>/</i>2) + 6(1<i>/</i>2) = 3 +n</p>n<p><i>√n</i>3n</p>n<p><b>(b) </b><i>x </i>=n1n2n<i>x′ −n</i></p>n<p><i>√n</i>3n2n</p>n<p><i>y′ </i>=n1n2n(<i>x′ −n</i></p>n<p><i>√n</i>3<i>y′</i>), <i>y </i>=n</p>n<p><i>√n</i>3n2n</p>n<p><i>x′ </i>+n1n2n<i>y′ </i>=n</p>n<p>1n2n(n<i>√n</i>3<i>x′ </i>+ <i>y′</i>)n</p>n<p><i>√n</i>3n[n1n2n(<i>x′ −n</i></p>n<p><i>√n</i>3<i>y′</i>)n</p>n<p>] [n1n2n(n<i>√n</i>3<i>x′ </i>+ <i>y′</i>)n</p>n<p>]n+n[n1n2n(n<i>√n</i>3<i>x′ </i>+ <i>y′</i>)n</p>n<p>]2n= 6n</p>n<p><i>√n</i>3n4n</p>n<p>(n<i>√n</i>3<i>x′</i>2 <i>− </i>2<i>x′y′ −n</i></p>n<p><i>√n</i>3<i>y′</i>2) +n</p>n<p>1n4n(3<i>x′</i>2 + 2n</p>n<p><i>√n</i>3<i>x′y′ </i>+ <i>y′</i>2) = 6n</p>n<p>3n2n<i>x′</i>2 <i>− </i>1n</p>n<p>2n<i>y′</i>2 = 6, 3<i>x′</i>2 <i>− y′</i>2 = 12n</p>n<p><b>(c) </b><i>x</i>′n</p>n<p><i>y</i>′n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>y</i></p>nn</div></div>n<div><div><p><b>Exercise Set 11.5 505n</b></p>n<p><b>2. (a) </b>sin <i>θ </i>= 1<i>/</i>2, cos <i>θ </i>=n<i>√n</i>3<i>/</i>2n</p>n<p><i>x′ </i>= (1)(n<i>√n</i>3<i>/</i>2) + (<i>−n</i></p>n<p><i>√n</i>3)(1<i>/</i>2) = 0, <i>y′ </i>= <i>−</i>(1)(1<i>/</i>2) + (<i>−n</i></p>n<p><i>√n</i>3)(n</p>n<p><i>√n</i>3<i>/</i>2) = <i>−</i>2n</p>n<p><b>(b) </b><i>x </i>=n<i>√n</i>3n2n</p>n<p><i>x′ − </i>1n2n<i>y′ </i>=n</p>n<p>1n2n(n<i>√n</i>3<i>x′ − y′</i>), <i>y </i>= 1n</p>n<p>2n<i>x′ </i>+n</p>n<p><i>√n</i>3n2n</p>n<p><i>y′ </i>=n1n2n(<i>x′ </i>+n</p>n<p><i>√n</i>3<i>y′</i>)n</p>n<p>2n[n1n2n(n<i>√n</i>3<i>x′ − y′</i>)n</p>n<p>]2n+ 2n</p>n<p><i>√n</i>3n[n1n2n(n<i>√n</i>3<i>x′ − y′</i>)n</p>n<p>] [n1n2n(<i>x′ </i>+n</p>n<p><i>√n</i>3<i>y′</i>)n</p>n<p>]n= 3n</p>n<p>1n2n(3<i>x′</i>2 <i>− </i>2n</p>n<p><i>√n</i>3<i>x′y′ </i>+ <i>y′</i>2) +n</p>n<p><i>√n</i>3n2n</p>n<p>(n<i>√n</i>3<i>x′</i>2 + 2<i>x′y′ −n</i></p>n<p><i>√n</i>3<i>y′</i>2) = 3n</p>n<p>3<i>x′</i>2 <i>− y′</i>2 = 3, <i>x′</i>2<i>/</i>1<i>− y′</i>2<i>/</i>3 = 1n</p>n<p><b>(c)n</b></p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p><i>x</i>′n</p>n<p><i>y</i>′n</p>n<p><b>3. </b>cot 2<i>θ </i>= (0<i>− </i>0)<i>/</i>1 = 0, 2<i>θ </i>= 90<i>◦</i>, <i>θ </i>= 45<i>◦nx </i>= (n</p>n<p><i>√n</i>2<i>/</i>2)(<i>x′ − y′</i>), <i>y </i>= (n</p>n<p><i>√n</i>2<i>/</i>2)(<i>x′ </i>+ <i>y′</i>)n</p>n<p><i>y′</i>2<i>/</i>18<i>− x′</i>2<i>/</i>18 = 1, hyperbolan</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>ynx</i>′<i>y</i>′n</p>n<p><b>4. </b>cot 2<i>θ </i>= (1<i>− </i>1)<i>/</i>(<i>−</i>1) = 0, <i>θ </i>= 45<i>◦nx </i>= (n</p>n<p><i>√n</i>2<i>/</i>2)(<i>x′ − y′</i>), <i>y </i>= (n</p>n<p><i>√n</i>2<i>/</i>2)(<i>x′ </i>+ <i>y′</i>)n</p>n<p><i>x′</i>2<i>/</i>4 + <i>y′</i>2<i>/</i>(4<i>/</i>3) = 1, ellipsen</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>ynx</i>′<i>y</i>′n</p>n<p><b>5. </b>cot 2<i>θ </i>= [1<i>− </i>(<i>−</i>2)]<i>/</i>4 = 3<i>/</i>4ncos 2<i>θ </i>= 3<i>/</i>5nsin <i>θ </i>=n</p>n<p>√n(1<i>− </i>3<i>/</i>5)<i>/</i>2 = 1<i>/n</i></p>n<p><i>√n</i>5n</p>n<p>cos <i>θ </i>=n√n(1 + 3<i>/</i>5)<i>/</i>2 = 2<i>/n</i></p>n<p><i>√n</i>5n</p>n<p><i>x </i>= (1<i>/n√n</i>5)(2<i>x′ − y′</i>)n</p>n<p><i>y </i>= (1<i>/n√n</i>5)(<i>x′ </i>+ 2<i>y′</i>)n</p>n<p><i>x′</i>2<i>/</i>3<i>− y′</i>2<i>/</i>2 = 1, hyperbolan</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p><i>x</i>′n</p>n<p><i>y</i>′</p>nn</div></div>n<div><div><p><b>506 Chapter 11n</b></p>n<p><b>6. </b>cot 2<i>θ</i>= (31<i>− </i>21)<i>/</i>(10n<i>√n</i>3) = 1<i>/n</i></p>n<p><i>√n</i>3<i>,n</i></p>n<p>2<i>θ</i>= 60<i>◦, θ </i>= 30<i>◦n</i></p>n<p><i>x</i>= (1<i>/</i>2)(n<i>√n</i>3<i>x′ − y′</i>)<i>,n</i></p>n<p><i>y</i>= (1<i>/</i>2)(<i>x′ </i>+n<i>√n</i>3<i>y′</i>)n</p>n<p><i>x′</i>2<i>/</i>4 + <i>y′</i>2<i>/</i>9 = 1, ellipsen</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p><i>x</i>′n</p>n<p><i>y</i>′n</p>n<p><b>7. </b>cot 2<i>θ</i>= (1<i>− </i>3)<i>/</i>(2n<i>√n</i>3) = <i>−</i>1<i>/n</i></p>n<p><i>√n</i>3<i>,n</i></p>n<p>2<i>θ</i>= 120<i>◦, θ </i>= 60<i>◦n</i></p>n<p><i>x</i>= (1<i>/</i>2)(<i>x′ −n√n</i>3<i>y′</i>)n</p>n<p><i>y</i>= (1<i>/</i>2)(n<i>√n</i>3<i>x′ </i>+ <i>y′</i>)n</p>n<p><i>y′ </i>= <i>x′</i>2<i>, </i>parabolan</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>y x</i>′n</p>n<p><i>y</i>′n</p>n<p><b>8. </b>cot 2<i>θ </i>= (34<i>− </i>41)<i>/</i>(<i>−</i>24) = 7<i>/</i>24ncos 2<i>θ </i>= 7<i>/</i>25nsin <i>θ </i>=n</p>n<p>√n(1<i>− </i>7<i>/</i>25)<i>/</i>2 = 3<i>/</i>5n</p>n<p>cos <i>θ </i>=n√n(1 + 7<i>/</i>25)<i>/</i>2 = 4<i>/</i>5n</p>n<p><i>x </i>= (1<i>/</i>5)(4<i>x′ − </i>3<i>y′</i>),n<i>y </i>= (1<i>/</i>5)(3<i>x′ </i>+ 4<i>y′</i>)n<i>x′</i>2 + <i>y′</i>2<i>/</i>(1<i>/</i>2) = 1, ellipsen</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p><i>x</i>′n<i>y</i>′n</p>n<p><b>9. </b>cot 2<i>θ</i>= (9<i>− </i>16)<i>/</i>(<i>−</i>24) = 7<i>/</i>24ncos 2<i>θ</i>= 7<i>/</i>25<i>,n</i>sin <i>θ</i>= 3<i>/</i>5<i>, </i>cos <i>θ </i>= 4<i>/</i>5n</p>n<p><i>x</i>= (1<i>/</i>5)(4<i>x′ − </i>3<i>y′</i>)<i>,ny</i>= (1<i>/</i>5)(3<i>x′ </i>+ 4<i>y′</i>)n</p>n<p><i>y′</i>2 = 4(<i>x′ − </i>1)<i>, </i>parabolan<i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p><i>x</i>′n<i>y</i>′n</p>n<p><b>10. </b>cot 2<i>θ</i>= (5<i>− </i>5)<i>/</i>(<i>−</i>6) = 0<i>,nθ</i>= 45<i>◦n</i></p>n<p><i>x</i>= (n<i>√n</i>2<i>/</i>2)(<i>x′ − y′</i>)<i>,n</i></p>n<p><i>y</i>= (n<i>√n</i>2<i>/</i>2)(<i>x′ </i>+ <i>y′</i>)<i>,n</i></p>n<p><i>x′</i>2<i>/</i>8 + (<i>y′ </i>+ 1)2<i>/</i>2 = 1, ellipsen<i>xn</i></p>n<p><i>ynx</i>′<i>y</i>′</p>nn</div></div>n<div><div><p><b>Exercise Set 11.5 507n</b></p>n<p><b>11. </b>cot 2<i>θ</i>= (52<i>− </i>73)<i>/</i>(<i>−</i>72) = 7<i>/</i>24ncos 2<i>θ</i>= 7<i>/</i>25<i>, </i>sin <i>θ </i>= 3<i>/</i>5<i>,n</i>cos <i>θ</i>= 4<i>/</i>5n</p>n<p><i>x</i>= (1<i>/</i>5)(4<i>x′ − </i>3<i>y′</i>)<i>,ny</i>= (1<i>/</i>5)(3<i>x′ </i>+ 4<i>y′</i>)n</p>n<p>(<i>x′ </i>+ 1)2<i>/</i>4 + <i>y′</i>2 = 1, ellipsen</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p><i>x</i>′n<i>y</i>′n</p>n<p><b>12. </b>cot 2<i>θ</i>= [6<i>− </i>(<i>−</i>1)]<i>/</i>24 = 7<i>/</i>24ncos 2<i>θ</i>= 7<i>/</i>25<i>, </i>sin <i>θ </i>= 3<i>/</i>5<i>,n</i>cos <i>θ</i>= 4<i>/</i>5n</p>n<p><i>x</i>= (1<i>/</i>5)(4<i>x′ − </i>3<i>y′</i>)<i>,ny</i>= (1<i>/</i>5)(3<i>x′ </i>+ 4<i>y′</i>)n</p>n<p>(<i>y′ − </i>7<i>/</i>5)2<i>/</i>3<i>− </i>(<i>x′ </i>+ 1<i>/</i>5)2<i>/</i>2 = 1, hyperbolan</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p><i>x</i>′n<i>y</i>′n</p>n<p><b>13. </b><i>x′ </i>= (n<i>√n</i>2<i>/</i>2)(<i>x </i>+ <i>y</i>), <i>y′ </i>= (n</p>n<p><i>√n</i>2<i>/</i>2)(<i>−x </i>+ <i>y</i>) which when substituted into 3<i>x′</i>2 + <i>y′</i>2 = 6 yieldsn</p>n<p><i>x</i>2 + <i>xy </i>+ <i>y</i>2 = 3.n</p>n<p><b>14. </b>From (5), <i>x </i>=n1n2n(n<i>√n</i>3<i>x′ − y′</i>) and <i>y </i>= 1n</p>n<p>2n(<i>x′ </i>+n</p>n<p><i>√n</i>3<i>y′</i>) so <i>y </i>= <i>x</i>2 becomesn</p>n<p>1n2n(<i>x′ </i>+n</p>n<p><i>√n</i>3<i>y′</i>) =n</p>n<p>1n4n(n<i>√n</i>3<i>x′ − y′</i>)2; simplify to get 3<i>x′</i>2 <i>− </i>2n</p>n<p><i>√n</i>3<i>x′y′ </i>+ <i>y′</i>2 <i>− </i>2<i>x′ − </i>2n</p>n<p><i>√n</i>3<i>y′ </i>= 0.n</p>n<p><b>15. </b>Let <i>x </i>= <i>x′ </i>cos <i>θ − y′ </i>sin <i>θ</i>, <i>y </i>= <i>x′ </i>sin <i>θ </i>+ <i>y′ </i>cos <i>θ </i>then <i>x</i>2 + <i>y</i>2 = <i>r</i>2 becomesn(sin2 <i>θ </i>+ cos2 <i>θ</i>)<i>x′</i>2 + (sin2 <i>θ </i>+ cos2 <i>θ</i>)<i>y′</i>2 = <i>r</i>2, <i>x′</i>2 + <i>y′</i>2 = <i>r</i>2. Under a rotation transformation thencenter of the circle stays at the origin of both coordinate systems.n</p>n<p><b>16. </b>Multiply the first equation through by cos <i>θ </i>and the second by sin <i>θ </i>and add to getn<i>x </i>cos <i>θ</i>+ <i>y </i>sin <i>θ </i>= (cos2 <i>θ</i>+sin2 <i>θ</i>)<i>x′ </i>= <i>x′</i>. Multiply the first by <i>− </i>sin <i>θ </i>and the second by cos <i>θ </i>andnadd to get <i>y′</i>.n</p>n<p><b>17. </b>Use the Rotation Equations (5).n</p>n<p><b>18. </b>If the line is given by <i>Dx′ </i>+ <i>Ey′ </i>+ <i>F </i>= 0 then from (6),n<i>D</i>(<i>x </i>cos <i>θ </i>+ <i>y </i>sin <i>θ</i>) + <i>E</i>(<i>−x </i>sin <i>θ </i>+ <i>y </i>cos <i>θ</i>) + <i>F </i>= 0, orn(<i>D </i>cos <i>θ − E </i>sin <i>θ</i>)<i>x</i>+ (<i>D </i>sin <i>θ </i>+ <i>E </i>cos <i>θ</i>)<i>y </i>+ <i>F </i>= 0, which is a line in the <i>xy</i>-coordinates.n</p>n<p><b>19. </b>Set cot 2<i>θ </i>=n<i>A− CnBn</i></p>n<p>= 0<i>, </i>2<i>θ </i>= <i>π/</i>2<i>, θ </i>= <i>π/</i>4. Set <i>x </i>= (<i>x′ − y′</i>)n<i>√n</i>2<i>/</i>2<i>, y </i>= (<i>x′ </i>+ <i>y′</i>)n</p>n<p><i>√n</i>2<i>/</i>2 and insertn</p>n<p>these into the equation to obtain 2<i>x′</i>2 <i>− </i>8<i>y′ </i>= 0; parabola, vertex (0<i>, </i>0), focus (0<i>, </i>1), directrixn<i>y </i>= <i>−</i>1n</p>n<p><b>20. </b>cot 2<i>θ </i>= (1<i>− </i>3)<i>/</i>(<i>−</i>2n<i>√n</i>3) =n</p>n<p><i>√n</i>3<i>/</i>3<i>, </i>2<i>θ </i>= <i>π/</i>3<i>, θ </i>= <i>π/</i>6; setn</p>n<p><i>x </i>=n<i>√n</i>3<i>x′/</i>2 <i>− y′/</i>2<i>, y </i>= <i>x′/</i>2 +n</p>n<p><i>√n</i>3<i>y′/</i>2 and obtain 4<i>y′</i>2 <i>− </i>16<i>x′ </i>= 0; parabola, <i>p </i>= 1, vertex (0<i>, </i>0),n</p>n<p>focus (<i>−</i>1<i>, </i>0), directrix <i>x′ </i>= 1n</p>n<p><b>21. </b>cot 2<i>θ </i>= (9<i>− </i>16)<i>/</i>(<i>−</i>24) = 7<i>/</i>24 use method of Ex 4 to obtain cos 2<i>θ </i>= 7n25n</p>n<p><i>, </i>son</p>n<p>cos <i>θ </i>=n</p>n<p>√n1 + cos 2<i>θn</i></p>n<p>2n=n</p>n<p>√n1 + 725n</p>n<p>2n=n</p>n<p>4n5n<i>, </i>sin <i>θ </i>=n</p>n<p>√n1<i>− </i>cos 2<i>θn</i></p>n<p>2n=n</p>n<p>3n5n. Then setn</p>n<p><i>x </i>=n4n5n<i>x′ − </i>3n</p>n<p>5n<i>y′, y </i>=n</p>n<p>3n5n<i>x′ </i>+n</p>n<p>4n5n<i>y′</i>, insert these into the original equation to obtain <i>y′</i>2 = 4(<i>x′ − </i>1), son</p>n<p><i>p </i>= 1, vertex is (1<i>, </i>0), focus (2<i>, </i>0) and directrix <i>x′ </i>= 0.</p>nn</div></div>n<div><div><p><b>508 Chapter 11n</b></p>n<p><b>22. </b>cot 2<i>θ </i>= (1 <i>− </i>3)<i>/</i>(2n<i>√n</i>3) = <i>−</i>1<i>/n</i></p>n<p><i>√n</i>3<i>, </i>2<i>θ </i>= 2<i>π/</i>3<i>, θ </i>= <i>π/</i>3<i>, </i>and the equation is transformed inton</p>n<p><i>x′</i>2 = 8(<i>y′ </i>+ 3), parabola, <i>p </i>= 2, vertex (0<i>,−</i>3), focus (0<i>,−</i>1), directrix <i>y′ </i>= <i>−</i>5n</p>n<p><b>23. </b>cot 2<i>θ </i>= (288<i>−</i>337)<i>/</i>(<i>−</i>168) = 49<i>/</i>168 = 7<i>/</i>24; proceed as in Exercise 21 to obtain <i>cosθ </i>= 4n5n<i>, </i>sin <i>θ </i>=n</p>n<p>3n5n, so the new equation is 225<i>x′</i>2 + 400<i>y′</i>2 <i>− </i>3600 = 0, <i>x′</i>2<i>/</i>16 + <i>y′</i>2<i>/</i>9 = 1, ellipse, <i>a </i>= 4, <i>b </i>= 3,n</p>n<p><i>c </i>=n<i>√n</i>7, foci at (<i>±n</i></p>n<p><i>√n</i>7<i>, </i>0), vertices at (<i>±</i>4<i>, </i>0), minor axis has endpoints (0<i>,±</i>3) in the <i>x′</i>-<i>y′ </i>plane.n</p>n<p><b>24. </b>cot 2<i>θ </i>= 0<i>, </i>2<i>θ </i>= <i>π/</i>2<i>, θ </i>= <i>π/</i>4, sin <i>θ </i>= cos <i>θ </i>=n<i>√n</i>2<i>/</i>2 and the equation becomes 18<i>x′</i>2 + 32<i>y′</i>2 =n</p>n<p>288<i>, x′</i>2<i>/</i>16 + <i>y′</i>2<i>/</i>9 = 1, ellipse, <i>a </i>= 4<i>, b </i>= 3<i>, c </i>=n<i>√n</i>7, foci at (<i>±n</i></p>n<p><i>√n</i>7<i>, </i>0), vertices at (<i>±</i>4<i>, </i>0), minorn</p>n<p>axis has endpoints (0<i>,±</i>3)n</p>n<p><b>25. </b>cot 2<i>θ </i>= (31<i>− </i>21)<i>/</i>(10n<i>√n</i>3) = 1<i>/n</i></p>n<p><i>√n</i>3<i>, </i>2<i>θ </i>= <i>π/</i>3<i>, θ </i>= <i>π/</i>6 and the new equation isn</p>n<p>36<i>x′</i>2+16<i>y′</i>2+64<i>y′ </i>= 80<i>, </i>36<i>x′</i>2+16(<i>y′</i>+2)2 = 144<i>, x′</i>2<i>/</i>4+(<i>y′</i>+2)2<i>/</i>9 = 1, ellipse, <i>a </i>= 3<i>, b </i>= 2<i>, c </i>=<i>√n</i>9<i>− </i>4 =n</p>n<p><i>√n</i>5, so vertices at (0<i>, </i>1)<i>, </i>(0<i>,−</i>5), foci at (0<i>,−</i>2<i>±n</i></p>n<p><i>√n</i>5), ends of minor axis at (<i>±</i>2<i>,−</i>2).n</p>n<p><b>26. </b>cot 2<i>θ </i>= 1<i>/n√n</i>3<i>, </i>2<i>θ </i>= <i>π/</i>3<i>, θ </i>= <i>π/</i>6. The new equation isn</p>n<p>36<i>x′</i>2 + 64<i>y′</i>2 <i>− </i>72<i>x′ − </i>540 = 0<i>, </i>36(<i>x′ − </i>1)2 + 64<i>y′</i>2 = 576<i>, </i>(<i>x′ − </i>1)2<i>/</i>16 + <i>y′</i>2<i>/</i>9 = 1, ellipse,n<i>a </i>= 4<i>, b </i>= 3<i>, c </i>=n</p>n<p><i>√n</i>16<i>− </i>9 =n</p>n<p><i>√n</i>7<i>, </i>vertices at (5<i>, </i>0)<i>, </i>(<i>−</i>3<i>, </i>0), foci at (1<i>±n</i></p>n<p><i>√n</i>7<i>, </i>0), ends of minor axis atn</p>n<p>(1<i>,±</i>3).n</p>n<p><b>27. </b>cot 2<i>θ </i>= (1<i>− </i>11)<i>/</i>(<i>−</i>10n<i>√n</i>3) = 1<i>/n</i></p>n<p><i>√n</i>3<i>, </i>2<i>θ </i>= 2<i>π/</i>3<i>, θ </i>= <i>π/</i>3 and the new equation isn</p>n<p><i>−</i>4<i>x′</i>2 + 16<i>y′</i>2 + 64 = 0<i>, x′</i>2<i>/</i>16<i>− y′</i>2<i>/</i>4 = 1, hyperbola, vertices (<i>±</i>4<i>, </i>0), <i>a </i>= 4<i>, b </i>= 2<i>, c </i>=n<i>√n</i>20 =n</p>n<p>2n<i>√n</i>5, so foci at (<i>±</i>2n</p>n<p><i>√n</i>5<i>, </i>0), asymptotes <i>y </i>= <i>±</i>2<i>x</i>.n</p>n<p><b>28. </b>cot 2<i>θ </i>= (17<i>− </i>108)<i>/</i>(<i>−</i>312) = 7<i>/</i>24; proceed as in Exercise 21 to obtain cos <i>θ </i>= 4n5n<i>, </i>sin <i>θ </i>=n</p>n<p>3n5n. Thenn</p>n<p>the new equation is <i>−</i>100<i>x′</i>2+225<i>y′</i>2<i>−</i>900 = 0<i>, y′</i>2<i>/</i>4<i>−x′</i>2<i>/</i>9 = 1, hyperbola, <i>a </i>= 2<i>, b </i>= 3<i>, c </i>=n<i>√n</i>13,n</p>n<p>vertices at (0<i>,±</i>2), foci at (0<i>,±n√n</i>13), asymptotes <i>y </i>= <i>±</i>(2<i>/</i>3)<i>x</i>.n</p>n<p><b>29. </b>cot 2<i>θ </i>= (32<i>− </i>(<i>−</i>7))<i>/</i>(<i>−</i>52) = <i>−</i>3<i>/</i>4; proceed as in Example 4 to obtainn</p>n<p>cos 2<i>θ </i>= <i>−</i>3<i>/</i>5<i>, </i>cos <i>θ </i>=n√n</p>n<p>1 + cos 2<i>θn</i>2n</p>n<p>=n1<i>√n</i>5n<i>, </i>sin <i>θ </i>=n</p>n<p>2<i>√n</i>5nThe new equation isn</p>n<p><i>−</i>20<i>x′</i>2 + 45<i>y′</i>2 <i>− </i>360<i>y′ </i>= <i>−</i>900<i>, </i>20<i>x′</i>2 <i>− </i>45(<i>y′ − </i>4)2 = 180, or <i>xn</i>2n</p>n<p>9n<i>− </i>(<i>y − </i>4)n</p>n<p>2n</p>n<p>4n= 1, hyperbola,n</p>n<p><i>a </i>= 3<i>, b </i>= 2<i>, c </i>=n<i>√n</i>13, so the vertices are at (<i>±</i>3<i>, </i>4), the foci at (<i>±n</i></p>n<p><i>√n</i>13<i>, </i>4) and the asymptotes aren</p>n<p><i>y − </i>4 = <i>±</i>2n3n<i>x</i>.n</p>n<p><b>30. </b>cot 2<i>θ </i>= 0<i>, θ </i>= <i>π/</i>4, and the resulting equation isn9<i>x′</i>2 <i>− y′</i>2 + 36<i>x′ </i>+ 72 = 0<i>, </i>9(<i>x′ </i>+ 2)2 <i>− y′</i>2 + 72 <i>− </i>36 = 0<i>, y′</i>2<i>/</i>36 <i>− </i>(<i>x′ </i>+ 2)2<i>/</i>4 = 1, hyperbola,n<i>a </i>= 6<i>, b </i>= 2<i>, c </i>=n</p>n<p><i>√n</i>36 + 4 = 2n</p>n<p><i>√n</i>10, vertices at (<i>−</i>2<i>,±</i>6), foci at (<i>−</i>2<i>,±</i>2n</p>n<p><i>√n</i>10), asymptotes <i>y </i>=n</p>n<p><i>±</i>3(<i>x</i>+ 2).n</p>n<p><b>31. </b>(n<i>√nx</i>+n</p>n<p><i>√ny</i>)2 = 1 = <i>x</i>+ <i>y </i>+ 2n</p>n<p><i>√nxy, </i>(1<i>− x− y</i>)2 = <i>x</i>2 + <i>y</i>2 + 1<i>− </i>2<i>x− </i>2<i>y </i>+ <i>xy </i>= 4<i>xy</i>, so <i>x</i>2 <i>− </i>3<i>xy </i>+n</p>n<p><i>y</i>2 <i>− </i>2<i>x− </i>2<i>y </i>+ 1 = 0. Set cot 2<i>θ </i>= 0<i>, </i>then <i>θ </i>= <i>π/</i>4. Change variables by the Rotation Equationsnto obtain 2<i>y′</i>2 <i>− </i>2n</p>n<p><i>√n</i>2<i>x′ </i>+ 1, which is a parabola.n</p>n<p><b>32. </b>When (5) is substituted into (7), the term <i>x′y′ </i>will occur in the termsn<i>A</i>(<i>x′ </i>cos <i>θ − y′ </i>sin <i>θ</i>)2 +<i>B</i>(<i>x′ </i>cos <i>θ − y′ </i>sin <i>θ</i>)(<i>x′ </i>sin <i>θ </i>+ <i>y′ </i>cos <i>θ</i>) + <i>C</i>(<i>x′ </i>sin <i>θ </i>+ <i>y′ </i>cos <i>θ</i>)2n= <i>x′</i>2(<i>. . .</i>)+<i>x′y′</i>(<i>−</i>2<i>A </i>cos <i>θ </i>sin <i>θ</i>+<i>B</i>(cos2 <i>θ−</i>sin2 <i>θ</i>)+2<i>C </i>cos <i>θ </i>sin <i>θ</i>)+<i>y′</i>2(<i>. . .</i>)+ <i>. . .</i>, so the coefficientnof <i>x′y′ </i>is <i>B′ </i>= <i>B</i>(cos2 <i>θ − </i>sin2 <i>θ</i>) + 2(<i>C −A</i>) sin <i>θ </i>cos <i>θ</i>.</p>nn</div></div>n<div><div><p><b>Exercise Set 11.6 509n</b></p>n<p><b>33. </b>It suffiices to show that the expression <i>B′</i>2 <i>− </i>4<i>A′C ′ </i>is independent of <i>θ</i>. Setn<i>g </i>= <i>B′ </i>= <i>B</i>(cos2 <i>θ − </i>sin2 <i>θ</i>) + 2(<i>C −A</i>) sin <i>θ </i>cos <i>θnf </i>= <i>A′ </i>= (<i>A </i>cos2 <i>θ </i>+<i>B </i>cos <i>θ </i>sin <i>θ </i>+ <i>C </i>sin2 <i>θ</i>)n<i>h </i>= <i>C ′ </i>= (<i>A </i>sin2 <i>θ −B </i>sin <i>θ </i>cos <i>θ </i>+ <i>C </i>cos2 <i>θ</i>)nIt is easy to show thatn</p>n<p><i>g′</i>(<i>θ</i>) = <i>−</i>2<i>B </i>sin 2<i>θ </i>+ 2(<i>C −A</i>) cos 2<i>θ,nf ′</i>(<i>θ</i>) = (<i>C −A</i>) sin 2<i>θ </i>+<i>B </i>cos 2<i>θnh′</i>(<i>θ</i>) = (<i>A− C</i>) sin 2<i>θ −B </i>cos 2<i>θ </i>and it is a bit more tedious to show thatn<i>dn</i></p>n<p><i>dθn</i>(<i>g</i>2 <i>− </i>4<i>fh</i>) = 0.n</p>n<p>It follows that<i>B′</i>2<i>−</i>4<i>A′C ′ </i>is independent of <i>θ </i>and by taking <i>θ </i>= 0, we have<i>B′</i>2<i>−</i>4<i>A′C ′ </i>= <i>B</i>2<i>−</i>4<i>AC</i>.n</p>n<p><b>34. </b>From equations (9), <i>A′ </i>+ <i>C ′ </i>= <i>A</i>(sin2 <i>θ </i>+ cos2 <i>θ</i>) + <i>C</i>(sin2 <i>θ </i>+ cos2 <i>θ</i>) = <i>A</i>+ <i>C</i>.n</p>n<p><b>35. </b>If <i>A </i>= <i>C </i>then cot 2<i>θ </i>= (<i>A− C</i>)<i>B </i>= 0, so 2<i>θ </i>= <i>π/</i>2, and <i>θ </i>= <i>π/</i>4.n</p>n<p><b>36. </b>If <i>F </i>= 0 then <i>x</i>2 +<i>Bxy </i>= 0, <i>x</i>(<i>x</i>+<i>By</i>) = 0 so <i>x </i>= 0 or <i>x</i>+<i>By </i>= 0 which are lines that intersectnat (0<i>, </i>0). Suppose <i>F 	</i>= 0, rotate through an angle <i>θ </i>where cot 2<i>θ </i>= 1<i>/B </i>eliminating the crossnproduct term to get <i>A′x′</i>2 + <i>C ′y′</i>2 + <i>F ′ </i>= 0, and note that <i>F ′ </i>= <i>F </i>so <i>F ′ 	</i>= 0. From (9),n<i>A′ </i>= cos2 <i>θ </i>+<i>B </i>cos <i>θ </i>sin <i>θ </i>= cos <i>θ</i>(cos <i>θ </i>+<i>B </i>sin <i>θ</i>) andn<i>C ′ </i>= sin2 <i>θ −B </i>sin <i>θ </i>cos <i>θ </i>= sin <i>θ</i>(sin <i>θ −B </i>cos <i>θ</i>) son</p>n<p><i>A′C ′ </i>= sin <i>θ </i>cos <i>θ</i>[sin <i>θ </i>cos <i>θ −B</i>(cos2 <i>θ − </i>sin2 <i>θ</i>)<i>−B</i>2 sin <i>θ </i>cos <i>θ</i>]n</p>n<p>=n1n2nsin 2<i>θn</i></p>n<p>[n1n2nsin 2<i>θ −B </i>cos 2<i>θ − </i>1n</p>n<p>2n<i>B</i>2 sin 2<i>θn</i></p>n<p>]n=n</p>n<p>1n4nsin2 2<i>θ</i>[1<i>− </i>2<i>B </i>cot 2<i>θ −B</i>2]n</p>n<p>=n1n4nsin2 2<i>θ</i>[1<i>− </i>2<i>B</i>(1<i>/B</i>)<i>−B</i>2] = <i>−</i>1n</p>n<p>4nsin2 2<i>θ</i>(1 +<i>B</i>2) <i>< </i>0n</p>n<p>thus <i>A′ </i>and <i>C ′ </i>have unlike signs so the graph is a hyperbola.n</p>n<p><b>EXERCISE SET 11.6n</b></p>n<p><b>1. (a) </b><i>r </i>=n3<i>/</i>2n</p>n<p>1<i>− </i>cos <i>θ , e </i>= 1<i>, d </i>= 3<i>/</i>2n</p>n<p>0n</p>n<p>c/2n</p>n<p>–2n</p>n<p>–2n</p>n<p>2n</p>n<p>2n</p>n<p><b>(b) </b><i>r </i>=n3<i>/</i>2n</p>n<p>1 + 12 sin <i>θn, e </i>= 1<i>/</i>2<i>, d </i>= 3n</p>n<p>0n</p>n<p>c/2n</p>n<p>–2n</p>n<p>–2 2</p>nn</div></div>n<div><div><p><b>510 Chapter 11n</b></p>n<p><b>(c) </b><i>r </i>=n2n</p>n<p>1 + 32 cos <i>θn, e </i>= 3<i>/</i>2<i>, d </i>= 4<i>/</i>3n</p>n<p>0n</p>n<p>c/2n</p>n<p>–5 10n</p>n<p>–7n</p>n<p>7n</p>n<p><b>(d) </b><i>r </i>=n5<i>/</i>3n</p>n<p>1 + sin <i>θn, e </i>= 1<i>, d </i>= 5<i>/</i>3n</p>n<p>0n</p>n<p>c/2n</p>n<p>–11n</p>n<p>3n</p>n<p>–7 7n</p>n<p><b>2. (a) </b><i>r </i>=n3<i>/</i>4n</p>n<p>1<i>− </i>12 cos <i>θn, e </i>= 1<i>/</i>2<i>, d </i>= 3<i>/</i>2n</p>n<p>–0.5 1.5n</p>n<p>–1n</p>n<p>1n</p>n<p>0n</p>n<p>c/2n</p>n<p><b>(b) </b><i>r </i>=n1n</p>n<p>1<i>− </i>2 sin <i>θ , e </i>= 2<i>, d </i>= 1<i>/</i>2n</p>n<p>–2 2n</p>n<p>–2n</p>n<p>2n</p>n<p>0n</p>n<p>c/2n</p>n<p><b>(c) </b><i>r </i>=n1<i>/</i>2n</p>n<p>1 + cos <i>θn, e </i>= 1<i>, d </i>= 1<i>/</i>2n</p>n<p>–4 2n</p>n<p>–3n</p>n<p>3n</p>n<p>0n</p>n<p>c/2n</p>n<p><b>(d) </b><i>r </i>=n1<i>/</i>2n</p>n<p>1 + 4 cos <i>θn, e </i>= 4<i>, d </i>= 1<i>/</i>8n</p>n<p>–0.3 0.5n</p>n<p>–0.4n</p>n<p>0.4n</p>n<p>0n</p>n<p>c/2n</p>n<p><b>3. (a) </b><i>e </i>= 1<i>, d </i>= 8<i>,</i>parabola, opens upn</p>n<p>10n</p>n<p>–10n</p>n<p>–15 15n</p>n<p><b>(b) </b><i>r </i>=n4n</p>n<p>1 + 34 sin <i>θn, e </i>= 3<i>/</i>4<i>, d </i>= 16<i>/</i>3<i>,n</i></p>n<p>ellipse, directrix 16<i>/</i>3 unitsnabove the polen</p>n<p>5n</p>n<p>–20n</p>n<p>–12 12</p>nn</div></div>n<div><div><p><b>Exercise Set 11.6 511n</b></p>n<p><b>(c) </b><i>r </i>=n2n</p>n<p>1<i>− </i>32 sin <i>θn, e </i>= 3<i>/</i>2<i>, d </i>= 4<i>/</i>3<i>,n</i></p>n<p>hyperbola, directrix 4/3 unitsnbelow the polen</p>n<p>4n</p>n<p>–8n</p>n<p>–6 6n</p>n<p><b>(d) </b><i>r </i>=n3n</p>n<p>1 + 14 cos <i>θn, e </i>= 1<i>/</i>4<i>, d </i>= 12<i>,n</i></p>n<p>ellipse, directrix 12 unitsnto the right of the polen</p>n<p>4n</p>n<p>–4n</p>n<p>–7 3n</p>n<p><b>4. (a) </b><i>e </i>= 1<i>, d </i>= 15<i>,</i>parabola, opens leftn</p>n<p>20n</p>n<p>–20n</p>n<p>–20 20n</p>n<p><b>(b) </b><i>r </i>=n2<i>/</i>3n</p>n<p>1 + cos <i>θn, e </i>= 1<i>,n</i></p>n<p><i>d </i>= 2<i>/</i>3<i>,</i>parabola, opens leftn</p>n<p>10n</p>n<p>–10n</p>n<p>–15 5n</p>n<p><b>(c) </b><i>r </i>=n64<i>/</i>7n</p>n<p>1<i>− </i>127 sin <i>θn, e </i>= 12<i>/</i>7<i>, d </i>= 16<i>/</i>3<i>,n</i></p>n<p>hyperbola, directrix 16/3 units below polen</p>n<p>20n</p>n<p>–40n</p>n<p>–30 30n</p>n<p><b>(d) </b><i>r </i>=n4n</p>n<p>1<i>− </i>23 cos <i>θn, e </i>= 2<i>/</i>3<i>, d </i>= 6<i>,n</i></p>n<p>ellipse, directrix 6 units left of the polen</p>n<p>6n</p>n<p>–6n</p>n<p>–3 13n</p>n<p><b>5. (a) </b><i>d </i>= 2<i>, r </i>=n<i>edn</i></p>n<p>1 + <i>e </i>cos <i>θn</i>=n</p>n<p>3<i>/</i>2n1 + 34 cos <i>θn</i></p>n<p>=n6n</p>n<p>4 + 3 cos <i>θn</i></p>n<p><b>(b) </b><i>e </i>= 1<i>, d </i>= 1<i>, r </i>=n<i>edn</i></p>n<p>1 + <i>e </i>cos <i>θn</i>=n</p>n<p>1n1 + cos <i>θn</i></p>n<p><b>(c) </b><i>e </i>= 4<i>/</i>3<i>, d </i>= 3<i>, r </i>=n<i>edn</i></p>n<p>1 + <i>e </i>sin <i>θn</i>=n</p>n<p>4n1 + 43 sin <i>θn</i></p>n<p>=n12n</p>n<p>3 + 4 sin <i>θ</i></p>nn</div></div>n<div><div><p><b>512 Chapter 11n</b></p>n<p><b>6. (a) </b><i>e </i>= 2<i>/</i>3<i>, d </i>= 1<i>, r </i>=n<i>edn</i></p>n<p>1<i>− e </i>sin <i>θ </i>=n2<i>/</i>3n</p>n<p>1<i>− </i>23 sin <i>θn</i>=n</p>n<p>2n3<i>− </i>2 sin <i>θn</i></p>n<p><b>(b) </b><i>e </i>= 1<i>, d </i>= 1<i>, r </i>=n<i>edn</i></p>n<p>1 + <i>e </i>sin <i>θn</i>=n</p>n<p>1n1 + sin <i>θn</i></p>n<p><b>(c) </b><i>e </i>= 4<i>/</i>3<i>, d </i>= 1<i>, r </i>=n<i>edn</i></p>n<p>1<i>− e </i>cos <i>θ </i>=n4<i>/</i>3n</p>n<p>1<i>− </i>43 cos <i>θn</i>=n</p>n<p>4n3<i>− </i>4 cos <i>θn</i></p>n<p><b>7. (a) </b><i>r </i>=n<i>edn</i></p>n<p>1<i>± e </i>cos <i>θ , θ </i>= 0 : 6 =n<i>edn</i></p>n<p>1<i>± e , θ </i>= <i>π </i>: 4 =n<i>edn</i></p>n<p>1<i>∓ e , </i>6 <i>± </i>6<i>e </i>= 4 <i>∓ </i>4<i>e, </i>2 = <i>∓</i>10<i>e</i>, use bottomn</p>n<p>sign to get <i>e </i>= 1<i>/</i>5<i>, d </i>= 24<i>, r </i>=n24<i>/</i>5n</p>n<p>1<i>− </i>cos <i>θ </i>=n24n</p>n<p>5<i>− </i>5 cos <i>θn</i></p>n<p><b>(b) </b><i>e </i>= 1<i>, r </i>=n<i>dn</i></p>n<p>1<i>− </i>sin <i>θ , </i>1 =n<i>dn</i></p>n<p>2n<i>, d </i>= 2<i>, r </i>=n</p>n<p>2n1<i>− </i>sin <i>θn</i></p>n<p><b>(c) </b><i>r </i>=n<i>edn</i></p>n<p>1<i>± e </i>sin <i>θ , θ </i>= <i>π/</i>2 : 3 =n<i>edn</i></p>n<p>1<i>± e , θ </i>= 3<i>π/</i>2 : <i>−</i>7 =n<i>edn</i></p>n<p>1<i>∓ e , ed </i>= 3<i>±</i>3<i>e </i>= <i>−</i>7<i>±</i>7<i>e, </i>10 = <i>±</i>4<i>e,n</i></p>n<p><i>e </i>= 5<i>/</i>2<i>, d </i>= 21<i>/</i>5<i>, r </i>=n21<i>/</i>2n</p>n<p>1 + (5<i>/</i>2) sin <i>θn</i>=n</p>n<p>21n2 + 5 sin <i>θn</i></p>n<p><b>8. (a) </b><i>r </i>=n<i>edn</i></p>n<p>1<i>± e </i>sin <i>θ , </i>2 =n<i>edn</i></p>n<p>1<i>± e , </i>6 =n<i>edn</i></p>n<p>1<i>∓ e , </i>2<i>± </i>2<i>e </i>= 6<i>∓ </i>6<i>e</i>, upper sign yields <i>e </i>= 1<i>/</i>2<i>, d </i>= 6<i>,n</i></p>n<p><i>r </i>=n3n</p>n<p>1 + 12 sin <i>θn</i>=n</p>n<p>6n2 + sin <i>θn</i></p>n<p><b>(b) </b><i>e </i>= 1<i>, r </i>=n<i>dn</i></p>n<p>1<i>− </i>cos <i>θ , </i>2 =n<i>dn</i></p>n<p>2n<i>, d </i>= 4<i>, r </i>=n</p>n<p>4n1<i>− </i>cos <i>θn</i></p>n<p><b>(c) </b><i>e </i>=n<i>√n</i>2<i>, r </i>=n</p>n<p><i>√n</i>2<i>dn</i></p>n<p>1 +n<i>√n</i>2 cos <i>θn</i></p>n<p>; <i>r </i>= 2 when <i>θ </i>= 0, so <i>d </i>= 2 + 2n<i>√n</i>2<i>, r </i>=n</p>n<p>2 + 2n<i>√n</i>2n</p>n<p>1 +n<i>√n</i>2 cos <i>θn</i></p>n<p>.n</p>n<p><b>9. (a) </b><i>r </i>=n3n</p>n<p>1 + 12 sin <i>θn, e </i>= 1<i>/</i>2<i>, d </i>= 6, directrix 6 units above pole; if <i>θ </i>= <i>π/</i>2 : <i>r</i>0 = 2;n</p>n<p>if <i>θ </i>= 3<i>π/</i>2 : <i>r</i>1 = 6<i>, a </i>= (<i>r</i>0 + <i>r</i>1)<i>/</i>2 = 4<i>, b </i>=n<i>√nr</i>0<i>r</i>1 = 2n</p>n<p><i>√n</i>3, center (0<i>,−</i>2) (rectangularn</p>n<p>coordinates),n<i>x</i>2n</p>n<p>12n+n</p>n<p>(<i>y </i>+ 2)2n</p>n<p>16n= 1n</p>n<p><b>(b) </b><i>r </i>=n1<i>/</i>2n</p>n<p>1<i>− </i>12 cos <i>θn, e </i>= 1<i>/</i>2<i>, d </i>= 1, directrix 1 unit left of pole; if <i>θ </i>= <i>π </i>: <i>r</i>0 =n</p>n<p>1<i>/</i>2n3<i>/</i>2n</p>n<p>= 1<i>/</i>3;n</p>n<p>if <i>θ </i>= 0 : <i>r</i>1 = 1<i>, a </i>= 2<i>/</i>3<i>, b </i>= 1<i>/n√n</i>3, center = (1<i>/</i>3<i>, </i>0) (rectangular coordinates),n</p>n<p>9n4n(<i>x− </i>1<i>/</i>3)2 + 3<i>y</i>2 = 1n</p>n<p><b>10. (a) </b><i>r </i>=n6<i>/</i>5n</p>n<p>1 + 25 cos <i>θn, e </i>= 2<i>/</i>5<i>, d </i>= 3, directrix 3 units right of pole, if <i>θ </i>= 0 : <i>r</i>0 = 6<i>/</i>7,n</p>n<p>if <i>θ </i>= <i>π </i>: <i>r</i>1 = 2<i>, a </i>= 10<i>/</i>7<i>, b </i>= 2n<i>√n</i>3<i>/n√n</i>7, center (<i>−</i>4<i>/</i>7<i>, </i>0) (rectangular coordinates),n</p>n<p>49n100n</p>n<p>(<i>x</i>+ 4<i>/</i>7)2 +n7n12n</p>n<p><i>y</i>2 = 1n</p>n<p><b>(b) </b><i>r </i>=n2n</p>n<p>1<i>− </i>34 sin <i>θn, e </i>= 3<i>/</i>4<i>, d </i>= 8<i>/</i>3, directrix 8/3 units below pole, if <i>θ </i>= 3<i>π/</i>2 : <i>r</i>0 = 8<i>/</i>7,n</p>n<p>if <i>θ </i>= <i>π/</i>2; <i>r</i>1 = 8<i>, a </i>= 32<i>/</i>7<i>, b </i>= 8<i>/n√n</i>7, center: (0<i>, </i>24<i>/</i>7) (rectangular coordinates),n</p>n<p>7n64n</p>n<p><i>x</i>2 +n49n1024n</p>n<p>(n<i>y − </i>24n</p>n<p>7n</p>n<p>)2n= 1</p>nn</div></div>n<div><div><p><b>Exercise Set 11.6 513n</b></p>n<p><b>11. (a) </b><i>r </i>=n3n</p>n<p>1 + 2 sin <i>θn, e </i>= 2<i>, d </i>= 3<i>/</i>2, hyperbola, directrix 3/2 units above pole, if <i>θ </i>= <i>π/</i>2 :n</p>n<p><i>r</i>0 = 1; <i>θ </i>= 3<i>π/</i>2 : <i>r </i>= <i>−</i>3, so <i>r</i>1 = 3, center (0<i>, </i>2)<i>, a </i>= 1<i>, b </i>=n<i>√n</i>3<i>,−xn</i></p>n<p>2n</p>n<p>3n+ (<i>y − </i>2)2 = 1n</p>n<p><b>(b) </b><i>r </i>=n5<i>/</i>2n</p>n<p>1<i>− </i>32 cos <i>θn, e </i>= 3<i>/</i>2<i>, d </i>= 5<i>/</i>3, hyperbola, directrix 5/3 units left of pole, if <i>θ </i>= <i>π </i>:n</p>n<p><i>r</i>0 = 1; <i>θ </i>= 0 : <i>r </i>= <i>−</i>5<i>, r</i>1 = 5, center (<i>−</i>3<i>, </i>0)<i>, a </i>= 2<i>, b </i>=n<i>√n</i>5<i>,n</i></p>n<p>1n4n(<i>x</i>+ 3)2 <i>− </i>1n</p>n<p>5n<i>y</i>2 = 1n</p>n<p><b>12. (a) </b><i>r </i>=n4n</p>n<p>1<i>− </i>2 sin <i>θ , e </i>= 2<i>, d </i>= 2, hyperbola, directrix 2 units below pole, if <i>θ </i>= 3<i>π/</i>2 : <i>r</i>0 = 4<i>/</i>3;n</p>n<p><i>θ </i>= <i>π/</i>2 : <i>r</i>1 =n∣∣∣∣ 41<i>− </i>2n</p>n<p>∣∣∣∣ = 4, center (0<i>,−</i>8<i>/</i>3)<i>, a </i>= 4<i>/</i>3<i>, b </i>= 4<i>/√</i>3<i>, </i>916n(n<i>y </i>+n</p>n<p>8n3n</p>n<p>)2n<i>− </i>3n</p>n<p>16n<i>x</i>2 = 1n</p>n<p><b>(b) </b><i>r </i>=n15<i>/</i>2n</p>n<p>1 + 4 cos <i>θn, e </i>= 4<i>, d </i>= 15<i>/</i>8, hyperbola, directrix 15/8 units right of pole, if <i>θ </i>= 0 :n</p>n<p><i>r</i>0 = 3<i>/</i>2; <i>θ </i>= <i>π </i>: <i>r</i>1 =n∣∣∣∣<i>−</i>52n</p>n<p>∣∣∣∣ = 5<i>/</i>2<i>, a </i>= 1<i>/</i>2<i>, b </i>=n<i>√n</i>15n2n</p>n<p>, center (2<i>, </i>0)<i>, </i>4(<i>x− </i>2)2 <i>− </i>4n15n</p>n<p><i>y</i>2 = 1n</p>n<p><b>13. (a) </b><i>r </i>=n1n2<i>dn</i></p>n<p>1 + 12 cos <i>θn</i>=n</p>n<p><i>dn</i></p>n<p>2 + cos <i>θn</i>, if <i>θ </i>= 0 : <i>r</i>0 = <i>d/</i>3; <i>θ </i>= <i>π, r</i>1 = <i>d,n</i></p>n<p>8 = <i>a </i>=n1n2n(<i>r</i>1 + <i>r</i>0) =n</p>n<p>2n3n<i>d, d </i>= 12<i>, r </i>=n</p>n<p>12n2 + cos <i>θn</i></p>n<p><b>(b) </b><i>r </i>=n3n5<i>dn</i></p>n<p>1<i>− </i>35 sin <i>θn</i>=n</p>n<p>3<i>dn</i>5<i>− </i>3 sin <i>θ </i>, if <i>θ </i>= 3<i>π/</i>2 : <i>r</i>0 =n</p>n<p>3n8n<i>d</i>; <i>θ </i>= <i>π/</i>2<i>, r</i>1 =n</p>n<p>3n2n<i>d,n</i></p>n<p>4 = <i>a </i>=n1n2n(<i>r</i>1 + <i>r</i>0) =n</p>n<p>15n16n</p>n<p><i>d, d </i>=n64n15n</p>n<p><i>, r </i>=n3(64<i>/</i>15)n5<i>− </i>3 sin <i>θ </i>=n</p>n<p>64n25<i>− </i>15 sin <i>θn</i></p>n<p><b>(c) </b><i>r </i>=n3n5<i>dn</i></p>n<p>1<i>− </i>35 cos <i>θn</i>=n</p>n<p>3<i>dn</i>5<i>− </i>3 cos <i>θ </i>, if <i>θ </i>= <i>π </i>: <i>r</i>0 =n</p>n<p>3n8n<i>d</i>; <i>θ </i>= 0<i>, r</i>1 =n</p>n<p>3n2n<i>d, </i>4 = <i>b </i>=n</p>n<p>3n4n<i>d,n</i></p>n<p><i>d </i>= 16<i>/</i>3<i>, r </i>=n16n</p>n<p>5<i>− </i>3 cos <i>θn</i></p>n<p><b>(d) </b><i>r </i>=n1n5<i>dn</i></p>n<p>1 + 15 sin <i>θn</i>=n</p>n<p><i>dn</i></p>n<p>5 + sin <i>θn</i>, if <i>θ </i>= <i>π/</i>2 : <i>r</i>0 = <i>d/</i>6; <i>θ </i>= 3<i>π/</i>2<i>, r</i>1 = <i>d/</i>4<i>,n</i></p>n<p>5 = <i>c </i>=n1n2n<i>dn</i></p>n<p>(n1n4n<i>− </i>1n</p>n<p>6n</p>n<p>)n=n</p>n<p>1n24n</p>n<p><i>d, d </i>= 120<i>, r </i>=n120n</p>n<p>5 + sin <i>θn</i></p>n<p><b>14. (a) </b><i>r </i>=n1n2<i>dn</i></p>n<p>1 + 12 sin <i>θn</i>=n</p>n<p><i>dn</i></p>n<p>2 + sin <i>θn</i>, if <i>θ </i>= <i>π/</i>2 : <i>r</i>0 = <i>d/</i>3; <i>θ </i>= 3<i>π/</i>2 : <i>r</i>1 = <i>d,n</i></p>n<p>6 = <i>a </i>=n1n2n(<i>r</i>0 + <i>r</i>1) =n</p>n<p>2n3n<i>d, d </i>= 9<i>, r </i>=n</p>n<p>9n2 + sin <i>θn</i></p>n<p><b>(b) </b><i>r </i>=n1n5<i>dn</i></p>n<p>1<i>− </i>15 cos <i>θn</i>=n</p>n<p><i>dn</i></p>n<p>5<i>− </i>cos <i>θ </i>, if <i>θ </i>= <i>π </i>: <i>r</i>0 = <i>d/</i>6<i>, θ </i>= 0 : <i>r</i>1 = <i>d/</i>4<i>,n</i></p>n<p>5 = <i>a </i>=n1n2n(<i>r</i>1 + <i>r</i>0) =n</p>n<p>1n2n<i>dn</i></p>n<p>(n1n4n+n</p>n<p>1n6n</p>n<p>)n=n</p>n<p>5n24n</p>n<p><i>d, d </i>= 24<i>, r </i>=n24n</p>n<p>5<i>− </i>cos <i>θ</i></p>nn</div></div>n<div><div><p><b>514 Chapter 11n</b></p>n<p><b>(c) </b><i>r </i>=n4n5<i>dn</i></p>n<p>1<i>− </i>45 sin <i>θn</i>=n</p>n<p>4<i>dn</i>5<i>− </i>4 sin <i>θ </i>, if <i>θ </i>= 3<i>π/</i>2 : <i>r</i>0 =n</p>n<p>4n9n<i>d, θ </i>= <i>π/</i>2 : <i>r</i>1 = 4<i>d, </i>4 = <i>b </i>=n</p>n<p>4n3n<i>d,n</i></p>n<p><i>d </i>= 3<i>, r </i>=n12n</p>n<p>5<i>− </i>4 sin <i>θn</i></p>n<p><b>(d) </b><i>r </i>=n3n4<i>dn</i></p>n<p>1 + 34 cos <i>θn</i>=n</p>n<p>3<i>dn</i>4 + 3 cos <i>θn</i></p>n<p>, if <i>θ </i>= 0 : <i>r</i>0 =n3n7n<i>d</i>; <i>θ </i>= <i>π </i>: <i>r</i>1 = 3<i>d,n</i></p>n<p><i>c </i>= 10 =n1n2n(<i>r</i>1 <i>− r</i>0) =n</p>n<p>1n2n<i>dn</i></p>n<p>(n3<i>− </i>3n</p>n<p>7n</p>n<p>)n=n</p>n<p>9n7n<i>d, d </i>=n</p>n<p>70n9n<i>, r </i>=n</p>n<p>70<i>/</i>3n4 + 3 cos <i>θn</i></p>n<p>=n70n</p>n<p>12 + 9 cos <i>θn</i></p>n<p><b>15. </b>A hyperbola is equilateral if and only if <i>a </i>= <i>b </i>if and only if <i>c </i>=n<i>√n</i>2<i>a </i>=n</p>n<p><i>√n</i>2<i>b</i>, which is equivalent ton</p>n<p><i>e </i>=n<i>cn</i></p>n<p><i>an</i>=n</p>n<p><i>√n</i>2.n</p>n<p><b>17. </b>Since the foci are fixed, <i>c </i>is constant; since <i>e → </i>0, the distance <i>anen</i>=n</p>n<p><i>cn</i></p>n<p><i>e</i>2n<i>→ </i>+<i>∞</i>.n</p>n<p><b>18. (a) </b>From Figure 11.4.22,n<i>x</i>2n</p>n<p><i>a</i>2n<i>− yn</i></p>n<p>2n</p>n<p><i>b</i>2n= 1<i>,n</i></p>n<p><i>x</i>2n</p>n<p><i>a</i>2n<i>− yn</i></p>n<p>2n</p>n<p><i>c</i>2 <i>− a</i>2 = 1<i>,n</i>(n1<i>− cn</i></p>n<p>2n</p>n<p><i>a</i>2n</p>n<p>)n<i>x</i>2 + <i>y</i>2 = <i>a</i>2 <i>− c</i>2<i>,n</i></p>n<p><i>c</i>2 + <i>x</i>2 + <i>y</i>2 =n( <i>cnanxn</i>)2n</p>n<p>+ <i>a</i>2<i>, </i>(<i>x− c</i>)2 + <i>y</i>2 =n( <i>cnanx− an</i></p>n<p>)2n<i>,n</i></p>n<p>√n(<i>x− c</i>)2 + <i>y</i>2 = <i>cn</i></p>n<p><i>anx− a </i>for <i>x > a</i>2<i>/c</i>.n</p>n<p><b>(b) </b>From Part (a) and Figure 11.6.1, <i>PF </i>=n<i>cn</i></p>n<p><i>anPD,n</i></p>n<p><i>PFn</i></p>n<p><i>PDn</i>= <i>c/a</i>.n</p>n<p><b>19. (a) </b><i>e </i>= <i>c/a </i>=n1n2 (<i>r</i>1 <i>− r</i>0)n1n2 (<i>r</i>1 + <i>r</i>0)n</p>n<p>=n<i>r</i>1 <i>− r</i>0n<i>r</i>1 + <i>r</i>0n</p>n<p><b>(b) </b><i>e </i>=n<i>r</i>1<i>/r</i>0 <i>− </i>1n<i>r</i>1<i>/r</i>0 + 1n</p>n<p><i>, e</i>(<i>r</i>1<i>/r</i>0 + 1) = <i>r</i>1<i>/r</i>0 <i>− </i>1<i>,nr</i>1n<i>r</i>0n</p>n<p>=n1 + <i>en</i>1<i>− en</i></p>n<p><b>20. (a) </b><i>e </i>= <i>c/a </i>=n1n2 (<i>r</i>1 + <i>r</i>0)n1n2 (<i>r</i>1 <i>− r</i>0)n</p>n<p>=n<i>r</i>1 + <i>r</i>0n<i>r</i>1 <i>− r</i>0n</p>n<p><b>(b) </b><i>e </i>=n<i>r</i>1<i>/r</i>0 + 1n<i>r</i>1<i>/r</i>0 <i>− </i>1n</p>n<p><i>, e</i>(<i>r</i>1<i>/r</i>0 <i>− </i>1) = <i>r</i>1<i>/r</i>0 + 1<i>,nr</i>1n<i>r</i>0n</p>n<p>=n<i>e</i>+ 1n<i>e− </i>1n</p>n<p><b>21. </b><i>a </i>= <i>b </i>= 5<i>, e </i>= <i>c/a </i>=n<i>√n</i>50<i>/</i>5 =n</p>n<p><i>√n</i>2<i>, r </i>=n</p>n<p><i>√n</i>2<i>dn</i></p>n<p>1 +n<i>√n</i>2 cos <i>θn</i></p>n<p>; <i>r </i>= 5 when <i>θ </i>= 0, so <i>d </i>= 5 +n5<i>√n</i>2n<i>,n</i></p>n<p><i>r </i>=n5n<i>√n</i>2 + 5n</p>n<p>1 +n<i>√n</i>2 cos <i>θn</i></p>n<p>.n</p>n<p><b>22. (a)n</b></p>n<p>–5 5n</p>n<p>–5n</p>n<p>5n</p>n<p>0n</p>n<p>c/2 <b>(b) </b><i>θ </i>= <i>π/</i>2<i>, </i>3<i>π/</i>2<i>, r </i>= 1</p>nn</div></div>n<div><div><p><b>Exercise Set 11.6 515n</b></p>n<p><b>(c) </b><i>dy/dx </i>=n<i>r </i>cos <i>θ </i>+ (<i>dr/dθ</i>) sin <i>θn−r </i>sin <i>θ </i>+ (<i>dr/dθ</i>) cos <i>θ </i>; at <i>θ </i>= <i>π/</i>2<i>,m</i>1 = (<i>−</i>1)<i>/</i>(<i>−</i>1) = 1<i>,m</i>2 = 1<i>/</i>(<i>−</i>1) = <i>−</i>1<i>,n</i></p>n<p><i>m</i>1<i>m</i>2 = <i>−</i>1; and at <i>θ </i>= 3<i>π/</i>2<i>,m</i>1 = <i>−</i>1<i>,m</i>2 = 1<i>,m</i>1<i>m</i>2 = <i>−</i>1n</p>n<p><b>23. (a) </b><i>T </i>= <i>a</i>3<i>/</i>2 = 39<i>.</i>51<i>.</i>5 <i>≈ </i>248 yrn<b>(b) </b><i>r</i>0 = <i>a</i>(1<i>− e</i>) = 39<i>.</i>5(1<i>− </i>0<i>.</i>249) = 29<i>.</i>6645 AU <i>≈ </i>4<i>,</i>449<i>,</i>675<i>,</i>000 kmn</p>n<p><i>r</i>1 = <i>a</i>(1 + <i>e</i>) = 39<i>.</i>5(1 + 0<i>.</i>249) = 49<i>.</i>3355 AU <i>≈ </i>7<i>,</i>400<i>,</i>325<i>,</i>000 kmn</p>n<p><b>(c) </b><i>r </i>=n<i>a</i>(1<i>− e</i>2)n1 + <i>e </i>cos <i>θn</i></p>n<p><i>≈ </i>39<i>.</i>5(1<i>− </i>(0<i>.</i>249)n2)n</p>n<p>1 + 0<i>.</i>249 cos <i>θn≈ </i>37<i>.</i>05n</p>n<p>1 + 0<i>.</i>249 cos <i>θn</i>AUn</p>n<p><b>(d)n</b></p>n<p>0n</p>n<p>c/2n</p>n<p>–50n</p>n<p>50n</p>n<p>–30 20n</p>n<p><b>24. (a) </b>In yr and AU, <i>T </i>= <i>a</i>3<i>/</i>2; in days and km,n<i>Tn</i></p>n<p>365n=n(n</p>n<p><i>an</i></p>n<p>150<i>× </i>106n)3<i>/</i>2n</p>n<p>,n</p>n<p>so <i>T </i>= 365<i>× </i>10<i>−</i>9n( <i>an</i>150n</p>n<p>)3<i>/</i>2ndays.n</p>n<p><b>(b) </b><i>T </i>= 365<i>× </i>10<i>−</i>9n(n57<i>.</i>95<i>× </i>106n</p>n<p>150n</p>n<p>)3<i>/</i>2n<i>≈ </i>87<i>.</i>6 daysn</p>n<p><b>(c) </b><i>r </i>=n55490833<i>.</i>8n</p>n<p>1 + 0<i>.</i>206 cos <i>θn</i></p>n<p>From (17) the polar equation of the orbit has the form <i>r </i>=n<i>a</i>(1<i>− e</i>2)n1 + <i>e </i>cos <i>θn</i></p>n<p>=n55490833<i>.</i>8n1 + <i>.</i>206 cos <i>θn</i></p>n<p>km,n</p>n<p>or <i>r </i>=n0<i>.</i>3699n</p>n<p>1 + 0<i>.</i>206 cos <i>θn</i>AU.n</p>n<p><b>(d)n</b></p>n<p>0n</p>n<p>c/2n</p>n<p>0.2–0.2n</p>n<p>–0.4n</p>n<p>0.4n</p>n<p><b>25. (a) </b><i>a </i>= <i>T </i>2<i>/</i>3 = 23802<i>/</i>3 <i>≈ </i>178<i>.</i>26 AUn<b>(b) </b><i>r</i>0 = <i>a</i>(1<i>− e</i>) <i>≈ </i>0<i>.</i>8735 AU<i>, r</i>1 = <i>a</i>(1 + <i>e</i>) <i>≈ </i>355<i>.</i>64 AU</p>nn</div></div>n<div><div><p><b>516 Chapter 11n</b></p>n<p><b>(c) </b><i>r </i>=n<i>a</i>(1<i>− e</i>2)n1 + <i>e </i>cos <i>θn</i></p>n<p><i>≈ </i>1<i>.</i>74n1 + 0<i>.</i>9951 cos <i>θn</i></p>n<p>AUn</p>n<p><b>(d)n</b></p>n<p>0n</p>n<p>c/2n</p>n<p>–180n</p>n<p>4n</p>n<p><b>26. (a) </b>By Exercise 15(a), <i>e </i>=n<i>r</i>1 <i>− r</i>0n<i>r</i>1 + <i>r</i>0n</p>n<p><i>≈ </i>0<i>.</i>092635n</p>n<p><b>(b) </b><i>a </i>= 12 (<i>r</i>0 + <i>r</i>1) = 225<i>,</i>400<i>,</i>000 km <i>≈ </i>1<i>.</i>503 AU, so <i>T </i>= <i>a</i>3<i>/</i>2 <i>≈ </i>1<i>.</i>84 yrn</p>n<p><b>(c) </b><i>r </i>=n<i>a</i>(1<i>− e</i>2)n1 + <i>e </i>cos <i>θn</i></p>n<p><i>≈ </i>223465774<i>.</i>6n1 + 0<i>.</i>092635 cos <i>θn</i></p>n<p>km, or <i>≈ </i>1<i>.</i>48977n1 + 0<i>.</i>092635 cos <i>θn</i></p>n<p>AUn</p>n<p><b>(d)n</b></p>n<p>0n</p>n<p>c/2n</p>n<p>1.3635n</p>n<p>1.49n</p>n<p>1.49n</p>n<p>1.6419n</p>n<p><b>27. </b><i>r</i>0 = <i>a</i>(1<i>− e</i>) <i>≈ </i>7003 km, <i>h</i>min <i>≈ </i>7003<i>− </i>6440 = 563 km,n<i>r</i>1 = <i>a</i>(1 + <i>e</i>) <i>≈ </i>10<i>,</i>726 km, <i>h</i>max <i>≈ </i>10<i>,</i>726<i>− </i>6440 = 4286 kmn</p>n<p><b>28. </b><i>r</i>0 = <i>a</i>(1<i>− e</i>) <i>≈ </i>651<i>,</i>736 km, <i>h</i>min <i>≈ </i>581<i>,</i>736 km; <i>r</i>1 = <i>a</i>(1 + <i>e</i>) <i>≈ </i>6<i>,</i>378<i>,</i>102 km,n<i>h</i>max <i>≈ </i>6<i>,</i>308<i>,</i>102 kmn</p>n<p><b>REVIEW EXERCISE SETn</b></p>n<p><b>1. (a) </b>(<i>−</i>4n<i>√n</i>2<i>,−</i>4n</p>n<p><i>√n</i>2) <b>(b) </b>(7n</p>n<p><i>√n</i>2<i>/</i>2<i>,−</i>7n</p>n<p><i>√n</i>2<i>/</i>2) <b>(c) </b>(4n</p>n<p><i>√n</i>2<i>, </i>4n</p>n<p><i>√n</i>2)n</p>n<p><b>(d) </b>(5<i>, </i>0) <b>(e) </b>(0<i>,−</i>2) <b>(f) </b>(0<i>, </i>0)n</p>n<p><b>2. (a) </b>(n<i>√n</i>2<i>, </i>3<i>π/</i>4) <b>(b) </b>(<i>−n</i></p>n<p><i>√n</i>2<i>, </i>7<i>π/</i>4) <b>(c) </b>(n</p>n<p><i>√n</i>2<i>, </i>3<i>π/</i>4) <b>(d) </b>(<i>−n</i></p>n<p><i>√n</i>2<i>,−π/</i>4)n</p>n<p><b>3. (a) </b>(5<i>, </i>0<i>.</i>6435) <b>(b) </b>(n<i>√n</i>29<i>, </i>5<i>.</i>0929) <b>(c) </b>(1<i>.</i>2716<i>, </i>0<i>.</i>6658)n</p>n<p><b>4. (a) </b>circle <b>(b) </b>rose <b>(c) </b>line <b>(d) </b>limaçonn<b>(e) </b>limaçon <b>(f) </b>none <b>(g) </b>none <b>(h) </b>spiral</p>nn</div></div>n<div><div><p><b>Review Exercise Set 517n</b></p>n<p><b>5. (a) </b><i>r </i>= 2<i>a/</i>(1 + cos <i>θ</i>)<i>, r </i>+ <i>x </i>= 2<i>a, x</i>2 + <i>y</i>2 = (2<i>a− x</i>)2<i>, y</i>2 = <i>−</i>4<i>ax</i>+ 4<i>a</i>2, parabolan<b>(b) </b><i>r</i>2(cos2 <i>θ − </i>sin2 <i>θ</i>) = <i>x</i>2 <i>− y</i>2 = <i>a</i>2, hyperbolan<b>(c) </b><i>r </i>sin(<i>θ − π/</i>4) = (n</p>n<p><i>√n</i>2<i>/</i>2)<i>r</i>(sin <i>θ − </i>cos <i>θ</i>) = 4<i>, y − x </i>= 4n</p>n<p><i>√n</i>2, linen</p>n<p><b>(d) </b><i>r</i>2 = 4<i>r </i>cos <i>θ </i>+ 8<i>r </i>sin <i>θ, x</i>2 + <i>y</i>2 = 4<i>x</i>+ 8<i>y, </i>(<i>x− </i>2)2 + (<i>y − </i>4)2 = 20, circlen</p>n<p><b>6. (a) </b><i>r </i>cos <i>θ </i>= 7 <b>(b) </b><i>r </i>= 3n<b>(c) </b><i>r</i>2 <i>− </i>6<i>r </i>sin <i>θ </i>= 0, <i>r </i>= 6 sin <i>θn<b></b></i><b>(d) </b>4(<i>r </i>cos <i>θ</i>)(<i>r </i>sin <i>θ</i>) = 9, 4<i>r</i>2 sin <i>θ </i>cos <i>θ </i>= 9, <i>r</i>2 sin 2<i>θ </i>= 9<i>/</i>2n</p>n<p><b>7.n</b></p>n<p>Linen</p>n<p>2n</p>n<p><b>8.n</b></p>n<p>6n</p>n<p>Circlen</p>n<p><b>9.n</b></p>n<p>Cardioidn</p>n<p>3n</p>n<p>6n</p>n<p><b>10.n</b>3n</p>n<p>2n1n</p>n<p>Limaçonn</p>n<p><b>11.n</b></p>n<p>4 2n</p>n<p>3n</p>n<p>Limaçonn</p>n<p><b>12.n</b>1n</p>n<p>Lemniscaten</p>n<p><b>13. (a) </b><i>x </i>= <i>r </i>cos <i>θ </i>= cos <i>θ − </i>cos2 <i>θ, dx/dθ </i>= <i>− </i>sin <i>θ </i>+ 2 sin <i>θ </i>cos <i>θ </i>= sin <i>θ</i>(2 cos <i>θ − </i>1) = 0 if sin <i>θ </i>= 0nor cos <i>θ </i>= 1<i>/</i>2, so <i>θ </i>= 0<i>, π, π/</i>3<i>, </i>5<i>π/</i>3; maximum <i>x </i>= 1<i>/</i>4 at <i>θ </i>= <i>π/</i>3<i>, </i>5<i>π/</i>3, minimum <i>x </i>= <i>−</i>2nat <i>θ </i>= <i>π</i>;n</p>n<p><b>(b) </b><i>y </i>= <i>r </i>sin <i>θ </i>= sin <i>θ − </i>sin <i>θ </i>cos <i>θ, dy/dθ </i>= cos <i>θ </i>+ 1<i>− </i>2 cos2 <i>θ </i>= 0 at cos <i>θ </i>= 1<i>,−</i>1<i>/</i>2, son<i>θ </i>= 0<i>, </i>2<i>π/</i>3<i>, </i>4<i>π/</i>3; maximum <i>y </i>= 3n</p>n<p><i>√n</i>3<i>/</i>4 at <i>θ </i>= 2<i>π/</i>3, minimum <i>y </i>= <i>−</i>3n</p>n<p><i>√n</i>3<i>/</i>4 at <i>θ </i>= 4<i>π/</i>3n</p>n<p><b>14. (a) </b><i>y </i>= <i>r </i>sin <i>θ </i>= (sin <i>θ</i>)<i>/n√nθ, dy/dθ </i>=n</p>n<p>2<i>θ </i>cos <i>θ − </i>sin <i>θn</i>2<i>θ</i>3<i>/</i>2n</p>n<p>= 0 if 2<i>θ </i>cos <i>θ </i>= sin <i>θ, </i>tan <i>θ </i>= 2<i>θ </i>whichn</p>n<p>only happens once on (0<i>, π</i>]. Since limn<i>θ→</i>0+n</p>n<p><i>y </i>= 0 and <i>y </i>= 0 at <i>θ </i>= <i>π</i>, <i>y </i>has a maximum whenn</p>n<p>tan <i>θ </i>= 2<i>θ</i>.n</p>n<p><b>(b) </b><i>θ ≈ </i>1<i>.</i>16556n<b>(c) </b><i>y</i>max = (sin <i>θ</i>)<i>/n</i></p>n<p><i>√nθ ≈ </i>0<i>.</i>85124n</p>n<p><b>15. (a) </b><i>dy/dx </i>=n1<i>/</i>2n2<i>tn</i></p>n<p>= 1<i>/</i>(4<i>t</i>); <i>dy/dxn</i>∣∣n<i>t</i>=<i>−</i>1 = <i>−</i>1<i>/</i>4; <i>dy/dxn</i></p>n<p>∣∣n<i>t</i>=1 = 1<i>/</i>4n</p>n<p><b>(b) </b><i>x </i>= (2<i>y</i>)2 + 1<i>, dx/dy </i>= 8<i>y, dy/dxn</i>∣∣n<i>y</i>=<i>±</i>(1<i>/</i>2) = <i>±</i>1<i>/</i>4n</p>n<p><b>16. </b><i>dy/dx </i>=n<i>t</i>2n</p>n<p><i>tn</i>= <i>t</i>, <i>d</i>2<i>y/dx</i>2 =n</p>n<p>1n<i>tn</i>, <i>dy/dxn</i></p>n<p>∣∣n<i>t</i>=2 = 2, <i>dn</i></p>n<p>2<i>y/dx</i>2n∣∣n<i>t</i>=2 = 1<i>/</i>2</p>nn</div></div>n<div><div><p><b>518 Chapter 11n</b></p>n<p><b>17. </b><i>dy/dx </i>=n4 cos <i>tn−</i>2 sin <i>t </i>= <i>−</i>2 cot <i>tn</i></p>n<p><b>(a) </b><i>dy/dx </i>= 0 if cot <i>t </i>= 0, <i>t </i>= <i>π/</i>2 + <i>nπ </i>for <i>n </i>= 0<i>,±</i>1<i>, · · ·n</i></p>n<p><b>(b) </b><i>dx/dy </i>= <i>−</i>1n2ntan <i>t </i>= 0 if tan <i>t </i>= 0, <i>t </i>= <i>nπ </i>for <i>n </i>= 0<i>,±</i>1<i>, · · ·n</i></p>n<p><b>18. </b>Use equation (7) of Section 11.2:n<i>dyn</i></p>n<p><i>dxn</i>=n</p>n<p><i>dy/dθn</i></p>n<p><i>dx/dθn</i>=n</p>n<p><i>r </i>cos <i>θ </i>+ sin <i>θ drdθn−r </i>sin <i>θ </i>+ cos <i>θ drdθn</i></p>n<p>, then set <i>θ </i>= <i>π/</i>4, <i>dr/dθ </i>=n<i>√n</i>2<i>/</i>2, <i>r </i>= 1 +n</p>n<p><i>√n</i>2<i>/</i>2, <i>m </i>= <i>−</i>1<i>−n</i></p>n<p><i>√n</i>2n</p>n<p><b>19. (a) </b>As <i>t </i>runs from 0 to <i>π</i>, the upper portion of the curve is traced out from right to left; as <i>tn</i>runs from <i>π </i>to 2<i>π </i>the bottom portion of the curve is traced out from right to left. The loopn</p>n<p>occurs for <i>π </i>+ sin<i>−</i>1n1n4n<i>< t < </i>2<i>π − </i>sin<i>−</i>1 1n</p>n<p>4n.n</p>n<p><b>(b) </b>limn<i>t→</i>0+n</p>n<p><i>x </i>= +<i>∞, </i>limn<i>t→</i>0+n</p>n<p><i>y </i>= 1; limn<i>t→π−n</i></p>n<p><i>x </i>= <i>−∞, </i>limn<i>t→π−n</i></p>n<p><i>y </i>= 1; limn<i>t→π</i>+n</p>n<p><i>x </i>= +<i>∞, </i>limn<i>t→π</i>+n</p>n<p><i>y </i>= 1;n</p>n<p>limn<i>t→</i>2<i>π−n</i></p>n<p><i>x </i>= <i>−∞, </i>limn<i>t→</i>2<i>π−n</i></p>n<p><i>y </i>= 1; the horizontal asymptote is <i>y </i>= 1.n</p>n<p><b>(c) </b>horizontal tangent line when <i>dy/dx </i>= 0, or <i>dy/dt </i>= 0, so cos <i>t </i>= 0<i>, t </i>= <i>π/</i>2<i>, </i>3<i>π/</i>2;n</p>n<p>vertical tangent line when <i>dx/dt </i>= 0, so <i>− </i>csc2 <i>t−</i>4 sin <i>t </i>= 0<i>, t </i>= <i>π</i>+sin<i>−</i>1 1n3n<i>√n</i>4n<i>, </i>2<i>π−</i>sin<i>−</i>1 1n</p>n<p>3n<i>√n</i>4n<i>,n</i></p>n<p><i>t </i>= 3<i>.</i>823<i>, </i>5<i>.</i>602n</p>n<p><b>(d) </b><i>r</i>2 = <i>x</i>2 + <i>y</i>2 = (cot <i>t</i>+ 4 cos <i>t</i>)2 + (1 + 4 sin <i>t</i>)2 = (4 + csc <i>t</i>)2<i>, r </i>= 4 + csc <i>t</i>; with <i>t </i>= <i>θ,nf</i>(<i>θ</i>) = 4 + csc <i>θ</i>;<i>m </i>= <i>dy/dx </i>= (<i>f</i>(<i>θ</i>) cos <i>θ </i>+ <i>f ′</i>(<i>θ</i>) sin <i>θ</i>)<i>/</i>(<i>−f</i>(<i>θ</i>) sin <i>θ </i>+ <i>f ′</i>(<i>θ</i>) cos <i>θ</i>); whenn<i>θ </i>= <i>π </i>+ sin<i>−</i>1(1<i>/</i>4)<i>,m </i>=n</p>n<p><i>√n</i>15<i>/</i>15, when <i>θ </i>= 2<i>π − </i>sin<i>−</i>1(1<i>/</i>4)<i>,m </i>= <i>−n</i></p>n<p><i>√n</i>15<i>/</i>15, so the tangentn</p>n<p>lines to the conchoid at the pole have polar equations <i>θ </i>= <i>± </i>tan<i>−</i>1 1<i>√n</i>15n</p>n<p>.n</p>n<p><b>20. (a) </b><i>r </i>= 1<i>/θ, dr/dθ </i>= <i>−</i>1<i>/θ</i>2<i>, r</i>2 + (<i>dr/dθ</i>)2 = 1<i>/θ</i>2 + 1<i>/θ</i>4<i>, L </i>=n∫ <i>π/</i>2n<i>π/</i>4n</p>n<p>1n<i>θ</i>2n</p>n<p>√n1 + <i>θ</i>2 <i>dθ ≈ </i>0<i>.</i>9457 byn</p>n<p>Endpaper Table Formula 93.n</p>n<p><b>(b) </b>The integraln∫ +<i>∞n</i>1n</p>n<p>1n<i>θ</i>2n</p>n<p>√n1 + <i>θ</i>2 <i>dθ </i>diverges by the comparison test (with 1<i>/θ</i>), and thus then</p>n<p>arc length is infinite.n</p>n<p><b>21. </b><i>A </i>= 2n∫ <i>πn</i>0n</p>n<p>1n2n(2 + 2 cos <i>θ</i>)2<i>dθ </i>= 6<i>π <b></b></i><b>22. </b><i>A </i>=n</p>n<p>∫ <i>π/</i>2n0n</p>n<p>1n2n(1 + sin <i>θ</i>)2<i>dθ </i>= 3<i>π/</i>8 + 1n</p>n<p><b>23. </b>=n∫ <i>π/</i>6n0n</p>n<p>4 sin2 <i>θ dθ </i>+n∫ <i>π/</i>4n<i>π/</i>6n</p>n<p>1 <i>dθ </i>=n∫ <i>π/</i>6n0n</p>n<p>2(1<i>− </i>cos 2<i>θ</i>) <i>dθ </i>+ <i>πn</i>12n</p>n<p>= (2<i>θ − </i>sin 2<i>θ</i>)n]<i>π/</i>6n0n</p>n<p>+n<i>πn</i></p>n<p>12n</p>n<p>=n<i>πn</i></p>n<p>3n<i>−n</i></p>n<p><i>√n</i>3n2n</p>n<p>+n<i>πn</i></p>n<p>12n=n</p>n<p>5<i>πn</i>12n</p>n<p><i>−n√n</i>3n2n</p>n<p><b>24. </b>The circle has radius <i>a/</i>2 and lies entirely inside the cardioid, son</p>n<p><i>A </i>=n∫ 2<i>πn</i>0n</p>n<p>1n2n<i>a</i>2(1 + sin <i>θ</i>)2 <i>dθ − πa</i>2<i>/</i>4 = 3<i>an</i></p>n<p>2n</p>n<p>2n<i>π − an</i></p>n<p>2n</p>n<p>4n<i>π </i>=n</p>n<p>5<i>a</i>2n</p>n<p>4n<i>π</i></p>nn</div></div>n<div><div><p><b>Review Exercise Set 519n</b></p>n<p><b>25.n</b></p>n<p>–3 3n</p>n<p>–3n</p>n<p>3n</p>n<p>3n2n</p>n<p><i>F</i>( , 0)n<i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p>3n2n</p>n<p><i>x</i> = –n</p>n<p><b>26.n</b></p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p>9n4<i>F </i>(0, – )n</p>n<p>9n4n</p>n<p><i>y</i> = n</p>n<p>–5 5n</p>n<p>–5n</p>n<p>5n</p>n<p><b>27.n</b>23n4n</p>n<p><i>x</i> =n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p>9n4n</p>n<p><i>F</i>( , –1)n<i>V</i>(4, –1)n</p>n<p><b>28.n</b></p>n<p>1n2n</p>n<p><i>y</i> =n</p>n<p><i>F</i>( , )12n3n2n</p>n<p><i>V</i>( , 1)12n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p><b>29. </b><i>c</i>2 = 25<i>− </i>4 = 21, <i>c </i>=n<i>√n</i>21n</p>n<p>(0, 5)n</p>n<p>(0, –5)n</p>n<p>(–2, 0) (2, 0)n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p>(0, –√21)n</p>n<p>(0, √21)n</p>n<p><b>30.n</b><i>x</i>2n</p>n<p>9n+n</p>n<p><i>y</i>2n</p>n<p>4n= 1n</p>n<p><i>c</i>2 = 9<i>− </i>4 = 5<i>, c </i>=n<i>√n</i>5n</p>n<p>(0, 2)n</p>n<p>(0, –2)n</p>n<p>(–3, 0)n</p>n<p>(3, 0)n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p>(–√5, 0)n</p>n<p>(√5, 0)n</p>n<p><b>31.n</b>(<i>x− </i>1)2n</p>n<p>16n+n</p>n<p>(<i>y − </i>3)2n9n</p>n<p>= 1n</p>n<p><i>c</i>2 = 16<i>− </i>9 = 7<i>, c </i>=n<i>√n</i>7n</p>n<p>(1, 6)n</p>n<p>(1, 0)n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p>(1 – √7, 3) (1 + √7, 3)n</p>n<p>(5, 3)(–3, 3)n</p>n<p><b>32.n</b>(<i>x</i>+ 2)2n</p>n<p>4n+n</p>n<p>(<i>y </i>+ 1)2n</p>n<p>3n= 1n</p>n<p><i>c</i>2 = 4<i>− </i>3 = 1<i>, c </i>= 1n</p>n<p>(–4, –1)n(–3, –1)n</p>n<p>(–1, –1)n(0, –1)n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p>(–2, –1 + √3)n</p>n<p>(–2, –1 – √3)</p>nn</div></div>n<div><div><p><b>520 Chapter 11n</b></p>n<p><b>33. </b><i>c</i>2 = <i>a</i>2 + <i>b</i>2 = 16 + 4 = 20<i>, c </i>= 2n<i>√n</i>5n</p>n<p>(–4, 0) (4, 0)n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p>1n2n</p>n<p><i>y</i> = – <i>x </i>1n2n</p>n<p><i>y</i> = <i>xn</i></p>n<p>(–2√5, 0) (2√5, 0)n</p>n<p><b>34. </b><i>y</i>2<i>/</i>4<i>− x</i>2<i>/</i>9 = 1n<i>c</i>2 = 4 + 9 = 13<i>, c </i>=n</p>n<p><i>√n</i>13n</p>n<p>(0, –2)n</p>n<p>(0, 2)n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p>2n3n</p>n<p><i>y</i> = – <i>x </i>2n3n</p>n<p><i>y</i> = <i>xn</i></p>n<p>(0, √13)n</p>n<p>(0, –√13)n</p>n<p><b>35. </b><i>c</i>2 = 9 + 4 = 13<i>, c </i>=n<i>√n</i>13n</p>n<p>(5, 4)n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p>(2 – √13, 4) (2 + √13, 4)n(–1, 4)n</p>n<p><i>y</i> – 4 = – (<i>x</i> – 2)2n3n</p>n<p><i>y</i> – 4 = (<i>x</i> – 2)2n3n</p>n<p><b>36. </b>(<i>y </i>+ 3)2<i>/</i>36<i>− </i>(<i>x</i>+ 2)2<i>/</i>4 = 1n<i>c</i>2 = 36 + 4 = 40<i>, c </i>= 2n</p>n<p><i>√n</i>10n</p>n<p>(–2, 3)n</p>n<p>(–2, –9)n</p>n<p><i>y</i> + 3 = –3(<i>x</i> + 2) <i>y</i> + 3 = 3(<i>x</i> + 2)n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i>(–2, –3 + 2√10)n</p>n<p>(–2, –3 – 2√10)n</p>n<p><b>37. (a)n</b></p>n<p>–4 8n</p>n<p>–10n</p>n<p>2n<i>xn</i></p>n<p><i>y <b></b></i><b>(b)n</b></p>n<p>2 10n</p>n<p>–3n</p>n<p>4n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p><b>(c)n</b></p>n<p>–8 8n</p>n<p>–12n</p>n<p>4n<i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p><b>39. </b><i>x</i>2 = <i>−</i>4<i>py</i>, <i>p </i>= 4, <i>x</i>2 = <i>−</i>16<i>y <b></b></i><b>40. </b><i>x</i>2 + <i>y</i>2<i>/</i>5 = 1n</p>n<p><b>41. </b><i>a </i>= 3, <i>a/b </i>= 1, <i>b </i>= 3; <i>y</i>2<i>/</i>9<i>− x</i>2<i>/</i>9 = 1</p>nn</div></div>n<div><div><p><b>Review Exercise Set 521n</b></p>n<p><b>42. (a) </b>The equation of the parabola is <i>y </i>= <i>ax</i>2 and it passes through (2100<i>, </i>470), thus <i>a </i>=n470n21002n</p>n<p><i>,n</i></p>n<p><i>y </i>=n470n21002n</p>n<p><i>x</i>2.n</p>n<p><b>(b) </b><i>L </i>= 2n∫ 2100n0n</p>n<p>√n1 +n</p>n<p>(n2n</p>n<p>470n21002n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p>)2n<i>dxn</i></p>n<p>=n<i>xn</i></p>n<p>220500n</p>n<p>√n48620250000 + 2209<i>x</i>2 +n</p>n<p>220500n47n</p>n<p>sinh<i>−</i>1n(n</p>n<p>47n220500n</p>n<p><i>xn</i></p>n<p>)n<i>≈ </i>4336<i>.</i>3 ftn</p>n<p><b>43. (a) </b><i>y </i>= <i>y</i>0 + (<i>v</i>0 sin<i>α</i>)n<i>xn</i></p>n<p><i>v</i>0 cos<i>αn− gn</i></p>n<p>2n</p>n<p>(n<i>xn</i></p>n<p><i>v</i>0 cos<i>αn</i></p>n<p>)2n= <i>y</i>0 + <i>x </i>tan<i>α−n</i></p>n<p><i>gn</i></p>n<p>2<i>v</i>20 cos2 <i>αnx</i>2n</p>n<p><b>(b)n</b><i>dyn</i></p>n<p><i>dxn</i>= tan<i>α− gn</i></p>n<p><i>v</i>20 cos2 <i>αnx, dy/dx </i>= 0 at <i>x </i>=n</p>n<p><i>v</i>20n<i>gn</i></p>n<p>sin<i>α </i>cos<i>α,n</i></p>n<p><i>y </i>= <i>y</i>0 +n<i>v</i>20n<i>gn</i></p>n<p>sin2 <i>α− gn</i>2<i>v</i>20 cos2 <i>αn</i></p>n<p>(n<i>v</i>20 sin<i>α </i>cos<i>αn</i></p>n<p><i>gn</i></p>n<p>)2n= <i>y</i>0 +n</p>n<p><i>v</i>20n2<i>gn</i></p>n<p>sin2 <i>αn</i></p>n<p><b>44. </b><i>α </i>= <i>π/</i>4<i>, y</i>0 = 3<i>, x </i>= <i>v</i>0<i>t/n√n</i>2<i>, y </i>= 3 + <i>v</i>0<i>t/n</i></p>n<p><i>√n</i>2<i>− </i>16<i>t</i>2n</p>n<p><b>(a) </b>Assume the ball passes through <i>x </i>= 391<i>, y </i>= 50, then 391 = <i>v</i>0<i>t/n√n</i>2<i>, </i>50 = 3 + 391<i>− </i>16<i>t</i>2<i>,n</i></p>n<p>16<i>t</i>2 = 344<i>, t </i>=n<i>√n</i>21<i>.</i>5<i>, v</i>0 =n</p>n<p><i>√n</i>2<i>x/t ≈ </i>119<i>.</i>2538820 ft/sn</p>n<p><b>(b)n</b><i>dyn</i></p>n<p><i>dtn</i>=n</p>n<p><i>v</i>0<i>√n</i>2n<i>− </i>32<i>t </i>= 0 at <i>t </i>= <i>v</i>0n</p>n<p>32n<i>√n</i>2n<i>, y</i>max = 3+n</p>n<p><i>v</i>0<i>√n</i>2n</p>n<p><i>v</i>0n</p>n<p>32n<i>√n</i>2n<i>− </i>16 <i>vn</i></p>n<p>2n0n</p>n<p>211n= 3+n</p>n<p><i>v</i>20n128n</p>n<p><i>≈ </i>114<i>.</i>1053779 ftn</p>n<p><b>(c) </b><i>y </i>= 0 when <i>t </i>=n<i>−v</i>0<i>/n</i></p>n<p><i>√n</i>2<i>±n</i></p>n<p>√n<i>v</i>20<i>/</i>2 + 192n</p>n<p><i>−</i>32 <i>, t ≈ −</i>0<i>.</i>035339577 (discard) and 5<i>.</i>305666365,ndist = 447<i>.</i>4015292 ftn</p>n<p><b>45. (a) </b><i>V </i>=n∫ <i>√a</i>2+<i>b</i>2n<i>an</i></p>n<p><i>πn</i>(n<i>b</i>2<i>x</i>2<i>/a</i>2 <i>− b</i>2) <i>dxn</i></p>n<p>=n<i>πb</i>2n</p>n<p>3<i>a</i>2n(<i>b</i>2 <i>− </i>2<i>a</i>2)n</p>n<p>√n<i>a</i>2 + <i>b</i>2 +n</p>n<p>2n3n<i>ab</i>2<i>πn</i></p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>yn</i></p>n<p><b>(b) </b><i>V </i>= 2<i>πn</i>∫ <i>√a</i>2+<i>b</i>2n<i>an</i></p>n<p><i>xn</i>√n</p>n<p><i>b</i>2<i>x</i>2<i>/a</i>2 <i>− b</i>2 <i>dx </i>= (2<i>b</i>4<i>/</i>3<i>a</i>)<i>πn</i></p>n<p><i>xn</i></p>n<p><i>y</i></p>nn</div></div>n<div><div><p><b>522 Chapter 11n</b></p>n<p><b>46. (a)n</b><i>x</i>2n</p>n<p>225n<i>− yn</i></p>n<p>2n</p>n<p>1521n= 1, so <i>V </i>= 2n</p>n<p>∫ <i>h/</i>2n0n</p>n<p>225<i>πn</i>(n1 +n</p>n<p><i>y</i>2n</p>n<p>1521n</p>n<p>)n<i>dy </i>=n</p>n<p>25n2028n</p>n<p><i>πh</i>3 + 225<i>πh </i>ft3.n</p>n<p><b>(b) </b><i>S </i>= 2n∫ <i>h/</i>2n0n</p>n<p>2<i>πxn</i>√n</p>n<p>1 + (<i>dx/dy</i>)2 <i>dy </i>= 4<i>πn</i>∫ <i>h/</i>2n0n</p>n<p>√√√√225 + <i>y</i>2n(n</p>n<p>225n1521n</p>n<p>+n(n</p>n<p>225n1521n</p>n<p>)2)n<i>dyn</i></p>n<p>=n5<i>πhn</i>338n</p>n<p>√n1028196 + 194<i>h</i>2 +n</p>n<p>7605n<i>√n</i>194n</p>n<p>97n<i>π </i>lnn</p>n<p>[<i>√n</i>194<i>h</i>+n</p>n<p><i>√n</i>1028196 + 194<i>h</i>2n</p>n<p>1014n</p>n<p>]nft2n</p>n<p><b>47. </b>cot 2<i>θ </i>=n<i>A− CnBn</i></p>n<p>= 0<i>, </i>2<i>θ </i>= <i>π/</i>2<i>, θ </i>= <i>π/</i>4<i>, </i>cos <i>θ </i>= sin <i>θ </i>=n<i>√n</i>2<i>/</i>2<i>, </i>son</p>n<p><i>x </i>= (n<i>√n</i>2<i>/</i>2)(<i>x′ − y′</i>)<i>, y </i>= (n</p>n<p><i>√n</i>2<i>/</i>2)(<i>x′ </i>+ <i>y′</i>)<i>,n</i></p>n<p>1n2n<i>x′</i>2 <i>− </i>5n</p>n<p>2n<i>y′</i>2 + 3 = 0, hyperbolan</p>n<p><b>48. </b>cot 2<i>θ </i>= (7<i>− </i>5)<i>/</i>(2n<i>√n</i>3) = 1<i>/n</i></p>n<p><i>√n</i>3<i>, </i>2<i>θ </i>= <i>π/</i>3<i>, θ </i>= <i>π/</i>6 then the transformed equation isn</p>n<p>8<i>x′</i>2 + 4<i>y′</i>2 <i>− </i>4 = 0, ellipsen</p>n<p><b>49. </b>cot 2<i>θ </i>= (4n<i>√n</i>5<i>−n</i></p>n<p><i>√n</i>5)<i>/</i>(4n</p>n<p><i>√n</i>5) = 3<i>/</i>4, so cos 2<i>θ </i>= 3<i>/</i>5 and thus cos <i>θ </i>=n</p>n<p>√n(1 + cos 2<i>θ</i>)<i>/</i>2 = 2<i>/n</i></p>n<p><i>√n</i>5 andn</p>n<p>sin <i>θ </i>=n√n(1<i>− </i>cos 2<i>θ</i>)<i>/</i>2 = 1<i>/n</i></p>n<p><i>√n</i>5. Hence the transformed equation is 5n</p>n<p><i>√n</i>5<i>x′</i>2<i>−</i>5n</p>n<p><i>√n</i>5<i>y′ </i>= 0, parabolan</p>n<p><b>50. </b>cot 2<i>θ </i>= (17<i>− </i>108)<i>/</i>(<i>−</i>312) = 7<i>/</i>24. Use the methods of Example 4 of Section 11.5 to obtainncos <i>θ </i>= 4<i>/</i>5<i>, </i>sin <i>θ </i>= 3<i>/</i>5<i>, </i>and the new equation isn<i>−</i>100<i>x′</i>2 + 225<i>y′</i>2 <i>− </i>1800<i>y′ </i>+ 4500 = 0, which, upon completing the square, becomesn<i>− </i>49<i>x′</i>2 + (<i>y′ − </i>4)2 + 4 = 0, or 19<i>x′</i>2 <i>− </i>14 (<i>y′ − </i>4)2 = 1.nThus center at (0<i>, </i>4), <i>c</i>2 = 9 + 4 = 13<i>, c </i>=n</p>n<p><i>√n</i>13, so vertices at (<i>−</i>3<i>, </i>4) and (3<i>, </i>4); foci at (<i>±n</i></p>n<p><i>√n</i>13<i>, </i>4)n</p>n<p>and asymptotes <i>y</i>1 <i>− </i>4 = 2n3n<i>x</i>1.n</p>n<p><b>51. (a) </b><i>r </i>=n1<i>/</i>3n</p>n<p>1 + 13 cos <i>θn</i>, ellipse, right of pole, distance = 1n</p>n<p><b>(b) </b>hyperbola, left of pole, distance = 1<i>/</i>3n</p>n<p><b>(c) </b><i>r </i>=n1<i>/</i>3n</p>n<p>1 + sin <i>θn</i>, parabola, above pole, distance = 1<i>/</i>3n</p>n<p><b>(d) </b>parabola, below pole, distance = 3n</p>n<p><b>52. (a)n</b><i>cn</i></p>n<p><i>an</i>= <i>e </i>=n</p>n<p>2n7nand 2<i>b </i>= 6<i>, b </i>= 3<i>, a</i>2 = <i>b</i>2 + <i>c</i>2 = 9 +n</p>n<p>4n49n</p>n<p><i>a</i>2<i>,n</i>45n49n</p>n<p><i>a</i>2 = 9<i>, a </i>=n7<i>√n</i>5n<i>,n</i></p>n<p>5n49n</p>n<p><i>x</i>2 +n1n9n<i>y</i>2 = 1n</p>n<p><b>(b) </b><i>x</i>2 = <i>−</i>4<i>py</i>, directrix <i>y </i>= 4, focus (<i>−</i>4<i>, </i>0)<i>, </i>2<i>p </i>= 8<i>, x</i>2 = <i>−</i>16<i>yn<b></b></i><b>(c) </b>For the ellipse, <i>a </i>= 4<i>, b </i>=n</p>n<p><i>√n</i>3<i>, c</i>2 = <i>a</i>2 <i>− b</i>2 = 16<i>− </i>3 = 13, foci (<i>±n</i></p>n<p><i>√n</i>13<i>, </i>0);n</p>n<p>for the hyperbola, <i>c </i>=n<i>√n</i>13<i>, b/a </i>= 2<i>/</i>3<i>, b </i>= 2<i>a/</i>3<i>, </i>13 = <i>c</i>2 = <i>a</i>2 + <i>b</i>2 = <i>a</i>2 +n</p>n<p>4n9n<i>a</i>2 =n</p>n<p>13n9n<i>a</i>2<i>,n</i></p>n<p><i>a </i>= 3<i>, b </i>= 2<i>,nx</i>2n</p>n<p>9n<i>− yn</i></p>n<p>2n</p>n<p>4n= 1</p>nn</div></div>n<div><div><p><b>Review Exercise Set 523n</b></p>n<p><b>53. (a) </b><i>e </i>= 4<i>/</i>5 = <i>c/a, c </i>= 4<i>a/</i>5, but <i>a </i>= 5 so <i>c </i>= 4<i>, b </i>= 3<i>,n</i>(<i>x</i>+ 3)2n</p>n<p>25n+n</p>n<p>(<i>y − </i>2)2n9n</p>n<p>= 1n</p>n<p><b>(b) </b>directrix <i>y </i>= 2<i>, p </i>= 2<i>, </i>(<i>x</i>+ 2)2 = <i>−</i>8<i>yn</i></p>n<p><b>(c) </b>center (<i>−</i>1<i>, </i>5), vertices (<i>−</i>1<i>, </i>7) and (<i>−</i>1<i>, </i>3)<i>, a </i>= 2<i>, a/b </i>= 8<i>, b </i>= 1<i>/</i>4<i>, </i>(<i>y − </i>5)n2n</p>n<p>4n<i>−</i>16(<i>x</i>+1)2 = 1n</p>n<p><b>54. </b><i>C </i>= 4n∫ <i>π/</i>2n0n</p>n<p>[(n<i>dxn</i></p>n<p><i>dtn</i></p>n<p>)2n+n(n<i>dyn</i></p>n<p><i>dtn</i></p>n<p>)2]1<i>/</i>2n<i>dt </i>= 4n</p>n<p>∫ <i>π/</i>2n0n</p>n<p>(<i>a</i>2 sin2 <i>t</i>+ <i>b</i>2 cos2 <i>t</i>)1<i>/</i>2 <i>dtn</i></p>n<p>= 4n∫ <i>π/</i>2n0n</p>n<p>(<i>a</i>2 sin2 <i>t</i>+ (<i>a</i>2 <i>− c</i>2) cos2 <i>t</i>)1<i>/</i>2 <i>dt </i>= 4<i>an</i>∫ <i>π/</i>2n0n</p>n<p>(1<i>− e</i>2 cos2 <i>t</i>)1<i>/</i>2 <i>dtn</i></p>n<p>Set <i>u </i>=n<i>πn</i></p>n<p>2n<i>− t, C </i>= 4<i>an</i></p>n<p>∫ <i>π/</i>2n0n</p>n<p>(1<i>− e</i>2 sin2 <i>t</i>)1<i>/</i>2 <i>dtn</i></p>n<p><b>55. </b><i>a </i>= 3<i>, b </i>= 2<i>, c </i>=n<i>√n</i>5<i>, C </i>= 4(3)n</p>n<p>∫ <i>π/</i>2n0n</p>n<p>√n1<i>− </i>(5<i>/</i>9) cos2 <i>u du ≈ </i>15<i>.</i>86543959n</p>n<p><b>56. (a)n</b><i>r</i>0n<i>r</i>1n</p>n<p>=n59n61n</p>n<p>=n1<i>− en</i>1 + <i>en</i></p>n<p><i>, e </i>=n1n60n</p>n<p><b>(b) </b><i>a </i>= 93<i>× </i>106<i>, r</i>0 = <i>a</i>(1<i>− e</i>) =n59n60n(n93<i>× </i>106) = 91<i>,</i>450<i>,</i>000 min</p>n<p><b>(c) </b><i>C </i>= 4<i>× </i>93<i>× </i>106n∫ <i>π/</i>2n0n</p>n<p>[n1<i>−n</i></p>n<p>(ncos <i>θn</i>60n</p>n<p>)2]1<i>/</i>2n<i>dθ ≈ </i>584<i>,</i>295<i>,</i>652<i>.</i>5 mi</p>nn</div></div>n</body></html>','canEdit':false,'canDelete':false,'canReport':false,'userVote':null,'previewLimit':3,'advEnabled':true,'totalVotes':0,'title':'respostas CALC - Ie II 8ed - sm ch11, Exercu00edcios de Cu00e1lculo','isPremiumEnabled':false,'hasQuizcardSet':null}'><div><div><div><div><main><div><div><div><span><span>Pré-visualização</span><span>3 páginas / 49</span></span></div><div><div><div><div><div><div></div><div></div></div></div></div></div></div></div></div><div><div><div></div><div></div><div></div></div></div><div><div><div><div><div><div>l24-<div><div><p><b>475</b></p><p><b>CHAPTER 11</b></p><p><b>Analytic Geometry in Calculus</b></p><p><b>EXERCISE SET 11.1</b></p><p><b>1.</b></p><p>(1, 6)(3, 3)</p><p>(4, e) (–1, r)0</p><p>c/2</p><p>(5, 8)</p><p>(–6, –<i>p</i>)</p><p><b>2.</b></p><p>( , L)320</p><p>c/2</p><p>(–3, i)(–5, @)</p><p>(2, $)(0, c)</p><p>(2, g)</p><p><b>3. (a) </b>(3<i>√</i>3<i>, </i>3) <b>(b) </b>(<i>−</i>7<i>/</i>2<i>, </i>7</p><p><i>√</i>3<i>/</i>2) <b>(c) </b>(3</p><p><i>√</i>3<i>, </i>3)</p><p><b>(d) </b>(0<i>, </i>0) <b>(e) </b>(<i>−</i>7<i>√</i>3<i>/</i>2<i>, </i>7<i>/</i>2) <b>(f) </b>(<i>−</i>5<i>, </i>0)</p><p><b>4. (a) </b>(<i>−√</i>2<i>,−</i></p><p><i>√</i>2) <b>(b) </b>(3</p><p><i>√</i>2<i>,−</i>3</p><p><i>√</i>2) <b>(c) </b>(2</p><p><i>√</i>2<i>, </i>2</p><p><i>√</i>2)</p><p><b>(d) </b>(3<i>, </i>0) <b>(e) </b>(0<i>,−</i>4) <b>(f) </b>(0<i>, </i>0)</p><p><b>5. (a) </b>(5<i>, π</i>)<i>, </i>(5<i>,−π</i>) <b>(b) </b>(4<i>, </i>11<i>π/</i>6)<i>, </i>(4<i>,−π/</i>6) <b>(c) </b>(2<i>, </i>3<i>π/</i>2)<i>, </i>(2<i>,−π/</i>2)<b>(d) </b>(8</p><p><i>√</i>2<i>, </i>5<i>π/</i>4)<i>, </i>(8</p><p><i>√</i>2<i>,−</i>3<i>π/</i>4) <b>(e) </b>(6<i>, </i>2<i>π/</i>3)<i>, </i>(6<i>,−</i>4<i>π/</i>3) <b>(f) </b>(</p><p><i>√</i>2<i>, π/</i>4)<i>, </i>(</p><p><i>√</i>2<i>,−</i>7<i>π/</i>4)</p><p><b>6. (a) </b>(2<i>, </i>5<i>π/</i>6) <b>(b) </b>(<i>−</i>2<i>, </i>11<i>π/</i>6) <b>(c) </b>(2<i>,−</i>7<i>π/</i>6) <b>(d) </b>(<i>−</i>2<i>,−π/</i>6)</p><p><b>7. (a) </b>(5<i>, </i>0<i>.</i>9273) <b>(b) </b>(10<i>,−</i>0<i>.</i>92730) <b>(c) </b>(1<i>.</i>27155<i>,−</i>0<i>.</i>66577)</p><p><b>8. (a) </b>(5<i>, </i>2<i>.</i>2143) <b>(b) </b>(3<i>.</i>4482<i>, </i>2<i>.</i>6260) <b>(c) </b>(√</p><p>4 + <i>π</i>2<i>/</i>36<i>, </i>0<i>.</i>2561)</p><p><b>9. (a) </b><i>r</i>2 = <i>x</i>2 + <i>y</i>2 = 4; circle <b>(b) </b><i>y </i>= 4; horizontal line</p><p><b>(c) </b><i>r</i>2 = 3<i>r </i>cos <i>θ</i>, <i>x</i>2 + <i>y</i>2 = 3<i>x</i>, (<i>x− </i>3<i>/</i>2)2 + <i>y</i>2 = 9<i>/</i>4; circle<b>(d) </b>3<i>r </i>cos <i>θ </i>+ 2<i>r </i>sin <i>θ </i>= 6, 3<i>x</i>+ 2<i>y </i>= 6; line</p><p><b>10. (a) </b><i>r </i>cos <i>θ </i>= 5, <i>x </i>= 5; vertical line<b>(b) </b><i>r</i>2 = 2<i>r </i>sin <i>θ</i>, <i>x</i>2 + <i>y</i>2 = 2<i>y</i>, <i>x</i>2 + (<i>y − </i>1)2 = 1; circle<b>(c) </b><i>r</i>2 = 4<i>r </i>cos <i>θ </i>+ 4<i>r </i>sin <i>θ, x</i>2 + <i>y</i>2 = 4<i>x</i>+ 4<i>y, </i>(<i>x− </i>2)2 + (<i>y − </i>2)2 = 8; circle<b>(d) </b><i>r </i>=</p><p>1cos <i>θ</i></p><p>sin <i>θ</i>cos <i>θ</i></p><p>, <i>r </i>cos2 <i>θ </i>= sin <i>θ</i>, <i>r</i>2 cos2 <i>θ </i>= <i>r </i>sin <i>θ</i>, <i>x</i>2 = <i>y</i>; parabola</p><p><b>11. (a) </b><i>r </i>cos <i>θ </i>= 3 <b>(b) </b><i>r </i>=<i>√</i>7</p><p><b>(c) </b><i>r</i>2 + 6<i>r </i>sin <i>θ </i>= 0, <i>r </i>= <i>−</i>6 sin <i>θ<b></b></i><b>(d) </b>9(<i>r </i>cos <i>θ</i>)(<i>r </i>sin <i>θ</i>) = 4, 9<i>r</i>2 sin <i>θ </i>cos <i>θ </i>= 4, <i>r</i>2 sin 2<i>θ </i>= 8<i>/</i>9</p><p><b>12. (a) </b><i>r </i>sin <i>θ </i>= <i>−</i>3 <b>(b) </b><i>r </i>=<i>√</i>5</p><p><b>(c) </b><i>r</i>2 + 4<i>r </i>cos <i>θ </i>= 0, <i>r </i>= <i>−</i>4 cos <i>θ<b></b></i><b>(d) </b><i>r</i>4 cos2 <i>θ </i>= <i>r</i>2 sin2 <i>θ</i>, <i>r</i>2 = tan2 <i>θ</i>, <i>r </i>= tan <i>θ</i></p></div></div><div><div><p><b>476 Chapter 11</b></p><p><b>13.</b></p><p>0</p><p>c/2</p><p>–3</p><p>–3</p><p>3</p><p>3</p><p><i>r </i>= 3 sin 2<i>θ</i></p><p><b>14.</b></p><p>–3 3</p><p>–2.25</p><p>2.25</p><p><i>r </i>= 2 cos 3<i>θ</i></p><p><b>15.</b></p><p>0</p><p>c/2</p><p>–4 4–1</p><p><i>r </i>= 3<i>− </i>4 sin 3<i>θ</i></p><p><b>16.</b></p><p>0</p><p>c/2</p><p><i>r </i>= 2 + 2 sin <i>θ</i></p><p><b>17. (a) </b><i>r </i>= 5</p><p><b>(b) </b>(<i>x− </i>3)2 + <i>y</i>2 = 9<i>, r </i>= 6 cos <i>θ<b></b></i><b>(c) </b>Example 6, <i>r </i>= 1<i>− </i>cos <i>θ</i></p><p><b>18. (a) </b>From (8-9), <i>r </i>= <i>a ± b </i>sin <i>θ </i>or <i>r </i>= <i>a ± b </i>cos <i>θ</i>. The curve is not symmetric about the <i>y</i>-axis,so Theorem 11.1.1(a) eliminates the sine function, thus <i>r </i>= <i>a ± b </i>cos <i>θ</i>. The cartesian point(<i>−</i>3<i>, </i>0) is either the polar point (3<i>, π</i>) or (<i>−</i>3<i>, </i>0), and the cartesian point (<i>−</i>1<i>, </i>0) is eitherthe polar point (1<i>, π</i>) or (<i>−</i>1<i>, </i>0). A solution is <i>a </i>= 1<i>, b </i>= <i>−</i>2; we may take the equation as<i>r </i>= 1<i>− </i>2 cos <i>θ</i>.</p><p><b>(b) </b><i>x</i>2 + (<i>y </i>+ 3<i>/</i>2)2 = 9<i>/</i>4<i>, r </i>= <i>−</i>3 sin <i>θ<b></b></i><b>(c) </b>Figure 11.1.18, <i>a </i>= 1<i>, n </i>= 3<i>, r </i>= sin 3<i>θ</i></p><p><b>19. (a) </b>Figure 11.1.18, <i>a </i>= 3<i>, n </i>= 2<i>, r </i>= 3 sin 2<i>θ</i></p><p><b>(b) </b>From (8-9), symmetry about the <i>y</i>-axis and Theorem 11.1.1(b), the equation is of the form<i>r </i>= <i>a± b </i>sin <i>θ</i>. The cartesian points (3<i>, </i>0) and (0<i>, </i>5) give <i>a </i>= 3 and 5 = <i>a</i>+ <i>b</i>, so <i>b </i>= 2 and<i>r </i>= 3 + 2 sin <i>θ</i>.</p><p><b>(c) </b>Example 8, <i>r</i>2 = 9 cos 2<i>θ</i></p><p><b>20. (a) </b>Example 6 rotated through <i>π/</i>2 radian: <i>a </i>= 3<i>, r </i>= 3<i>− </i>3 sin <i>θ<b></b></i><b>(b) </b>Figure 11.1.18, <i>a </i>= 1<i>, r </i>= cos 5<i>θ</i></p><p><b>(c) </b><i>x</i>2 + (<i>y − </i>2)2 = 4, <i>r </i>= 4 sin <i>θ</i></p></div></div><div><div><p><b>Exercise Set 11.1 477</b></p><p><b>21.</b></p><p>Line</p><p>4</p><p><b>22.</b></p><p>Line</p><p>(</p><p><b>23.</b></p><p>Circle</p><p>3</p><p><b>24.</b></p><p>4</p><p>Circle</p><p><b>25. </b>6</p><p>Circle</p><p><b>26.</b></p><p>1</p><p>2</p><p>Cardioid</p><p><b>27.</b></p><p>Circle</p><p>12</p><p><b>28.</b></p><p>4</p><p>2</p><p>Cardioid</p><p><b>29.</b></p><p>Cardioid</p><p>3</p><p>6 <b>30.</b></p><p>5</p><p>10</p><p>Cardioid</p><p><b>31. </b>4</p><p>8</p><p>Cardioid</p><p><b>32.</b></p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>Limaçon</p><p><b>33.</b>1</p><p>2</p><p>Cardioid</p><p><b>34.</b></p><p>1 7</p><p>4</p><p>Limaçon</p><p><b>35.</b></p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>Limaçon</p><p><b>36.</b></p><p>4</p><p>2</p><p>3</p><p>Limaçon</p><p><b>37.</b></p><p>Limaçon</p><p>3</p><p>1 7</p><p><b>38.</b></p><p>2</p><p>5</p><p>8</p><p>Limaçon</p><p><b>39.</b></p><p>3</p><p>5</p><p>Limaçon</p><p>7</p><p><b>40.</b></p><p>31</p><p>7</p><p>Limaçon</p><p><b>41.</b></p><p>Lemniscate</p><p>1</p><p><b>42.</b>3</p><p>Lemniscate</p><p><b>43.</b></p><p>Lemniscate</p><p>4<b>44.</b></p><p>Spiral</p><p>2c</p><p>4c</p><p>6c</p><p>8c</p></div></div><div><div><p><b>478 Chapter 11</b></p><p><b>45.</b></p><p>Spiral</p><p>2c4c</p><p>6c</p><p>8c</p><p><b>46. </b>2c</p><p>6c</p><p>4c</p><p>Spiral</p><p><b>47.</b></p><p>2</p><p>Four-petal rose</p><p><b>48.</b>3</p><p>Four-petal rose</p><p><b>49.</b></p><p>9</p><p>Eight-petal rose</p><p><b>50.</b></p><p>2</p><p>Three-petal rose</p><p><b>51.</b></p><p>–1 1</p><p>–1</p><p>1 <b>52. </b>1</p><p>–1</p><p>–1 1</p><p><b>53. </b>3</p><p>–3</p><p>–3 3</p><p><b>54. </b>3</p><p>–3</p><p>–3 3</p><p><b>55. </b>1</p><p>–1</p><p>–1 1</p><p><b>56. </b>0 <i>≤ θ ≤ </i>8<i>π <b></b></i><b>57. (a) </b><i>−</i>4<i>π < θ < </i>4<i>π</i></p></div></div><div><div><p><b>Exercise Set 11.1 479</b></p><p><b>58. </b>Family I: <i>x</i>2 + (<i>y − b</i>)2 = <i>b</i>2<i>, b < </i>0, or <i>r </i>= 2<i>b </i>sin <i>θ</i>; Family II: (<i>x − a</i>)2 + <i>y</i>2 = <i>a</i>2<i>, a < </i>0, or<i>r </i>= 2<i>a </i>cos <i>θ</i></p><p><b>59. (a) </b><i>r </i>=<i>a</i></p><p>cos <i>θ, r </i>cos <i>θ </i>= <i>a, x </i>= <i>a <b></b></i><b>(b) </b><i>r </i>sin <i>θ </i>= <i>b, y </i>= <i>b</i></p><p><b>60. </b>In I, along the <i>x</i>-axis, <i>x </i>= <i>r </i>grows ever slower with <i>θ</i>. In II <i>x </i>= <i>r </i>grows linearly with <i>θ</i>.Hence I: <i>r </i>=</p><p><i>√θ</i>; II: <i>r </i>= <i>θ</i>.</p><p><b>61. (a) </b>c/2</p><p>0</p><p><b>(b) </b>c/2</p><p>0</p><p>(1, 9)</p><p><b>(c) </b>c/2</p><p>0</p><p>(1, #)</p><p><b>(d) </b>c/2</p><p>0</p><p>(–1, 3)</p><p><b>(e) </b>c/2</p><p>0(1, 0)</p><p>(1, 6)</p><p>(2, 3)</p><p><b>62. (a) </b>c/2</p><p>0</p><p>(1, ()</p><p><b>(b) </b>c/2</p><p>0</p><p>(1, 3 )</p></div></div><div><div><p><b>480 Chapter 11</b></p><p><b>(c) </b>c/2</p><p>0</p><p>(1, ()</p><p><b>(d) </b>c/2</p><p>0</p><p>(–1, ()</p><p><b>(e) </b>c/2</p><p>0(1, 0)</p><p>(1, 6)</p><p>(2, 9)</p><p><b>64. </b>The image of (<i>r</i>0<i>, θ</i>0) under a rotation through an angle <i>α </i>is (<i>r</i>0<i>, θ</i>0 + <i>α</i>). Hence (<i>f</i>(<i>θ</i>)<i>, θ</i>) lies onthe original curve if and only if (<i>f</i>(<i>θ</i>)<i>, θ</i>+<i>α</i>) lies on the rotated curve, i.e. (<i>r, θ</i>) lies on the rotatedcurve if and only if <i>r </i>= <i>f</i>(<i>θ − α</i>).</p><p><b>65. (a) </b><i>r </i>= 1 + cos(<i>θ − π/</i>4) = 1 +<i>√</i>22</p><p>(cos <i>θ </i>+ sin <i>θ</i>)</p><p><b>(b) </b><i>r </i>= 1 + cos(<i>θ − π/</i>2) = 1 + sin <i>θ<b></b></i><b>(c) </b><i>r </i>= 1 + cos(<i>θ − π</i>) = 1<i>− </i>cos <i>θ</i></p><p><b>(d) </b><i>r </i>= 1 + cos(<i>θ − </i>5<i>π/</i>4) = 1<i>−√</i>22</p><p>(cos <i>θ </i>+ sin <i>θ</i>)</p><p><b>66. </b><i>r</i>2 = 4 cos 2(<i>θ − π/</i>2) = <i>−</i>4 cos 2<i>θ</i></p><p><b>67. </b>Either <i>r − </i>1 = 0 or <i>θ − </i>1 = 0,so the graph consists of thecircle <i>r </i>= 1 and the line <i>θ </i>= 1.</p><p>0</p><p>c/2</p><p><i>r</i> = 1</p><p><i>u</i> = 1</p><p><b>68. (a) </b><i>r</i>2 = <i>Ar </i>sin <i>θ </i>+<i>Br </i>cos <i>θ</i>, <i>x</i>2 + <i>y</i>2 = <i>Ay </i>+<i>Bx, </i>(<i>x−B/</i>2)2 + (<i>y −A/</i>2)2 = (<i>A</i>2 +<i>B</i>2)<i>/</i>4, whichis a circle of radius</p><p>12</p><p>√<i>A</i>2 +<i>B</i>2.</p><p><b>(b) </b>Formula (4) follows by setting <i>A </i>= 0<i>, B </i>= 2<i>a, </i>(<i>x− a</i>)2 + <i>y</i>2 = <i>a</i>2, the circle of radius <i>a </i>about(<i>a, </i>0). Formula (5) is derived in a similar fashion.</p><p><b>69. </b><i>y </i>= <i>r </i>sin <i>θ </i>= (1 + cos <i>θ</i>) sin <i>θ </i>= sin <i>θ </i>+ sin <i>θ </i>cos <i>θ</i>,<i>dy/dθ </i>= cos <i>θ − </i>sin2 <i>θ </i>+ cos2 <i>θ </i>= 2 cos2 <i>θ </i>+ cos <i>θ − </i>1 = (2 cos <i>θ − </i>1)(cos <i>θ </i>+ 1);<i>dy/dθ </i>= 0 if cos <i>θ </i>= 1<i>/</i>2 or if cos <i>θ </i>= <i>−</i>1;<i>θ </i>= <i>π/</i>3 or <i>π </i>(or <i>θ </i>= <i>−π/</i>3, which leads to the minimum point).If <i>θ </i>= <i>π/</i>3<i>, π</i>, then <i>y </i>= 3</p><p><i>√</i>3<i>/</i>4<i>, </i>0 so the maximum value of <i>y </i>is 3</p><p><i>√</i>3<i>/</i>4 and the polar coordinates</p><p>of the highest point are (3<i>/</i>2<i>, π/</i>3).</p></div></div><div><div><p><b>Exercise Set 11.1 481</b></p><p><b>70. </b><i>x </i>= <i>r </i>cos <i>θ </i>= (1 + cos <i>θ</i>) cos <i>θ </i>= cos <i>θ </i>+ cos2 <i>θ</i>, <i>dx/dθ </i>= <i>− </i>sin <i>θ − </i>2 sin <i>θ </i>cos <i>θ </i>= <i>− </i>sin <i>θ</i>(1 + 2 cos <i>θ</i>),<i>dx/dθ </i>= 0 if sin <i>θ </i>= 0 or if cos <i>θ </i>= <i>−</i>1<i>/</i>2; <i>θ </i>= 0, 2<i>π/</i>3, or <i>π</i>. If <i>θ </i>= 0, 2<i>π/</i>3, <i>π</i>, then <i>x </i>= 2<i>,−</i>1<i>/</i>4<i>, </i>0so the minimum value of <i>x </i>is <i>−</i>1<i>/</i>4. The leftmost point has polar coordinates (1<i>/</i>2<i>, </i>2<i>π/</i>3).</p><p><b>71. </b>The width is twice the maximum value of <i>y </i>for 0 <i>≤ θ ≤ π/</i>4:<i>y </i>= <i>r </i>sin <i>θ </i>= sin <i>θ </i>cos 2<i>θ </i>= sin <i>θ − </i>2 sin3 <i>θ, dy/dθ </i>= cos <i>θ − </i>6 sin2 <i>θ </i>cos <i>θ </i>= 0 when cos <i>θ </i>= 0 orsin <i>θ </i>= 1<i>/</i></p><p><i>√</i>6<i>, y </i>= 1<i>/</i></p><p><i>√</i>6<i>− </i>2<i>/</i>(6</p><p><i>√</i>6) =</p><p><i>√</i>6<i>/</i>9, so the width of the petal is 2</p><p><i>√</i>6<i>/</i>9.</p><p><b>72. </b>The width is twice the maximum value of <i>y </i>for 0 <i>≤ θ ≤ π/</i>4. To simplify the algebra, maximize<i>u </i>= <i>y</i>2 = <i>r</i>2 sin2 <i>θ </i>= cos(2<i>θ</i>) sin2 <i>θ </i>= (1<i>− </i>2 sin2 <i>θ</i>) sin2 <i>θ</i>, then<i>du</i></p><p><i>dθ</i>= (2 sin <i>θ − </i>8 sin3 <i>θ</i>) cos <i>θ </i>= 0 when sin2 <i>θ </i>= 1<i>/</i>4<i>, </i>sin <i>θ </i>= 1<i>/</i>2<i>, θ </i>= <i>π/</i>6, and</p><p><i>u </i>= cos(2<i>θ</i>) sin2 <i>θ </i>= 1<i>/</i>8<i>, </i>width = 2<i>y </i>=<i>√</i>2<i>/</i>2.</p><p><b>73. (a) </b>Let (<i>x</i>1<i>, y</i>1) and (<i>x</i>2<i>, y</i>2) be the rectangular coordinates of the points (<i>r</i>1<i>, θ</i>1) and (<i>r</i>2<i>, θ</i>2) then</p><p><i>d</i>=√(<i>x</i>2 <i>− x</i>1)2 + (<i>y</i>2 <i>− y</i>1)2 =</p><p>√(<i>r</i>2 cos <i>θ</i>2 <i>− r</i>1 cos <i>θ</i>1)2 + (<i>r</i>2 sin <i>θ</i>2 <i>− r</i>1 sin <i>θ</i>1)2</p><p>=√<i>r</i>21 + <i>r</i></p><p>22 <i>− </i>2<i>r</i>1<i>r</i>2(cos <i>θ</i>1 cos <i>θ</i>2 + sin <i>θ</i>1 sin <i>θ</i>2) =</p><p>√<i>r</i>21 + <i>r</i></p><p>22 <i>− </i>2<i>r</i>1<i>r</i>2 cos(<i>θ</i>1 <i>− θ</i>2)<i>.</i></p><p>An alternate proof follows directly from the Law of Cosines.</p><p><b>(b) </b>Let <i>P </i>and <i>Q </i>have polar coordinates (<i>r</i>1<i>, θ</i>1)<i>, </i>(<i>r</i>2<i>, θ</i>2), respectively, then the perpendicularfrom <i>OQ </i>to <i>OP </i>has length <i>h </i>= <i>r</i>2 sin(<i>θ</i>2 <i>− θ</i>1) and <i>A </i>= 12<i>hr</i>1 = 12<i>r</i>1<i>r</i>2 sin(<i>θ</i>2 <i>− θ</i>1).</p><p><b>(c) </b>From Part (a), <i>d </i>=√9 + 4<i>− </i>2 <i>· </i>3 <i>· </i>2 cos(<i>π/</i>6<i>− π/</i>3) =</p><p>√13<i>− </i>6</p><p><i>√</i>3 <i>≈ </i>1<i>.</i>615</p><p><b>(d) </b><i>A </i>=122 sin(5<i>π/</i>6<i>− π/</i>3) = 1</p><p><b>74. </b>The tips occur when <i>θ </i>= 0<i>, π/</i>2<i>, π, </i>3<i>π/</i>2 for which <i>r </i>= 1:<i>d </i>=</p><p>√12 + 12 <i>− </i>2(1)(1) cos(<i>±π/</i>2) =</p><p><i>√</i>2. Geometrically, find the distance between, e.g., the points</p><p>(0<i>, </i>1) and (1<i>, </i>0).</p><p><b>75. </b>The tips are located at <i>r </i>= 1<i>, θ </i>= <i>π/</i>6<i>, </i>5<i>π/</i>6<i>, </i>3<i>π/</i>2 and, for example,</p><p><i>d </i>=√1 + 1<i>− </i>2 cos(5<i>π/</i>6<i>− π/</i>6) =</p><p>√2(1<i>− </i>cos(2<i>π/</i>3)) =</p><p><i>√</i>3</p><p><b>76. (a) </b>0 = (<i>r</i>2 + <i>a</i>2)2 <i>− a</i>4 <i>− </i>4<i>a</i>2<i>r</i>2 cos2 <i>θ </i>= <i>r</i>4 + <i>a</i>4 + 2<i>r</i>2<i>a</i>2 <i>− a</i>4 <i>− </i>4<i>a</i>2<i>r</i>2 cos2 <i>θ</i>= <i>r</i>4 + 2<i>r</i>2<i>a</i>2 <i>− </i>4<i>a</i>2<i>r</i>2 cos2 <i>θ, </i>so <i>r</i>2 = 2<i>a</i>2(2 cos2 <i>θ − </i>1) = 2<i>a</i>2 cos 2<i>θ.</i></p><p><b>(b) </b>The distance from the point (<i>r, θ</i>) to (<i>a, </i>0) is (from Exercise 73(a))√<i>r</i>2 + <i>a</i>2 <i>− </i>2<i>ra </i>cos(<i>θ − </i>0) =</p><p><i>√r</i>2 <i>− </i>2<i>ar </i>cos <i>θ </i>+ <i>a</i>2, and to the point (<i>a, π</i>) is√</p><p><i>r</i>2 + <i>a</i>2 <i>− </i>2<i>ra </i>cos(<i>θ − π</i>) =<i>√r</i>2 + 2<i>ar </i>cos <i>θ </i>+ <i>a</i>2, and their product is√</p><p>(<i>r</i>2 + <i>a</i>2)2 <i>− </i>4<i>a</i>2<i>r</i>2 cos2 <i>θ </i>=√<i>r</i>4 + <i>a</i>4 + 2<i>a</i>2<i>r</i>2(1<i>− </i>2 cos2 <i>θ</i>)</p><p>=√4<i>a</i>4 cos2 2<i>θ </i>+ <i>a</i>4 + 2<i>a</i>2(2<i>a</i>2 cos 2<i>θ</i>)(<i>− </i>cos 2<i>θ</i>) = <i>a</i>2</p><p><b>77. </b>lim<i>θ→</i>0+</p><p><i>y </i>= lim<i>θ→</i>0+</p><p><i>r </i>sin <i>θ </i>= lim<i>θ→</i>0+</p><p>sin <i>θθ</i></p><p>= 1, and lim<i>θ→</i>0+</p><p><i>x </i>= lim<i>θ→</i>0+</p><p><i>r </i>cos <i>θ </i>= lim<i>θ→</i>0+</p><p>cos <i>θθ</i></p><p>= +<i>∞</i>.</p><p>1</p><p>–1</p><p>–1 2</p></div></div><div><div><p><b>482 Chapter 11</b></p><p><b>78. </b>lim<i>θ→</i>0<i>±</i></p><p><i>y </i>= lim<i>θ→</i>0<i>±</i></p><p><i>r </i>sin <i>θ </i>= lim<i>θ→</i>0<i>±</i></p><p>sin <i>θθ</i>2</p><p>= lim<i>θ→</i>0<i>±</i></p><p>sin <i>θθ</i></p><p>lim<i>θ→</i>0<i>±</i></p><p>1<i>θ</i>= 1 <i>· </i>lim</p><p><i>θ→</i>0<i>±</i>1<i>θ</i>, so lim</p><p><i>θ→</i>0<i>±y </i>does not exist.</p><p><b>79. </b>Note that <i>r → ±∞ </i>as <i>θ </i>approaches odd multiples of <i>π/</i>2;<i>x </i>= <i>r </i>cos <i>θ </i>= 4 tan <i>θ </i>cos <i>θ </i>= 4 sin <i>θ</i>,<i>y </i>= <i>r </i>sin <i>θ </i>= 4 tan <i>θ </i>sin <i>θ</i>so <i>x → ±</i>4 and <i>y → ±∞ </i>as <i>θ </i>approachesodd multiples of <i>π/</i>2<i>. </i>4–4</p><p><i>u</i></p><p><i>r</i></p><p><b>80. </b>lim<i>θ→</i>(<i>π/</i>2)<i>−</i></p><p><i>x </i>= lim<i>θ→</i>(<i>π/</i>2)<i>−</i></p><p><i>r </i>cos <i>θ </i>= lim<i>θ→</i>(<i>π/</i>2)<i>−</i></p><p>2 sin2 <i>θ </i>= 2<i>, </i>and lim<i>θ→</i>(<i>π/</i>2)<i>−</i></p><p><i>y </i>= +<i>∞</i>,</p><p>so <i>x </i>= 2 is a vertical asymptote.</p><p><b>81. </b>Let <i>r </i>= <i>a </i>sin<i>nθ </i>(the proof for <i>r </i>= <i>a </i>cos<i>nθ </i>is similar). If <i>θ </i>starts at 0, then <i>θ </i>would have to increaseby some positive integer multiple of <i>π </i>radians in order to reach the starting point and begin toretrace the curve. Let (<i>r, θ</i>) be the coordinates of a point <i>P </i>on the curve for 0 <i>≤ θ < </i>2<i>π</i>. Now<i>a </i>sin<i>n</i>(<i>θ </i>+ 2<i>π</i>) = <i>a </i>sin(<i>nθ </i>+ 2<i>πn</i>) = <i>a </i>sin<i>nθ </i>= <i>r </i>so <i>P </i>is reached again with coordinates (<i>r, θ </i>+ 2<i>π</i>)thus the curve is traced out either exactly once or exactly twice for 0 <i>≤ θ < </i>2<i>π</i>. If for 0 <i>≤ θ < π</i>,<i>P </i>(<i>r, θ</i>) is reached again with coordinates (<i>−r, θ </i>+ <i>π</i>) then the curve is traced out exactly once for0 <i>≤ θ < π</i>, otherwise exactly once for 0 <i>≤ θ < </i>2<i>π</i>. But</p><p><i>a </i>sin<i>n</i>(<i>θ </i>+ <i>π</i>) = <i>a </i>sin(<i>nθ </i>+ <i>nπ</i>) ={</p><p><i>a </i>sin<i>nθ, n </i>even<i>−a </i>sin<i>nθ, n </i>odd</p><p>so the curve is traced out exactly once for 0 <i>≤ θ < </i>2<i>π </i>if <i>n </i>is even, and exactly once for 0 <i>≤ θ < π</i>if <i>n </i>is odd.</p><p><b>82. (b) </b>Replacing <i>θ </i>with <i>−θ </i>changes <i>r </i>= 2<i>− </i>sin(<i>θ/</i>2) into <i>r </i>= 2+sin(<i>θ/</i>2) which is not an equivalentequation. But the locus of points satisfying the first equation, when <i>θ </i>runs from 0 to 4<i>π</i>, isthe same as the locus of points satisfying the second equation when <i>θ </i>runs from 0 to 4<i>π</i>, ascan be seen under the change of variables (equivalent to reversing direction of <i>θ</i>)<i>θ → </i>4<i>π − θ</i>, for which 2 + sin(4<i>π − θ</i>) = 2<i>− </i>sin <i>θ</i>.</p><p><b>EXERCISE SET 11.2</b></p><p><b>1. (a) </b><i>dy/dx </i>=2<i>t</i>1<i>/</i>2</p><p>= 4<i>t</i>; <i>dy/dx</i>∣∣<i>t</i>=<i>−</i>1 = <i>−</i>4; <i>dy/dx</i></p><p>∣∣<i>t</i>=1 = 4</p><p><b>(b) </b><i>y </i>= (2<i>x</i>)2 + 1<i>, dy/dx </i>= 8<i>x, dy/dx</i>∣∣<i>x</i>=<i>±</i>(1<i>/</i>2) = <i>±</i>4</p><p><b>2. (a) </b><i>dy/dx </i>= (4 cos <i>t</i>)<i>/</i>(<i>−</i>3 sin <i>t</i>) = <i>−</i>(4<i>/</i>3) cot <i>t</i>; <i>dy/dx</i>∣∣<i>t</i>=<i>π/</i>4 = <i>−</i>4<i>/</i>3<i>, dy/dx</i></p><p>∣∣<i>t</i>=7<i>π/</i>4 = 4<i>/</i>3</p><p><b>(b) </b>(<i>x/</i>3)2 + (<i>y/</i>4)2 = 1<i>, </i>2<i>x/</i>9 + (2<i>y/</i>16)(<i>dy/dx</i>) = 0<i>, dy/dx </i>= <i>−</i>16<i>x/</i>9<i>y,dy/dx</i></p><p>∣∣<i>x</i>=3<i>/</i></p><p><i>√</i>2</p><p><i>y</i>=4<i>/√</i></p><p>2</p><p>= <i>−</i>4<i>/</i>3; <i>dy/dx</i>∣∣</p><p><i>x</i>=3<i>/√</i></p><p>2<i>y</i>=<i>−</i>4<i>/</i></p><p><i>√</i>2</p><p>= 4<i>/</i>3</p><p><b>3.</b><i>d</i>2<i>y</i></p><p><i>dx</i>2=</p><p><i>d</i></p><p><i>dx</i></p><p><i>dy</i></p><p><i>dx</i>=</p><p><i>d</i></p><p><i>dt</i></p><p>(<i>dy</i></p><p><i>dx</i></p><p>)<i>dt</i></p><p><i>dx</i>= <i>− </i>1</p><p>4<i>t</i>2(1<i>/</i>2<i>t</i>) = <i>−</i>1<i>/</i>(8<i>t</i>3); positive when <i>t </i>= <i>−</i>1,</p><p>negative when <i>t </i>= 1</p><p><b>4.</b><i>d</i>2<i>y</i></p><p><i>dx</i>2=</p><p><i>d</i></p><p><i>dt</i></p><p>(<i>dy</i></p><p><i>dx</i></p><p>)<i>dt</i></p><p><i>dx</i>=</p><p><i>−</i>(4<i>/</i>3)(<i>− </i>csc2 <i>t</i>)<i>−</i>3 sin <i>t </i>= <i>−</i></p><p>49csc3 <i>t</i>; negative at <i>t </i>= <i>π/</i>4, positive at <i>t </i>= 7<i>π/</i>4.</p></div></div><div><div><p><b>Exercise Set 11.2 483</b></p><p><b>5. </b><i>dy/dx </i>=2</p><p>1<i>/</i>(2<i>√t</i>)</p><p>= 4<i>√t</i>, <i>d</i>2<i>y/dx</i>2 =</p><p>2<i>/√t</i></p><p>1<i>/</i>(2<i>√t</i>)</p><p>= 4, <i>dy/dx</i>∣∣<i>t</i>=1 = 4, <i>d</i></p><p>2<i>y/dx</i>2∣∣<i>t</i>=1 = 4</p><p><b>6. </b><i>dy/dx </i>=<i>t</i>2 <i>− </i>1</p><p><i>t</i>= <i>t− </i>1</p><p><i>t</i>, <i>d</i>2<i>y/dx</i>2 =</p><p>(1 +</p><p>1<i>t</i>2</p><p>)1<i>t</i>, <i>dy/dx</i></p><p>∣∣<i>t</i>=2 = 3<i>/</i>2, <i>d</i></p><p>2<i>y/dx</i>2∣∣<i>t</i>=2 = 3<i>/</i>8</p><p><b>7. </b><i>dy/dx </i>=sec2 <i>t</i></p><p>sec <i>t </i>tan <i>t</i>= csc <i>t</i>, <i>d</i>2<i>y/dx</i>2 =</p><p><i>− </i>csc <i>t </i>cot <i>t</i>sec <i>t </i>tan <i>t</i></p><p>= <i>− </i>cot3 <i>t</i>,</p><p><i>dy/dx</i>∣∣<i>t</i>=<i>π/</i>3 = 2<i>/</i></p><p><i>√</i>3, <i>d</i>2<i>y/dx</i>2</p><p>∣∣<i>t</i>=<i>π/</i>3 = <i>−</i>1<i>/</i>(3</p><p><i>√</i>3)</p><p><b>8. </b><i>dy/dx </i>=sinh <i>t</i>cosh <i>t</i></p><p>= tanh <i>t</i>,<i>d</i>2<i>y</i></p><p><i>dx</i>2= sech2<i>t/ </i>cosh <i>t </i>= sech3<i>t</i>, <i>dy/dx</i></p><p>∣∣<i>t</i>=0 = 0<i>, d</i></p><p>2<i>y/dx</i>2∣∣<i>t</i>=0 = 1</p><p><b>9.</b><i>dy</i></p><p><i>dx</i>=</p><p><i>dy/dθ</i></p><p><i>dx/dθ</i>=</p><p>cos <i>θ</i>1<i>− </i>sin <i>θ </i>;</p><p><i>d</i>2<i>y</i></p><p><i>dx</i>2=</p><p><i>d</i></p><p><i>dθ</i></p><p>(<i>dy</i></p><p><i>dx</i></p><p>)/<i>dx</i></p><p><i>dθ</i>=</p><p>(1<i>− </i>sin <i>θ</i>)(<i>− </i>sin <i>θ</i>) + cos2 <i>θ</i>(1<i>− </i>sin <i>θ</i>)2</p><p>11<i>− </i>sin <i>θ </i>=</p><p>1(1<i>− </i>sin <i>θ</i>)2 ;</p><p><i>dy</i></p><p><i>dx</i></p><p>∣∣∣<i>θ</i>=<i>π/</i>6</p><p>=<i>√</i>3<i>/</i>2</p><p>1<i>− </i>1<i>/</i>2 =<i>√</i>3;</p><p><i>d</i>2<i>y</i></p><p><i>dx</i>2</p><p>∣∣∣<i>θ</i>=<i>π/</i>6</p><p>=1</p><p>(1<i>− </i>1<i>/</i>2)2 = 4</p><p><b>10.</b><i>dy</i></p><p><i>dx</i>=</p><p>3 cos<i>φ− </i>sin<i>φ </i>= <i>−</i>3 cot<i>φ</i>;</p><p><i>d</i>2<i>y</i></p><p><i>dx</i>2=</p><p><i>d</i></p><p><i>dφ</i>(<i>−</i>3 cot<i>φ</i>)<i>dφ</i></p><p><i>dx</i>= <i>−</i>3(<i>− </i>csc2 <i>φ</i>)(<i>− </i>csc<i>φ</i>) = <i>−</i>3 csc3 <i>φ</i>;</p><p><i>dy</i></p><p><i>dx</i></p><p>∣∣∣∣<i>φ</i>=5<i>π/</i>6</p><p>= 3<i>√</i>3;</p><p><i>d</i>2<i>y</i></p><p><i>dx</i>2</p><p>∣∣∣∣<i>φ</i>=5<i>π/</i>6</p><p>= <i>−</i>24</p><p><b>11. (a) </b><i>dy/dx </i>=<i>−e−tet</i></p><p>= <i>−e−</i>2<i>t</i>; for <i>t </i>= 1, <i>dy/dx </i>= <i>−e−</i>2, (<i>x, y</i>) = (<i>e, e−</i>1); <i>y − e−</i>1 = <i>−e−</i>2(<i>x− e</i>),<i>y </i>= <i>−e−</i>2<i>x</i>+ 2<i>e−</i>1</p><p><b>(b) </b><i>y </i>= 1<i>/x, dy/dx </i>= <i>−</i>1<i>/x</i>2<i>,m </i>= <i>−</i>1<i>/e</i>2<i>, y − e−</i>1 = <i>− </i>1<i>e</i>2</p><p>(<i>x− e</i>)<i>, y </i>= <i>− </i>1<i>e</i>2</p><p><i>x</i>+2<i>e</i></p><p><b>12. </b><i>dy/dx </i>=16<i>t− </i>2</p><p>2= 8<i>t− </i>1; for <i>t </i>= 1, <i>dy/dx </i>= 7, (<i>x, y</i>) = (6<i>, </i>10); <i>y − </i>10 = 7(<i>x− </i>6), <i>y </i>= 7<i>x− </i>32</p><p><b>13. </b><i>dy/dx </i>=<i>−</i>4 sin <i>t</i>2 cos <i>t</i></p><p>= <i>−</i>2 tan <i>t</i></p><p><b>(a) </b><i>dy/dx </i>= 0 if tan <i>t </i>= 0, <i>t </i>= <i>nπ </i>for <i>n </i>= 0<i>,±</i>1<i>, · · ·</i></p><p><b>(b) </b><i>dx/dy </i>= <i>−</i>12cot <i>t </i>= 0 if cot <i>t </i>= 0, <i>t </i>= <i>π/</i>2 + <i>nπ </i>for <i>n </i>= 0<i>,±</i>1<i>, · · ·</i></p><p><b>14. </b><i>dy/dx </i>=2<i>t</i>+ 1</p><p>6<i>t</i>2 <i>− </i>30<i>t</i>+ 24 =2<i>t</i>+ 1</p><p>6(<i>t− </i>1)(<i>t− </i>4)<b>(a) </b><i>dy/dx </i>= 0 if <i>t </i>= <i>−</i>1<i>/</i>2</p><p><b>(b) </b><i>dx/dy </i>=6(<i>t− </i>1)(<i>t− </i>4)</p><p>2<i>t</i>+ 1= 0 if <i>t </i>= 1<i>, </i>4</p><p><b>15. </b><i>x </i>= <i>y </i>= 0 when <i>t </i>= 0<i>, π</i>;<i>dy</i></p><p><i>dx</i>=</p><p>2 cos 2<i>t</i>cos <i>t</i></p><p>;<i>dy</i></p><p><i>dx</i></p><p>∣∣∣∣<i>t</i>=0</p><p>= 2<i>,dy</i></p><p><i>dx</i></p><p>∣∣∣∣<i>t</i>=<i>π</i></p><p>= <i>−</i>2<i>, </i>the equations of the tangentlines are <i>y </i>= <i>−</i>2<i>x, y </i>= 2<i>x</i>.</p></div></div><div><div><p><b>484 Chapter 11</b></p><p><b>16. </b><i>y</i>(<i>t</i>) = 0 has three solutions, <i>t </i>= 0<i>,±π/</i>2; the last two correspond to the crossing point.For <i>t </i>= <i>±π/</i>2, <i>m </i>= <i>dy</i></p><p><i>dx</i>=</p><p>2<i>±π </i>; the tangent lines are given by <i>y </i>= <i>±</i></p><p>2<i>π</i>(<i>x− </i>2).</p><p><b>17. </b>If <i>x </i>= 4 then <i>t</i>2 = 4, <i>t </i>= <i>±</i>2, <i>y </i>= 0 for <i>t </i>= <i>±</i>2 so (4<i>, </i>0) is reached when <i>t </i>= <i>±</i>2.<i>dy/dx </i>= (3<i>t</i>2 <i>− </i>4)<i>/</i>2<i>t</i>. For <i>t </i>= 2, <i>dy/dx </i>= 2 and for <i>t </i>= <i>−</i>2, <i>dy/dx </i>= <i>−</i>2.The tangent lines are <i>y </i>= <i>±</i>2(<i>x− </i>4).</p><p><b>18. </b>If <i>x </i>= 3 then <i>t</i>2 <i>− </i>3<i>t </i>+ 5 = 3, <i>t</i>2 <i>− </i>3<i>t </i>+ 2 = 0, (<i>t − </i>1)(<i>t − </i>2) = 0, <i>t </i>= 1 or 2. If <i>t </i>= 1 or 2 then<i>y </i>= 1 so (3<i>, </i>1) is reached when <i>t </i>= 1 or 2. <i>dy/dx </i>= (3<i>t</i>2 +2<i>t− </i>10)<i>/</i>(2<i>t− </i>3). For <i>t </i>= 1, <i>dy/dx </i>= 5,the tangent line is <i>y − </i>1 = 5(<i>x − </i>3), <i>y </i>= 5<i>x − </i>14. For <i>t </i>= 2, <i>dy/dx </i>= 6, the tangent line is<i>y − </i>1 = 6(<i>x− </i>3), <i>y </i>= 6<i>x− </i>17.</p><p><b>19. (a) </b>1</p><p>–1</p><p>–1 1</p><p><b>(b)</b><i>dx</i></p><p><i>dt</i>= <i>−</i>3 cos2 <i>t </i>sin <i>t </i>and <i>dy</i></p><p><i>dt</i>= 3 sin2 <i>t </i>cos <i>t </i>are both zero when <i>t </i>= 0<i>, π/</i>2<i>, π, </i>3<i>π/</i>2<i>, </i>2<i>π</i>,</p><p>so singular points occur at these values of <i>t</i>.</p><p><b>20. (a) </b>when <i>y </i>= 0</p><p><b>(b)</b><i>dx</i></p><p><i>dy</i>=</p><p><i>a− a </i>cos <i>θa </i>sin <i>θ</i></p><p>= 0 when <i>θ </i>= 2<i>nπ, n </i>= 0<i>, </i>1<i>, . . . </i>(which is when <i>y </i>= 0).</p><p><b>21. </b>Substitute <i>θ </i>= <i>π/</i>6, <i>r </i>= 1, and <i>dr/dθ </i>=<i>√</i>3 in equation (7) gives slope <i>m </i>=</p><p><i>√</i>3.</p><p><b>22. </b>As in Exercise 21, <i>θ </i>= <i>π/</i>2, <i>dr/dθ </i>= <i>−</i>1, <i>r </i>= 1, <i>m </i>= 1</p><p><b>23. </b>As in Exercise 21, <i>θ </i>= 2, <i>dr/dθ </i>= <i>−</i>1<i>/</i>4, <i>r </i>= 1<i>/</i>2, <i>m </i>= tan 2<i>− </i>22 tan 2 + 1</p><p><b>24. </b>As in Exercise 21, <i>θ </i>= <i>π/</i>6, <i>dr/dθ </i>= 4<i>√</i>3<i>a</i>, <i>r </i>= 2<i>a</i>, <i>m </i>= 3</p><p><i>√</i>3<i>/</i>5</p><p><b>25. </b>As in Exercise 21, <i>θ </i>= <i>π/</i>4, <i>dr/dθ </i>= <i>−</i>3<i>√</i>2<i>/</i>2, <i>r </i>=</p><p><i>√</i>2<i>/</i>2, <i>m </i>= 1<i>/</i>2</p><p><b>26. </b>As in Exercise 21, <i>θ </i>= <i>π</i>, <i>dr/dθ </i>= 3, <i>r </i>= 4, <i>m </i>= 4<i>/</i>3</p><p><b>27. </b><i>m </i>=<i>dy</i></p><p><i>dx</i>=</p><p><i>r </i>cos <i>θ </i>+ (sin <i>θ</i>)(<i>dr/dθ</i>)<i>−r </i>sin <i>θ </i>+ (cos <i>θ</i>)(<i>dr/dθ</i>) =</p><p>cos <i>θ </i>+ 2 sin <i>θ </i>cos <i>θ− </i>sin <i>θ </i>+ cos2 <i>θ − </i>sin2 <i>θ </i>; if <i>θ </i>= 0<i>, π/</i>2<i>, π</i>,</p><p>then <i>m </i>= 1<i>, </i>0<i>,−</i>1<i>.</i></p><p><b>28. </b><i>m </i>=<i>dy</i></p><p><i>dx</i>=</p><p>cos <i>θ</i>(4 sin <i>θ − </i>1)4 cos2 <i>θ </i>+ sin <i>θ − </i>2 ; if <i>θ </i>= 0<i>, π/</i>2<i>, π </i>then <i>m </i>= <i>−</i>1<i>/</i>2<i>, </i>0<i>, </i>1<i>/</i>2<i>.</i></p></div></div><div><div><p><b>Exercise Set 11.2 485</b></p><p><b>29. </b><i>dx/dθ </i>= <i>−a </i>sin <i>θ</i>(1 + 2 cos <i>θ</i>), <i>dy/dθ </i>= <i>a</i>(2 cos <i>θ − </i>1)(cos <i>θ </i>+ 1)<b>(a) </b>horizontal if <i>dy/dθ </i>= 0 and <i>dx/dθ </i>= 0. <i>dy/dθ </i>= 0 when cos <i>θ </i>= 1<i>/</i>2 or cos <i>θ </i>= <i>−</i>1 so <i>θ </i>= <i>π/</i>3,</p><p>5<i>π/</i>3, or <i>π</i>; <i>dx/dθ </i>= 0 for <i>θ </i>= <i>π/</i>3 and 5<i>π/</i>3. For the singular point <i>θ </i>= <i>π </i>we find thatlim<i>θ→π</i></p><p><i>dy/dx </i>= 0. There is a horizontal tangent line at (3<i>a/</i>2<i>, π/</i>3)<i>, </i>(0<i>, π</i>), and (3<i>a/</i>2<i>, </i>5<i>π/</i>3).</p><p><b>(b) </b>vertical if <i>dy/dθ </i>= 0 and <i>dx/dθ </i>= 0. <i>dx/dθ </i>= 0 when sin <i>θ </i>= 0 or cos <i>θ </i>= <i>−</i>1<i>/</i>2 so <i>θ </i>= 0, <i>π</i>,2<i>π/</i>3, or 4<i>π/</i>3; <i>dy/dθ </i>= 0 for <i>θ </i>= 0, 2<i>π/</i>3, and 4<i>π/</i>3. The singular point <i>θ </i>= <i>π </i>was discussedin Part (a). There is a vertical tangent line at (2<i>a, </i>0)<i>, </i>(<i>a/</i>2<i>, </i>2<i>π/</i>3), and (<i>a/</i>2<i>, </i>4<i>π/</i>3)<i>.</i></p><p><b>30. </b><i>dx/dθ </i>= <i>a</i>(cos2 <i>θ − </i>sin2 <i>θ</i>) = <i>a </i>cos 2<i>θ, dy/dθ </i>= 2<i>a </i>sin <i>θ </i>cos <i>θ </i>= <i>a </i>sin 2<i>θ<b></b></i><b>(a) </b>horizontal if <i>dy/dθ </i>= 0 and <i>dx/dθ </i>= 0. <i>dy/dθ </i>= 0 when <i>θ </i>= 0<i>, π/</i>2<i>, π, </i>3<i>π/</i>2;</p><p><i>dx/dθ </i>= 0 for (0<i>, </i>0)<i>, </i>(<i>a, π/</i>2)<i>, </i>(0<i>, π</i>)<i>, </i>(<i>−a, </i>3<i>π/</i>2); in reality only two distinct points<b>(b) </b>vertical if <i>dy/dθ </i>= 0 and <i>dx/dθ </i>= 0. <i>dx/dθ </i>= 0 when <i>θ </i>= <i>π/</i>4<i>, </i>3<i>π/</i>4<i>, </i>5<i>π/</i>4<i>, </i>7<i>π/</i>4; <i>dy/dθ </i>= 0</p><p>there, so vertical tangent line at (<i>a/√</i>2<i>, π/</i>4)<i>, </i>(<i>a/</i></p><p><i>√</i>2<i>, </i>3<i>π/</i>4)<i>, </i>(<i>−a/</i></p><p><i>√</i>2<i>, </i>5<i>π/</i>4)<i>, </i>(<i>−a/</i></p><p><i>√</i>2<i>, </i>7<i>π/</i>4),</p><p>only two distinct points</p><p><b>31. </b><i>dy/dθ </i>= (<i>d/dθ</i>)(sin2 <i>θ </i>cos2 <i>θ</i>) = (sin 4<i>θ</i>)<i>/</i>2 = 0 at <i>θ </i>= 0<i>, π/</i>4<i>, π/</i>2<i>, </i>3<i>π/</i>4<i>, π</i>; at the same points,</p><p><i>dx/dθ </i>= (<i>d/dθ</i>)(sin <i>θ </i>cos3 <i>θ</i>) = cos2 <i>θ</i>(4 cos2 <i>θ− </i>3). Next, <i>dxdθ</i></p><p>= 0 at <i>θ </i>= <i>π/</i>2, a singular point; and<i>θ </i>= 0<i>, π </i>both give the same point, so there are just three points with a horizontal tangent.</p><p><b>32. </b><i>dx/dθ </i>= 4 sin2 <i>θ − </i>sin <i>θ − </i>2, <i>dy/dθ </i>= cos <i>θ</i>(1<i>− </i>4 sin <i>θ</i>). <i>dy/dθ </i>= 0 when cos <i>θ </i>= 0 or sin <i>θ </i>= 1<i>/</i>4 so<i>θ </i>= <i>π/</i>2, 3<i>π/</i>2, sin<i>−</i>1(1<i>/</i>4), or <i>π − </i>sin<i>−</i>1(1<i>/</i>4); <i>dx/dθ </i>= 0 at these points, so there is a horizontaltangent at each one.</p><p><b>33.</b></p><p>0</p><p>c/2</p><p>2</p><p><i>θ</i>0 = <i>π/</i>6<i>, π/</i>2<i>, </i>5<i>π/</i>6,<i>y </i>= <i>±x/</i></p><p><i>√</i>3<i>, x </i>= 0</p><p><b>34.</b></p><p>0</p><p>c/24</p><p><i>θ</i>0 = 0<i>, y </i>= 0</p><p><b>35.</b></p><p>0</p><p>c/2</p><p>4</p><p><i>θ</i>0 = <i>±π/</i>4<i>, y </i>= <i>±x</i></p><p><b>36.</b></p><p>0</p><p>c/2</p><p><i>θ</i>0 = 0<i>, π/</i>2<i>, x </i>= 0<i>, y </i>= 0</p><p><b>37.</b></p><p>0</p><p>c/2</p><p>3</p><p><i>θ</i>0 = 2<i>π/</i>3<i>, </i>4<i>π/</i>3<i>, y </i>= <i>±√</i>3<i>x</i></p><p><b>38.</b></p><p>0</p><p>c/2</p><p><i>θ</i>0 = 0<i>, y </i>= 0</p></div></div><div><div><p><b>486 Chapter 11</b></p><p><b>39. </b><i>r</i>2 + (<i>dr/dθ</i>)2 = <i>a</i>2 + 02 = <i>a</i>2, <i>L </i>=∫ 2<i>π</i>0</p><p><i>adθ </i>= 2<i>πa</i></p><p><b>40. </b><i>r</i>2 + (<i>dr/dθ</i>)2 = (2<i>a </i>cos <i>θ</i>)2 + (<i>−</i>2<i>a </i>sin <i>θ</i>)2 = 4<i>a</i>2, <i>L </i>=∫ <i>π/</i>2<i>−π/</i>2</p><p>2<i>adθ </i>= 2<i>πa</i></p><p><b>41. </b><i>r</i>2 + (<i>dr/dθ</i>)2 = [<i>a</i>(1<i>− </i>cos <i>θ</i>)]2 + [<i>a </i>sin <i>θ</i>]2 = 4<i>a</i>2 sin2(<i>θ/</i>2), <i>L </i>= 2∫ <i>π</i>0</p><p>2<i>a </i>sin(<i>θ/</i>2)<i>dθ </i>= 8<i>a</i></p><p><b>42. </b><i>r</i>2 + (<i>dr/dθ</i>)2 = [sin2(<i>θ/</i>2)]2 + [sin(<i>θ/</i>2) cos(<i>θ/</i>2)]2 = sin2(<i>θ/</i>2), <i>L </i>=∫ <i>π</i>0</p><p>sin(<i>θ/</i>2)<i>dθ </i>= 2</p><p><b>43. </b><i>r</i>2 + (<i>dr/dθ</i>)2 = (<i>e</i>3<i>θ</i>)2 + (3<i>e</i>3<i>θ</i>)2 = 10<i>e</i>6<i>θ</i>, <i>L </i>=∫ 20</p><p><i>√</i>10<i>e</i>3<i>θdθ </i>=</p><p><i>√</i>10(<i>e</i>6 <i>− </i>1)<i>/</i>3</p><p><b>44. </b><i>r</i>2 + (<i>dr/dθ</i>)2 = [sin3(<i>θ/</i>3)]2 + [sin2(<i>θ/</i>3) cos(<i>θ/</i>3)]2 = sin4(<i>θ/</i>3),</p><p><i>L </i>=∫ <i>π/</i>20</p><p>sin2(<i>θ/</i>3)<i>dθ </i>= (2<i>π − </i>3<i>√</i>3)<i>/</i>8</p><p><b>45. (a) </b>From (3),<i>dy</i></p><p><i>dx</i>=</p><p>3 sin <i>t</i>1<i>− </i>3 cos <i>t</i></p><p><b>(b) </b>At <i>t </i>= 10<i>,dy</i></p><p><i>dx</i>=</p><p>3 sin 101<i>− </i>3 cos 10 <i>≈ −</i>0<i>.</i>46402<i>, θ ≈ </i>tan</p><p><i>−</i>1(<i>−</i>0<i>.</i>46402) = <i>−</i>0<i>.</i>4345</p><p><b>46. (a)</b><i>dy</i></p><p><i>dx</i>= 0 when</p><p><i>dy</i></p><p><i>dt</i>= <i>−</i>2 cos <i>t </i>= 0<i>, t </i>= <i>π/</i>2<i>, </i>3<i>π/</i>2<i>, </i>5<i>π/</i>2</p><p><b>(b)</b><i>dx</i></p><p><i>dt</i>= 0 when 1 + 2 sin <i>t </i>= 0<i>, </i>sin <i>t </i>= <i>−</i>1<i>/</i>2<i>, t </i>= 7<i>π/</i>6<i>, </i>11<i>π/</i>6<i>, </i>19<i>π/</i>6</p><p><b>47. (a) </b><i>r</i>2 + (<i>dr/dθ</i>)2 = (cos<i>nθ</i>)2 + (<i>−n </i>sin<i>nθ</i>)2 = cos2 <i>nθ </i>+ <i>n</i>2 sin2 <i>nθ</i>= (1<i>− </i>sin2 <i>nθ</i>) + <i>n</i>2 sin2 <i>nθ </i>= 1 + (<i>n</i>2 <i>− </i>1) sin2 <i>nθ,</i></p><p><i>L </i>= 2∫ <i>π/</i>(2<i>n</i>)0</p><p>√1 + (<i>n</i>2 <i>− </i>1) sin2 <i>nθdθ</i></p><p><b>(b) </b><i>L </i>= 2∫ <i>π/</i>40</p><p>√1 + 3 sin2 2<i>θdθ ≈ </i>2<i>.</i>42</p><p><b>(c) </b><i>nL</i></p><p>22.42211</p><p>32.22748</p><p>42.14461</p><p>52.10100</p><p>62.07501</p><p>72.05816</p><p>82.04656</p><p>92.03821</p><p>102.03199</p><p>112.02721</p><p><i>nL</i></p><p>122.02346</p><p>132.02046</p><p>142.01802</p><p>152.01600</p><p>162.01431</p><p>172.01288</p><p>182.01167</p><p>192.01062</p><p>202.00971</p><p><b>48. (a)</b></p><p>0</p><p>c/2 <b>(b) </b><i>r</i>2 + (<i>dr/dθ</i>)2 = (<i>e−θ</i>)2 + (<i>−e−θ</i>)2 = 2<i>e−</i>2<i>θ</i>,</p><p><i>L </i>= 2∫ +<i>∞</i>0</p><p><i>e−</i>2<i>θdθ</i></p><p><b>(c) </b><i>L </i>= lim<i>θ</i>0<i>→</i>+<i>∞</i></p><p>2∫ <i>θ</i>00</p><p><i>e−</i>2<i>θdθ </i>= lim<i>θ</i>0<i>→</i>+<i>∞</i></p><p>(1<i>− e−</i>2<i>θ</i>0) = 1</p></div></div><div><div><p><b>Exercise Set 11.2 487</b></p><p><b>49. </b><i>x′ </i>= 2<i>t</i>, <i>y′ </i>= 3, (<i>x′</i>)2 + (<i>y′</i>)2 = 4<i>t</i>2 + 9</p><p><i>S </i>= 2<i>π</i>∫ 20(3<i>t</i>)</p><p>√4<i>t</i>2 + 9<i>dt </i>= 6<i>π</i></p><p>∫ 40</p><p><i>t</i>√4<i>t</i>2 + 9<i>dt </i>=</p><p><i>π</i></p><p>2(4<i>t</i>2 + 9)3<i>/</i>2</p><p>]20=</p><p><i>π</i></p><p>2(125<i>− </i>27) = 49<i>π</i></p><p><b>50. </b><i>x′ </i>= <i>et</i>(cos <i>t− </i>sin <i>t</i>), <i>y′ </i>= <i>et</i>(cos <i>t</i>+ sin <i>t</i>), (<i>x′</i>)2 + (<i>y′</i>)2 = 2<i>e</i>2<i>t</i></p><p><i>S </i>= 2<i>π</i>∫ <i>π/</i>20</p><p>(<i>et </i>sin <i>t</i>)<i>√</i>2<i>e</i>2<i>tdt </i>= 2</p><p><i>√</i>2<i>π</i>∫ <i>π/</i>20</p><p><i>e</i>2<i>t </i>sin <i>t dt</i></p><p>= 2<i>√</i>2<i>π</i>[15<i>e</i>2<i>t</i>(2 sin <i>t− </i>cos <i>t</i>)</p><p>]<i>π/</i>20</p><p>=2<i>√</i>2</p><p>5<i>π</i>(2<i>eπ </i>+ 1)</p><p><b>51. </b><i>x′ </i>= <i>−</i>2 sin <i>t </i>cos <i>t</i>, <i>y′ </i>= 2 sin <i>t </i>cos <i>t</i>, (<i>x′</i>)2 + (<i>y′</i>)2 = 8 sin2 <i>t </i>cos2 <i>t</i></p><p><i>S </i>= 2<i>π</i>∫ <i>π/</i>20</p><p>cos2 <i>t</i>√8 sin2 <i>t </i>cos2 <i>t dt </i>= 4</p><p><i>√</i>2<i>π</i>∫ <i>π/</i>20</p><p>cos3 <i>t </i>sin <i>t dt </i>= <i>−√</i>2<i>π </i>cos4 <i>t</i></p><p>]<i>π/</i>20</p><p>=<i>√</i>2<i>π</i></p><p><b>52. </b><i>x′ </i>= 6, <i>y′ </i>= 8<i>t</i>, (<i>x′</i>)2 + (<i>y′</i>)2 = 36 + 64<i>t</i>2, <i>S </i>= 2<i>π</i>∫ 10</p><p>6<i>t</i>√36 + 64<i>t</i>2 <i>dt </i>= 49<i>π</i></p><p><b>53. </b><i>x′ </i>= <i>−r </i>sin <i>t</i>, <i>y′ </i>= <i>r </i>cos <i>t</i>, (<i>x′</i>)2 + (<i>y′</i>)2 = <i>r</i>2, <i>S </i>= 2<i>π</i>∫ <i>π</i>0</p><p><i>r </i>sin <i>t√r</i>2 <i>dt </i>= 2<i>πr</i>2</p><p>∫ <i>π</i>0</p><p>sin <i>t dt </i>= 4<i>πr</i>2</p><p><b>54.</b><i>dx</i></p><p><i>dφ</i>= <i>a</i>(1<i>− </i>cos<i>φ</i>), <i>dy</i></p><p><i>dφ</i>= <i>a </i>sin<i>φ</i>,</p><p>(<i>dx</i></p><p><i>dφ</i></p><p>)2+(<i>dy</i></p><p><i>dφ</i></p><p>)2= 2<i>a</i>2(1<i>− </i>cos<i>φ</i>)</p><p><i>S </i>= 2<i>π</i>∫ 2<i>π</i>0</p><p><i>a</i>(1<i>− </i>cos<i>φ</i>)√2<i>a</i>2(1<i>− </i>cos<i>φ</i>) <i>dφ </i>= 2</p><p><i>√</i>2<i>πa</i>2</p><p>∫ 2<i>π</i>0</p><p>(1<i>− </i>cos<i>φ</i>)3<i>/</i>2<i>dφ,</i></p><p>but 1<i>− </i>cos<i>φ </i>= 2 sin2 <i>φ</i>2so (1<i>− </i>cos<i>φ</i>)3<i>/</i>2 = 2</p><p><i>√</i>2 sin3</p><p><i>φ</i></p><p>2for 0 <i>≤ φ ≤ π </i>and, taking advantage of the</p><p>symmetry of the cycloid, <i>S </i>= 16<i>πa</i>2∫ <i>π</i>0</p><p>sin3<i>φ</i></p><p>2<i>dφ </i>= 64<i>πa</i>2<i>/</i>3</p><p><b>55. (a)</b><i>dr</i></p><p><i>dt</i>= 2 and</p><p><i>dθ</i></p><p><i>dt</i>= 1 so</p><p><i>dr</i></p><p><i>dθ</i>=</p><p><i>dr/dt</i></p><p><i>dθ/dt</i>=</p><p>21</p><p>= 2, <i>r </i>= 2<i>θ </i>+ <i>C</i>, <i>r </i>= 10 when <i>θ </i>= 0 so</p><p>10 = <i>C, r </i>= 2<i>θ </i>+ 10.</p><p><b>(b) </b><i>r</i>2 + (<i>dr/dθ</i>)2 = (2<i>θ </i>+ 10)2 + 4, during the first 5 seconds the rod rotates through an angle</p><p>of (1)(5) = 5 radians so <i>L </i>=∫ 50</p><p>√(2<i>θ </i>+ 10)2 + 4<i>dθ</i>, let <i>u </i>= 2<i>θ </i>+ 10 to get</p><p><i>L</i>=12</p><p>∫ 2010</p><p>√<i>u</i>2 + 4<i>du </i>=</p><p>12</p><p>[<i>u</i>2</p><p>√<i>u</i>2 + 4 + 2 ln <i>|u</i>+</p><p>√<i>u</i>2 + 4<i>|</i></p><p>]2010</p><p>=12</p><p>[10<i>√</i>404<i>− </i>5</p><p><i>√</i>104 + 2 ln</p><p>20 +<i>√</i>404</p><p>10 +<i>√</i>104</p><p>]<i>≈ </i>75<i>.</i>7 mm</p><p><b>56. </b><i>x </i>= <i>r </i>cos <i>θ, y </i>= <i>r </i>sin <i>θ,dx</i></p><p><i>dθ</i>=</p><p><i>dr</i></p><p><i>dθ</i>cos <i>θ − r </i>sin <i>θ, dy</i></p><p><i>dθ</i>= <i>r </i>cos <i>θ </i>+</p><p><i>dr</i></p><p><i>dθ</i>sin <i>θ,</i>(</p><p><i>dx</i></p><p><i>dθ</i></p><p>)2+(<i>dy</i></p><p><i>dθ</i></p><p>)2= <i>r</i>2 +</p><p>(<i>dr</i></p><p><i>dθ</i></p><p>)2, and Formula (6) of Section 8.4 becomes</p><p><i>L </i>=∫ <i>βα</i></p><p>√<i>r</i>2 +</p><p>(<i>dr</i></p><p><i>dθ</i></p><p>)2<i>dθ</i></p></div></div><div><div><p><b>488 Chapter 11</b></p><p><b>57. (a) </b>The end of the inner arm traces out the circle <i>x</i>1 = cos <i>t, y</i>1 = sin <i>t</i>. Relative to the end ofthe inner arm, the outer arm traces out the circle <i>x</i>2 = cos 2<i>t, y</i>2 = <i>− </i>sin 2<i>t</i>. Add to get themotion of the center of the rider cage relative to the center of the inner arm:<i>x </i>= cos <i>t</i>+ cos 2<i>t, y </i>= sin <i>t− </i>sin 2<i>t</i>.</p><p><b>(b) </b>Same as Part (a), except <i>x</i>2 = cos 2<i>t, y</i>2 = sin 2<i>t</i>, so <i>x </i>= cos <i>t</i>+ cos 2<i>t, y </i>= sin <i>t</i>+ sin 2<i>t</i></p><p><b>(c) </b><i>L</i>1 =∫ 2<i>π</i>0</p><p>[(<i>dx</i></p><p><i>dt</i></p><p>)2+(<i>dy</i></p><p><i>dt</i></p><p>)2]1<i>/</i>2<i>dt </i>=</p><p>∫ 2<i>π</i>0</p><p><i>√</i>5<i>− </i>4 cos 3<i>t dt ≈ </i>13<i>.</i>36489321,</p><p><i>L</i>2 =∫ 2<i>π</i>0</p><p><i>√</i>5 + 4 cos <i>t dt ≈ </i>13<i>.</i>36489322; <i>L</i>1 and <i>L</i>2 appear to be equal, and indeed, with the</p><p>substitution <i>u </i>= 3<i>t− π </i>and the periodicity of cos<i>u</i>,</p><p><i>L</i>1 =13</p><p>∫ 5<i>π−π</i></p><p>√5<i>− </i>4 cos(<i>u</i>+ <i>π</i>) <i>du </i>=</p><p>∫ 2<i>π</i>0</p><p><i>√</i>5 + 4 cos<i>u du </i>= <i>L</i>2.</p><p><b>59. (a) </b>The thread leaves the circle at the point <i>x</i>1 = <i>a </i>cos <i>θ, y</i>1 = <i>a </i>sin <i>θ</i>, and the end of the threadis, relative to the point on the circle, on the tangent line at <i>x</i>2 = <i>aθ </i>sin <i>θ, y</i>2 = <i>−aθ </i>cos <i>θ</i>;adding, <i>x </i>= <i>a</i>(cos <i>θ </i>+ <i>θ </i>sin <i>θ</i>)<i>, y </i>= <i>a</i>(sin <i>θ − θ </i>cos <i>θ</i>).</p><p><b>(b) </b><i>dx/dθ </i>= <i>aθ </i>cos <i>θ, dy/dθ </i>= <i>aθ </i>sin <i>θ</i>; <i>dx/dθ </i>= 0 has solutions <i>θ </i>= 0<i>, π/</i>2<i>, </i>3<i>π/</i>2; and <i>dy/dθ </i>= 0has solutions <i>θ </i>= 0<i>, π, </i>2<i>π</i>. At <i>θ </i>= <i>π/</i>2<i>, dy/dθ > </i>0, so the direction is North; at <i>θ </i>= <i>π,dx/dθ < </i>0, so West; at <i>θ </i>= 3<i>π/</i>2<i>, dy/dθ < </i>0, so South; at <i>θ </i>= 2<i>π, dx/dθ > </i>0, so East.</p><p>Finally, lim<i>θ→</i>0+</p><p><i>dy</i></p><p><i>dx</i>= lim</p><p><i>θ→</i>0+tan <i>θ </i>= 0, so East.</p><p><b>(c)</b></p><p>–5</p><p>5</p><p>–5 51</p><p><i>a </i>= 1</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p><b>60. (a)</b></p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p>–1 1</p><p>–1</p><p>1</p><p><b>(c) </b><i>L </i>=∫ 1<i>−</i>1</p><p>[cos2</p><p>(<i>πt</i>2</p><p>2</p><p>)+ sin2</p><p>(<i>πt</i>2</p><p>2</p><p>)]<i>dt </i>= 2</p></div></div><div><div><p><b>Exercise Set 11.3 489</b></p><p><b>61. </b>tan<i>ψ </i>= tan(<i>φ− θ</i>) = tan<i>φ− </i>tan <i>θ</i>1 + tan<i>φ </i>tan <i>θ</i></p><p>=</p><p><i>dy</i></p><p><i>dx− y</i></p><p><i>x</i></p><p>1 +<i>y</i></p><p><i>x</i></p><p><i>dy</i></p><p><i>dx</i></p><p>=</p><p><i>r </i>cos <i>θ </i>+ (<i>dr/dθ</i>) sin <i>θ−r </i>sin <i>θ </i>+ (<i>dr/dθ</i>) cos <i>θ −</i></p><p>sin <i>θ</i>cos <i>θ</i></p><p>1 +(</p><p><i>r </i>cos <i>θ </i>+ (<i>dr/dθ</i>) sin <i>θ</i>)<i>−r </i>sin <i>θ </i>+ (<i>dr/dθ</i>) cos <i>θ</i>)</p><p>)(sin <i>θ</i>cos <i>θ</i></p><p>) = <i>rdr/dθ</i></p><p><b>62. (a) </b>From Exercise 61,</p><p>tan<i>ψ </i>=<i>r</i></p><p><i>dr/dθ</i>=</p><p>1<i>− </i>cos <i>θ</i>sin <i>θ</i></p><p>= tan<i>θ</i></p><p>2,</p><p>so <i>ψ </i>= <i>θ/</i>2.</p><p><b>(b)</b></p><p>0</p><p>c/2</p><p><b>(c) </b>At <i>θ </i>= <i>π/</i>2<i>, ψ </i>= <i>θ/</i>2 = <i>π/</i>4. At <i>θ </i>= 3<i>π/</i>2<i>, ψ </i>= <i>θ/</i>2 = 3<i>π/</i>4.</p><p><b>63. </b>tan<i>ψ </i>=<i>r</i></p><p><i>dr/dθ</i>=</p><p><i>aebθ</i></p><p><i>abebθ</i>=</p><p>1<i>b</i>is constant, so <i>ψ </i>is constant.</p><p><b>EXERCISE SET 11.3</b></p><p><b>1. (a) </b><i>A </i>=∫ <i>π</i>0</p><p>124<i>a</i>2 sin2 <i>θ dθ </i>= <i>πa</i>2 <b>(b) </b><i>A </i>=</p><p>∫ <i>π/</i>2<i>−π/</i>2</p><p>124<i>a</i>2 cos2 <i>θ dθ </i>= <i>πa</i>2</p><p><b>2. (a) </b><i>r</i>2 = 2<i>r </i>sin <i>θ </i>+ 2<i>r </i>cos <i>θ, x</i>2 + <i>y</i>2 <i>− </i>2<i>y − </i>2<i>x </i>= 0<i>, </i>(<i>x− </i>1)2 + (<i>y − </i>1)2 = 2</p><p><b>(b) </b><i>A </i>=∫ 3<i>π/</i>4<i>−π/</i>4</p><p>12(2 sin <i>θ </i>+ 2 cos <i>θ</i>)2 <i>dθ </i>= 2<i>π</i></p><p><b>3. </b><i>A </i>=∫ 2<i>π</i>0</p><p>12(2 + 2 sin <i>θ</i>)2<i>dθ </i>= 6<i>π <b></b></i><b>4. </b><i>A </i>=</p><p>∫ <i>π/</i>20</p><p>12(1 + cos <i>θ</i>)2<i>dθ </i>= 3<i>π/</i>8 + 1</p><p><b>5. </b><i>A </i>= 6∫ <i>π/</i>60</p><p>12(16 cos2 3<i>θ</i>)<i>dθ </i>= 4<i>π</i></p><p><b>6. </b>The petal in the first quadrant has area∫ <i>π/</i>20</p><p>124 sin2 2<i>θ dθ </i>= <i>π/</i>2, so total area = 2<i>π</i>.</p><p><b>7. </b><i>A </i>= 2∫ <i>π</i>2<i>π/</i>3</p><p>12(1 + 2 cos <i>θ</i>)2<i>dθ </i>= <i>π − </i>3</p><p><i>√</i>3<i>/</i>2 <b>8. </b><i>A </i>=</p><p>∫ 31</p><p>2<i>θ</i>2</p><p><i>dθ </i>= 4<i>/</i>3</p><p><b>9. </b>area = <i>A</i>1 <i>−A</i>2 =∫ <i>π/</i>20</p><p>124 cos2 <i>θ dθ −</i></p><p>∫ <i>π/</i>40</p><p>12cos 2<i>θ dθ </i>= <i>π/</i>2<i>− </i>1</p><p>4</p></div></div><div><div><p><b>490 Chapter 11</b></p><p><b>10. </b>area = <i>A</i>1 <i>−A</i>2 =∫ <i>π</i>0</p><p>12(1 + cos <i>θ</i>)2 <i>dθ −</i></p><p>∫ <i>π/</i>20</p><p>12cos2 <i>θ dθ </i>= 5<i>π/</i>8</p><p><b>11. </b>The circles intersect when cos <i>θ </i>=<i>√</i>3 sin <i>θ, </i>tan <i>θ </i>= 1<i>/</i></p><p><i>√</i>3<i>, θ </i>= <i>π/</i>6, so</p><p><i>A </i>= <i>A</i>1+<i>A</i>2 =∫ <i>π/</i>60</p><p>12(4<i>√</i>3 sin <i>θ</i>)2 <i>dθ</i>+</p><p>∫ <i>π/</i>2<i>π/</i>6</p><p>12(4 cos <i>θ</i>)2 <i>dθ </i>= 2<i>π−</i>3</p><p><i>√</i>3+4<i>π/</i>3<i>−</i></p><p><i>√</i>3 = 10<i>π/</i>3<i>−</i>4</p><p><i>√</i>3.</p><p><b>12. </b>The curves intersect when 1 + cos <i>θ </i>= 3 cos <i>θ, </i>cos <i>θ </i>= 1<i>/</i>2<i>, θ </i>= <i>±π/</i>3, and hence total area is</p><p><i>A </i>= 2∫ <i>π/</i>30</p><p>12(1 + cos <i>θ</i>)2 <i>dθ </i>+ 2</p><p>∫ <i>π/</i>2<i>π/</i>3</p><p>129 cos2 <i>θ dθ </i>= 2(<i>π/</i>4 + 9</p><p><i>√</i>3<i>/</i>16 + 3<i>π/</i>8<i>− </i>9</p><p><i>√</i>3<i>/</i>16) = 5<i>π/</i>4.</p><p><b>13. </b><i>A </i>= 2∫ <i>π/</i>2<i>π/</i>6</p><p>12[9 sin2 <i>θ − </i>(1 + sin <i>θ</i>)2]<i>dθ </i>= <i>π</i></p><p><b>14. </b><i>A </i>= 2∫ <i>π</i>0</p><p>12[16<i>− </i>(2<i>− </i>2 cos <i>θ</i>)2]<i>dθ </i>= 10<i>π <b></b></i><b>15. </b><i>A </i>= 2</p><p>∫ <i>π/</i>30</p><p>12[(2+2 cos <i>θ</i>)2<i>−</i>9]<i>dθ </i>= 9</p><p><i>√</i>3<i>/</i>2<i>−π</i></p><p><b>16. </b><i>A </i>= 2∫ <i>π/</i>40</p><p>12(4 cos2 <i>θ − </i>4 sin2 <i>θ</i>)<i>dθ </i>= 2</p><p><b>17. </b><i>A </i>= 2</p><p>[∫ 2<i>π/</i>30</p><p>12(1<i>/</i>2 + cos <i>θ</i>)2<i>dθ −</i></p><p>∫ <i>π</i>2<i>π/</i>3</p><p>12(1<i>/</i>2 + cos <i>θ</i>)2<i>dθ</i></p><p>]= (<i>π </i>+ 3</p><p><i>√</i>3)<i>/</i>4</p><p><b>18. </b><i>A </i>= 2∫ <i>π/</i>30</p><p>12</p><p>[(2 + 2 cos <i>θ</i>)2 <i>− </i>9</p><p>4sec2 <i>θ</i></p><p>]<i>dθ </i>= 2<i>π </i>+</p><p>94</p><p><i>√</i>3</p><p><b>19. </b><i>A </i>= 2∫ <i>π/</i>40</p><p>12(4<i>− </i>2 sec2 <i>θ</i>)<i>dθ </i>= <i>π − </i>2 <b>20. </b><i>A </i>= 8</p><p>∫ <i>π/</i>80</p><p>12(4<i>a</i>2 cos2 2<i>θ − </i>2<i>a</i>2)<i>dθ </i>= 2<i>a</i>2</p><p><b>21. (a) </b><i>r </i>is not real for <i>π/</i>4 <i>< θ < </i>3<i>π/</i>4 and 5<i>π/</i>4 <i>< θ < </i>7<i>π/</i>4</p><p><b>(b) </b><i>A </i>= 4∫ <i>π/</i>40</p><p>12<i>a</i>2 cos 2<i>θ dθ </i>= <i>a</i>2</p><p><b>(c) </b><i>A </i>= 4∫ <i>π/</i>60</p><p>12</p><p>[4 cos 2<i>θ − </i>2</p><p>]<i>dθ </i>= 2</p><p><i>√</i>3<i>− </i>2<i>π</i></p><p>3</p><p><b>22. </b><i>A </i>= 2∫ <i>π/</i>20</p><p>12sin 2<i>θ dθ </i>= 1 <b>23. </b><i>A </i>=</p><p>∫ 4<i>π</i>2<i>π</i></p><p>12<i>a</i>2<i>θ</i>2 <i>dθ −</i></p><p>∫ 2<i>π</i>0</p><p>12<i>a</i>2<i>θ</i>2 <i>dθ </i>= 8<i>π</i>3<i>a</i>2</p><p><b>24. (a) </b><i>x </i>= <i>r </i>cos <i>θ, y </i>= <i>r </i>sin <i>θ,</i></p><p>(<i>dx/dθ</i>)2 + (<i>dy/dθ</i>)2 = (<i>f ′</i>(<i>θ</i>) cos <i>θ− f</i>(<i>θ</i>) sin <i>θ</i>)2 + (<i>f ′</i>(<i>θ</i>) sin <i>θ</i>+ <i>f</i>(<i>θ</i>) cos <i>θ</i>)2 = <i>f ′</i>(<i>θ</i>)2 + <i>f</i>(<i>θ</i>)2;</p><p><i>S </i>=∫ <i>βα</i></p><p>2<i>πf</i>(<i>θ</i>) sin <i>θ</i>√</p><p><i>f ′</i>(<i>θ</i>)2 + <i>f</i>(<i>θ</i>)2 <i>dθ </i>if about <i>θ </i>= 0; similarly for <i>θ </i>= <i>π/</i>2</p><p><b>(b) </b><i>f ′, g′ </i>are continuous and no segment of the curve is traced more than once.</p></div></div><div><div><p><b>Exercise Set 11.3 491</b></p><p><b>25. </b><i>r</i>2 +(<i>dr</i></p><p><i>dθ</i></p><p>)2= cos2 <i>θ </i>+ sin2 <i>θ </i>= 1,</p><p>so <i>S </i>=∫ <i>π/</i>2<i>−π/</i>2</p><p>2<i>π </i>cos2 <i>θ dθ </i>= <i>π</i>2<i>.</i></p><p><b>26. </b><i>S </i>=∫ <i>π/</i>20</p><p>2<i>πeθ </i>cos <i>θ√</i>2<i>e</i>2<i>θ dθ</i></p><p>= 2<i>√</i>2<i>π</i>∫ <i>π/</i>20</p><p><i>e</i>2<i>θ </i>cos <i>θ dθ </i>=2<i>√</i>2<i>π</i>5</p><p>(<i>eπ − </i>2)</p><p><b>27. </b><i>S </i>=∫ <i>π</i>0</p><p>2<i>π</i>(1<i>− </i>cos <i>θ</i>) sin <i>θ</i>√</p><p>1<i>− </i>2 cos <i>θ </i>+ cos2 <i>θ </i>+ sin2 <i>θ dθ</i></p><p>= 2<i>√</i>2<i>π</i>∫ <i>π</i>0</p><p>sin <i>θ</i>(1<i>− </i>cos <i>θ</i>)3<i>/</i>2 <i>dθ </i>= 252<i>√</i>2<i>π</i>(1<i>− </i>cos <i>θ</i>)5<i>/</i>2</p><p>∣∣∣<i>π</i>0= 32<i>π/</i>5</p><p><b>28. </b><i>S </i>=∫ <i>π</i>0</p><p>2<i>πa</i>(sin <i>θ</i>)<i>a dθ </i>= 4<i>πa</i>2</p><p><b>29. (a) </b><i>r</i>3 cos3 <i>θ − </i>3<i>r</i>2 cos <i>θ </i>sin <i>θ </i>+ <i>r</i>3 sin3 <i>θ </i>= 0<i>, r </i>= 3 cos <i>θ </i>sin <i>θ</i>cos3 <i>θ </i>+ sin3 <i>θ</i></p><p><b>30. (a) </b><i>A </i>= 2∫ <i>π/</i>(2<i>n</i>)0</p><p>12<i>a</i>2 cos2 <i>nθ dθ </i>=</p><p><i>πa</i>2</p><p>4<i>n<b></b></i><b>(b) </b><i>A </i>= 2</p><p>∫ <i>π/</i>(2<i>n</i>)0</p><p>12<i>a</i>2 cos2 <i>nθ dθ </i>=</p><p><i>πa</i>2</p><p>4<i>n</i></p><p><b>(c)</b>12<i>n</i></p><p><i>× </i>total area = <i>πa</i>2</p><p>4<i>n<b></b></i><b>(d)</b></p><p>1<i>n× </i>total area = <i>πa</i></p><p>2</p><p>4<i>n</i></p><p><b>31. </b>If the upper right corner of the square is the point (<i>a, a</i>) then the large circle has equation <i>r </i>=<i>√</i>2<i>a</i></p><p>and the small circle has equation (<i>x− a</i>)2 + <i>y</i>2 = <i>a</i>2<i>, r </i>= 2<i>a </i>cos <i>θ</i>, so</p><p>area of crescent = 2∫ <i>π/</i>40</p><p>12</p><p>[(2<i>a </i>cos <i>θ</i>)2 <i>− </i>(</p><p><i>√</i>2<i>a</i>)2</p><p>]<i>dθ </i>= <i>a</i>2 = area of square.</p></div></div><div><div><p><b>492 Chapter 11</b></p><p><b>32. </b><i>A </i>=∫ 2<i>π</i>0</p><p>12(cos 3<i>θ </i>+ 2)2 <i>dθ </i>= 9<i>π/</i>2</p><p>3</p><p>–3</p><p>–3 3</p><p><b>33. </b><i>A </i>=∫ <i>π/</i>20</p><p>124 cos2 <i>θ </i>sin4 <i>θ dθ </i>= <i>π/</i>16</p><p>1</p><p>–1</p><p>0 1</p><p><b>EXERCISE SET 11.4</b></p><p><b>1. (a) </b>4<i>px </i>= <i>y</i>2, point (1<i>, </i>1)<i>, </i>4<i>p </i>= 1<i>, x </i>= <i>y</i>2 <b>(b) </b><i>−</i>4<i>py </i>= <i>x</i>2, point (3<i>,−</i>3)<i>, </i>12<i>p </i>= 9<i>,−</i>3<i>y </i>= <i>x</i>2</p><p><b>(c) </b><i>a </i>= 3<i>, b </i>= 2<i>,x</i>2</p><p>9+</p><p><i>y</i>2</p><p>4= 1 <b>(d) </b><i>a </i>= 3<i>, b </i>= 2<i>,</i></p><p><i>x</i>2</p><p>4+</p><p><i>y</i>2</p><p>9= 1</p><p><b>(e) </b>asymptotes: <i>y </i>= <i>±x</i>, so <i>a </i>= <i>b</i>; point (0<i>, </i>1), so <i>y</i>2 <i>− x</i>2 = 1</p><p><b>(f) </b>asymptotes: <i>y </i>= <i>±x</i>, so <i>b </i>= <i>a</i>; point (2<i>, </i>0), so <i>x</i>2</p><p>4<i>− y</i></p><p>2</p><p>4= 1</p><p><b>2. (a) </b>Part (a), vertex (0<i>, </i>0)<i>, p </i>= 1<i>/</i>4; focus (1<i>/</i>4<i>, </i>0), directrix: <i>x </i>= <i>−</i>1<i>/</i>4Part (b), vertex (0<i>, </i>0)<i>, p </i>= 3<i>/</i>4; focus (0<i>,−</i>3<i>/</i>4), directrix: <i>y </i>= 3<i>/</i>4</p><p><b>(b) </b>Part (c), <i>c </i>=<i>√a</i>2 <i>− b</i>2 =</p><p><i>√</i>5, foci (<i>±</i></p><p><i>√</i>5<i>, </i>0)</p><p>Part (d), <i>c </i>=<i>√a</i>2 <i>− b</i>2 =</p><p><i>√</i>5, foci (0<i>,±</i></p><p><i>√</i>5)</p><p><b>(c) </b>Part (e), <i>c </i>=<i>√a</i>2 + <i>b</i>2 =</p><p><i>√</i>2, foci at (0<i>,±</i></p><p><i>√</i>2); asymptotes: <i>y</i>2 <i>− x</i>2 = 0<i>, y </i>= <i>±x</i></p><p>Part (f), <i>c </i>=<i>√a</i>2 + <i>b</i>2 =</p><p><i>√</i>8 = 2</p><p><i>√</i>2, foci at (<i>±</i>2</p><p><i>√</i>2<i>, </i>0); asymptotes:</p><p><i>x</i>2</p><p>4<i>− y</i></p><p>2</p><p>4= 0<i>, y </i>= <i>±x</i></p><p><b>3. (a)</b></p><p>–3 3</p><p>–3</p><p>3</p><p><i>F</i>(1,0) <i>x</i></p><p><i>y</i></p><p><i>x</i> = –1</p><p><b>(b)</b></p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p><i>F</i>(0, –2)</p><p><i>y</i> = 2 </p><p>–5 5</p><p>–5</p><p>5</p><p><b>4. (a)</b></p><p>52</p><p><i>x</i> =</p><p>52</p><p><i>F</i>(– , 0) <i>x</i></p><p><i>y <b></b></i><b>(b)</b></p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p><i>F</i>(0, 1)</p><p><i>y</i> = –1</p></div></div><div><div><p><b>Exercise Set 11.4 493</b></p><p><b>5. (a)</b></p><p>6</p><p>6</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i>12</p><p><i>x</i> = </p><p><i>V</i>(2, 3)</p><p>72<i>F</i>( , 3)</p><p><b>(b)</b></p><p>–4</p><p>–4</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p>94</p><p><i>F</i>(–2, – )</p><p>74</p><p><i>y</i> = –</p><p><i>V</i>(–2, –2)</p><p><b>6. (a)</b><i>x</i> = –1</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p><i>F</i>(–7, 1)</p><p><i>V</i>(–4, 1)</p><p><b>(b)</b></p><p><i>F</i>(1, 1)</p><p>1</p><p><i>V </i>(1, )12</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p><i>y</i> = 0</p><p><b>7. (a)</b></p><p>4</p><p>4</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p>52</p><p><i>V</i>(2, )</p><p><i>F</i>(2, 2)</p><p><i>y</i> = 3</p><p><b>(b)</b></p><p>2</p><p>4</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p><i>V</i>(–2, 2)74<i>F </i>(– , 2)</p><p>94</p><p><i>x</i> = –</p><p><b>8. (a)</b></p><p><i>x</i></p><p><i>y</i>92</p><p><i>x</i> = –</p><p>72</p><p><i>F</i>(– , 3)<i>V</i>(–4, 3)</p><p><b>(b)</b></p><p>1516</p><p><i>y</i> =</p><p>1716</p><p><i>F</i>(–1, )<i>x</i></p><p><i>y</i></p><p><i>V</i> (–1, 1)</p><p><b>9. (a) </b><i>c</i>2 = 16<i>− </i>9 = 7, <i>c </i>=<i>√</i>7</p><p>(4, 0)</p><p>(0, 3)</p><p>(0, –3)</p><p>(–4, 0) <i>x</i></p><p><i>y</i></p><p>(–√7, 0)</p><p>(√7, 0)</p><p><b>(b)</b><i>x</i>2</p><p>1+</p><p><i>y</i>2</p><p>9= 1</p><p><i>c</i>2 = 9<i>− </i>1 = 8<i>, c </i>= 2<i>√</i>2</p><p>(0, 3)</p><p>(0, –3)</p><p>(–1, 0) (1, 0)</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p>(0, √8)</p><p>(0, –√8)</p></div></div><div><div><p><b>494 Chapter 11</b></p><p><b>10. (a) </b><i>c</i>2 = 25<i>− </i>4 = 21, <i>c </i>=<i>√</i>21</p><p>(0, 2)</p><p>(0, –2)</p><p>(–3, 0)</p><p>(3, 0)</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p>(–√5, 0)</p><p>(√5, 0)</p><p><b>(b)</b><i>x</i>2</p><p>9+</p><p><i>y</i>2</p><p>36= 1</p><p><i>c</i>2 = 36<i>− </i>9 = 27<i>, c </i>= 3<i>√</i>3</p><p><i>x</i></p><p><i>y </i>(3√3, 0)</p><p>(3, 0)</p><p>(0, 6)</p><p>(0, –6)</p><p>(–3, 0)</p><p>(–3√3, 0)</p><p><b>11. (a)</b>(<i>x− </i>1)2</p><p>9+</p><p>(<i>y − </i>3)216</p><p>= 1</p><p><i>c</i>2 = 16<i>− </i>9 = 7<i>, c </i>=<i>√</i>7</p><p>(1, 7)</p><p>(1, –1)</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p>(1 – √7, 3) (1 + √7, 3)</p><p>(5, 3)(–3, 3)</p><p><b>(b)</b>(<i>x</i>+ 2)2</p><p>4+</p><p>(<i>y </i>+ 1)2</p><p>9= 1</p><p><i>c</i>2 = 9<i>− </i>4 = 5<i>, c </i>=<i>√</i>5</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p>(–2, –1 + √5 )</p><p>(–2, –1 – √5 )</p><p>(0, –1)</p><p>(–2, 2)</p><p>(–2, –4)</p><p>(–4, –1)</p><p><b>12. (a)</b>(<i>x</i>+ 3)2</p><p>16+</p><p>(<i>y − </i>5)24</p><p>= 1</p><p><i>c</i>2 = 16<i>− </i>4 = 12<i>, c </i>= 2<i>√</i>3</p><p>(1, 5)</p><p>(–3, 7)</p><p>(–3, 3)</p><p>(–7, 5)</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p>(–3 – 2√3, 5)</p><p>(–3 + 2√3, 5)</p><p><b>(b)</b><i>x</i>2</p><p>4+</p><p>(<i>y </i>+ 2)2</p><p>9= 1</p><p><i>c</i>2 = 9<i>− </i>4 = 5<i>, c </i>=<i>√</i>5</p><p>(0, –5)</p><p>(0, 1) (0, –2 + √5)</p><p>(0, –2 – √5)</p><p>(–2, –2) (2, –2)</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p></div></div><div><div><p><b>Exercise Set 11.4 495</b></p><p><b>13. (a)</b>(<i>x</i>+ 1)2</p><p>9+</p><p>(<i>y − </i>1)21</p><p>= 1</p><p><i>c</i>2 = 9<i>− </i>1 = 8<i>, c </i>= 2<i>√</i>2</p><p>(–1, 2)</p><p>(–1, 0)(–4, 1)</p><p>(2, 1)<i>x</i></p><p><i>y</i></p><p>(–1 – √8, 1)</p><p>(–1 + √8, 1)</p><p><b>(b)</b>(<i>x</i>+ 1)2</p><p>4+</p><p>(<i>y − </i>5)216</p><p>= 1</p><p><i>c</i>2 = 16<i>− </i>4 = 12<i>, c </i>= 2<i>√</i>3</p><p>(1, 5)(–3, 5)</p><p>(–1, 1)</p><p>(–1, 9)</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p>(–1, 5 + 2√3)</p><p>(–1, 5 – 2√3)</p><p><b>14. (a)</b>(<i>x− </i>1)2</p><p>4+</p><p>(<i>y </i>+ 3)2</p><p>9= 1</p><p><i>c</i>2 = 9<i>− </i>4 = 5<i>, c </i>=<i>√</i>5</p><p>(1, –3 + √5)</p><p>(1, –3 – √5)(3, –3)</p><p>(1, 0)</p><p>(1, –6)</p><p>(–1, –3)</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p><b>(b)</b>(<i>x</i>+ 2)2</p><p>9+</p><p>(<i>y − </i>3)25</p><p>= 1</p><p><i>c</i>2 = 9<i>− </i>5 = 4<i>, c </i>= 2</p><p>(–2, 3 + √5)</p><p>(–2, 3 – √5)</p><p>(0, 3)(–5, 3) (1, 3)</p><p>(–4, 3)</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p><b>15. (a) </b><i>c</i>2 = <i>a</i>2 + <i>b</i>2 = 16 + 9 = 25<i>, c </i>= 5</p><p>(–4, 0) (4, 0)</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p>34</p><p><i>y</i> = – <i>x </i>34</p><p><i>y</i> = <i>x</i></p><p>(–5, 0) (5, 0)</p><p><b>(b) </b><i>y</i>2<i>/</i>4<i>− x</i>2<i>/</i>36 = 1<i>c</i>2 = 4 + 36 = 40<i>, c </i>= 2</p><p><i>√</i>10</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p>13</p><p><i>y</i> = – <i>x</i>13</p><p><i>y</i> = <i>x</i></p><p>(0, –2)</p><p>(0, 2)</p><p>(0, 2√10)</p><p>(0, –2√10)</p><p><b>16. (a) </b><i>c</i>2 = <i>a</i>2 + <i>b</i>2 = 9 + 25 = 34<i>, c </i>=<i>√</i>34</p><p>(0, –3)</p><p>(0, 3)</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p>(0, √34)</p><p>(0, –√34)</p><p>35</p><p><i>y</i> = – <i>x </i>35</p><p><i>y</i> = <i>x</i></p><p><b>(b) </b><i>x</i>2<i>/</i>25<i>− y</i>2<i>/</i>16 = 1<i>c</i>2 = 25 + 16 = 41<i>, c </i>=</p><p><i>√</i>41</p><p>(–5, 0) (5, 0)</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i>45</p><p><i>y</i> = – <i>x </i>45</p><p><i>y</i> = <i>x</i></p><p>(–√41, 0) (√41, 0)</p></div></div><div><div><p><b>496 Chapter 11</b></p><p><b>17. (a) </b><i>c</i>2 = 9 + 4 = 13<i>, c </i>=<i>√</i>13</p><p>(4, –2) <i>x</i></p><p><i>y</i></p><p>(1 – √13, –2) (1 + √13, –2)</p><p>(–2, –2)</p><p><i>y</i> + 2 = – (<i>x</i> – 1)23</p><p><i>y</i> + 2 = (<i>x</i> – 1)23</p><p><b>(b) </b>(<i>y − </i>3)2<i>/</i>9<i>− </i>(<i>x− </i>2)2<i>/</i>4 = 1<i>c</i>2 = 9 + 4 = 13<i>, c </i>=</p><p><i>√</i>13</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p>(2, 6)(2, 0)</p><p>(2, 3 + √13)</p><p>(2, 3 – √13)</p><p>32</p><p><i>y</i> – 3 = (<i>x</i> – 2)</p><p>32</p><p><i>y</i> – 3 = – (<i>x</i> – 2)</p><p><b>18. (a) </b><i>c</i>2 = 3 + 5 = 8<i>, c </i>= 2<i>√</i>2</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p>(2, –4 + √3)(2, –4 – √3)</p><p>(2, –4 – 2√2)</p><p>(2, –4 + 2√2)</p><p>√35<i>y</i> + 4 = (<i>x</i> – 2)</p><p>√35<i>y</i> + 4 = – (<i>x</i> – 2)</p><p><b>(b) </b>(<i>x</i>+ 1)2<i>/</i>1<i>− </i>(<i>y − </i>3)2<i>/</i>2 = 1<i>c</i>2 = 1 + 2 = 3<i>, c </i>=</p><p><i>√</i>3</p><p>(–2, 3)</p><p>(–1 + √3, 3)(–1 − √3, 3)</p><p>(0, 3)</p><p><i>y</i> − 3 = √2(<i>x</i> + 1)</p><p><i>y</i> − 3 = −√2(<i>x</i> + 1)</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p><b>19. (a) </b>(<i>x</i>+ 1)2<i>/</i>4<i>− </i>(<i>y − </i>1)2<i>/</i>1 = 1<i>c</i>2 = 4 + 1 = 5<i>, c </i>=</p><p><i>√</i>5</p><p>(–3, 1)</p><p>(1, 1)</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p><i>y</i> – 1 = – (<i>x</i> + 1)12</p><p><i>y</i> – 1 = (<i>x</i> + 1)12</p><p>(–1 – √5, 1)</p><p>(–1 + √5, 1)</p><p><b>(b) </b>(<i>x− </i>1)2<i>/</i>4<i>− </i>(<i>y </i>+ 3)2<i>/</i>64 = 1<i>c</i>2 = 4 + 64 = 68<i>, c </i>= 2</p><p><i>√</i>17</p><p>(–1, –3) (3, –3) <i>x</i></p><p><i>y</i></p><p><i>y</i> + 3 = –4(<i>x</i> –1)</p><p><i>y</i> + 3 = 4(<i>x</i> –1)</p><p>(1 + 2√17, –3)(1 – 2√17, –3)</p></div></div><div><div><p><b>Exercise Set 11.4 497</b></p><p><b>20. (a) </b>(<i>y </i>+ 3)2<i>/</i>4<i>− </i>(<i>x− </i>2)2<i>/</i>9 = 1<i>c</i>2 = 4 + 9 = 13<i>, c </i>=</p><p><i>√</i>13</p><p>(2, –1)</p><p>(2, –5)</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p>23</p><p><i>y</i> + 3 = – (<i>x</i> – 2)23</p><p><i>y</i> + 3 = (<i>x</i> – 2)</p><p>(–2, 3 – √13)</p><p>(–2, 3 + √13)</p><p><b>(b) </b>(<i>y − </i>5)2<i>/</i>9<i>− </i>(<i>x</i>+ 2)2<i>/</i>36 = 1<i>c</i>2 = 9 + 36 = 45<i>, c </i>= 3</p><p><i>√</i>5</p><p>(–2, 2)</p><p>(–2, 8)</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p>12</p><p><i>y</i> – 5 = – (<i>x</i> + 2)</p><p>12</p><p><i>y</i> – 5 = (<i>x</i> + 2)</p><p>(–2, 5 + 3√5)</p><p>(–2, 5 – 3√5)</p><p><b>21. (a) </b><i>y</i>2 = 4<i>px</i>, <i>p </i>= 3, <i>y</i>2 = 12<i>x <b></b></i><b>(b) </b><i>y</i>2 = <i>−</i>4<i>px</i>, <i>p </i>= 7, <i>y</i>2 = <i>−</i>28<i>x</i></p><p><b>22. (a) </b><i>x</i>2 = <i>−</i>4<i>py</i>, <i>p </i>= 3, <i>x</i>2 = <i>−</i>12<i>y <b></b></i><b>(b) </b><i>x</i>2 = <i>−</i>4<i>py</i>, <i>p </i>= 1<i>/</i>4, <i>x</i>2 = <i>−y</i></p><p><b>23. (a) </b><i>x</i>2 = <i>−</i>4<i>py</i>, <i>p </i>= 3, <i>x</i>2 = <i>−</i>12<i>y<b></b></i><b>(b) </b>The vertex is 3 units above the directrix so <i>p </i>= 3, (<i>x− </i>1)2 = 12(<i>y − </i>1)<i>.</i></p><p><b>24. (a) </b><i>y</i>2 = 4<i>px</i>, <i>p </i>= 6, <i>y</i>2 = 24<i>x</i></p><p><b>(b) </b>The vertex is half way between the focus and directrix so the vertex is at (2<i>, </i>4), the focus is 3units to the left of the vertex so <i>p </i>= 3, (<i>y − </i>4)2 = <i>−</i>12(<i>x− </i>2)</p><p><b>25. </b><i>y</i>2 = <i>a</i>(<i>x − h</i>), 4 = <i>a</i>(3 <i>− h</i>) and 2 = <i>a</i>(2 <i>− h</i>), solve simultaneously to get <i>h </i>= 1, <i>a </i>= 2 so<i>y</i>2 = 2(<i>x− </i>1)</p><p><b>26. </b>(<i>x− </i>5)2 = <i>a</i>(<i>y </i>+ 3), (9<i>− </i>5)2 = <i>a</i>(5 + 3) so <i>a </i>= 2, (<i>x− </i>5)2 = 2(<i>y </i>+ 3)</p><p><b>27. (a) </b><i>x</i>2<i>/</i>9 + <i>y</i>2<i>/</i>4 = 1</p><p><b>(b) </b><i>a </i>= 26<i>/</i>2 = 13, <i>c </i>= 5, <i>b</i>2 = <i>a</i>2 <i>− c</i>2 = 169<i>− </i>25 = 144; <i>x</i>2<i>/</i>169 + <i>y</i>2<i>/</i>144 = 1</p><p><b>28. (a) </b><i>x</i>2 + <i>y</i>2<i>/</i>7 = 1</p><p><b>(b) </b><i>b </i>= 4, <i>c </i>= 3, <i>a</i>2 = <i>b</i>2 + <i>c</i>2 = 16 + 9 = 25; <i>x</i>2<i>/</i>16 + <i>y</i>2<i>/</i>25 = 1</p><p><b>29. (a) </b><i>c </i>= 1, <i>a</i>2 = <i>b</i>2 + <i>c</i>2 = 2 + 1 = 3; <i>x</i>2<i>/</i>3 + <i>y</i>2<i>/</i>2 = 1</p><p><b>(b) </b><i>b</i>2 = 16<i>− </i>12 = 4; <i>x</i>2<i>/</i>16 + <i>y</i>2<i>/</i>4 = 1 and <i>x</i>2<i>/</i>4 + <i>y</i>2<i>/</i>16 = 1</p><p><b>30. (a) </b><i>c </i>= 3, <i>b</i>2 = <i>a</i>2 <i>− c</i>2 = 16<i>− </i>9 = 7; <i>x</i>2<i>/</i>16 + <i>y</i>2<i>/</i>7 = 1<b>(b) </b><i>a</i>2 = 9 + 16 = 25; <i>x</i>2<i>/</i>25 + <i>y</i>2<i>/</i>9 = 1 and <i>x</i>2<i>/</i>9 + <i>y</i>2<i>/</i>25 = 1</p><p><b>31. (a) </b><i>a </i>= 6, (<i>−</i>3<i>, </i>2) satisfies <i>x</i>2<i>/</i>36 + <i>y</i>2<i>/b</i>2 = 1 so 9<i>/</i>36 + 4<i>/b</i>2 = 1, <i>b</i>2 = 16<i>/</i>3; <i>x</i>2<i>/</i>36 + 3<i>y</i>2<i>/</i>16 = 1<b>(b) </b>The center is midway between the foci so it is at (<i>−</i>1<i>, </i>2), thus</p><p><i>c </i>= 1, <i>b </i>= 2, <i>a</i>2 = 1 + 4 = 5<i>, a </i>=<i>√</i>5; (<i>x</i>+ 1)2<i>/</i>4 + (<i>y − </i>2)2<i>/</i>5 = 1</p><p><b>32. (a) </b>Substitute (3<i>, </i>2) and (1<i>, </i>6) into <i>x</i>2<i>/A</i>+ <i>y</i>2<i>/B </i>= 1 to get 9<i>/A</i>+4<i>/B </i>= 1 and 1<i>/A</i>+36<i>/B </i>= 1which yields <i>A </i>= 10, <i>B </i>= 40; <i>x</i>2<i>/</i>10 + <i>y</i>2<i>/</i>40 = 1</p><p><b>(b) </b>The center is at (2<i>,−</i>1) thus <i>c </i>= 2, <i>a </i>= 3, <i>b</i>2 = 9<i>− </i>4 = 5; (<i>x− </i>2)2<i>/</i>5 + (<i>y </i>+ 1)2<i>/</i>9 = 1</p></div></div><div><div><p><b>498 Chapter 11</b></p><p><b>33. (a) </b><i>a </i>= 2, <i>c </i>= 3, <i>b</i>2 = 9<i>− </i>4 = 5; <i>x</i>2<i>/</i>4<i>− y</i>2<i>/</i>5 = 1<b>(b) </b><i>a </i>= 1, <i>b/a </i>= 2, <i>b </i>= 2; <i>x</i>2 <i>− y</i>2<i>/</i>4 = 1</p><p><b>34. (a) </b><i>a </i>= 4, <i>c </i>= 5, <i>b</i>2 = 25<i>− </i>16 = 9; <i>y</i>2<i>/</i>16<i>− x</i>2<i>/</i>9 = 1<b>(b) </b><i>a </i>= 2, <i>a/b </i>= 2<i>/</i>3, <i>b </i>= 3; <i>y</i>2<i>/</i>4<i>− x</i>2<i>/</i>9 = 1</p><p><b>35. (a) </b>vertices along <i>x</i>-axis: <i>b/a </i>= 3<i>/</i>2 so <i>a </i>= 8<i>/</i>3; <i>x</i>2<i>/</i>(64<i>/</i>9)<i>− y</i>2<i>/</i>16 = 1vertices along <i>y</i>-axis: <i>a/b </i>= 3<i>/</i>2 so <i>a </i>= 6; <i>y</i>2<i>/</i>36<i>− x</i>2<i>/</i>16 = 1</p><p><b>(b) </b><i>c </i>= 5, <i>a/b </i>= 2 and <i>a</i>2 + <i>b</i>2 = 25, solve to get <i>a</i>2 = 20, <i>b</i>2 = 5; <i>y</i>2<i>/</i>20<i>− x</i>2<i>/</i>5 = 1</p><p><b>36. (a) </b>foci along the <i>x</i>-axis: <i>b/a </i>= 3<i>/</i>4 and <i>a</i>2 + <i>b</i>2 = 25, solve to get <i>a</i>2 = 16, <i>b</i>2 = 9;<i>x</i>2<i>/</i>16 <i>− y</i>2<i>/</i>9 = 1 foci along the <i>y</i>-axis: <i>a/b </i>= 3<i>/</i>4 and <i>a</i>2 + <i>b</i>2 = 25 which results in<i>y</i>2<i>/</i>9<i>− x</i>2<i>/</i>16 = 1</p><p><b>(b) </b><i>c </i>= 3, <i>b/a </i>= 2 and <i>a</i>2 + <i>b</i>2 = 9 so <i>a</i>2 = 9<i>/</i>5, <i>b</i>2 = 36<i>/</i>5; <i>x</i>2<i>/</i>(9<i>/</i>5)<i>− y</i>2<i>/</i>(36<i>/</i>5) = 1</p><p><b>37. (a) </b>The center is at (3<i>, </i>6), <i>a </i>= 3, <i>c </i>= 5, <i>b</i>2 = 25<i>− </i>9 = 16; (<i>x− </i>3)2<i>/</i>9<i>− </i>(<i>y − </i>6)2<i>/</i>16 = 1<b>(b) </b>The asymptotes intersect at (3<i>, </i>1) which is the center, (<i>x − </i>3)2<i>/a</i>2 <i>− </i>(<i>y − </i>1)2<i>/b</i>2 = 1 is the</p><p>form of the equation because (0<i>, </i>0) is to the left of both asymptotes, 9<i>/a</i>2 <i>− </i>1<i>/b</i>2 = 1 and<i>a/b </i>= 1 which yields <i>a</i>2 = 8, <i>b</i>2 = 8; (<i>x− </i>3)2<i>/</i>8<i>− </i>(<i>y − </i>1)2<i>/</i>8 = 1.</p><p><b>38. (a) </b>the center is at (1<i>,−</i>2); <i>a </i>= 2, <i>c </i>= 10, <i>b</i>2 = 100<i>− </i>4 = 96; (<i>y </i>+ 2)2<i>/</i>4<i>− </i>(<i>x− </i>1)2<i>/</i>96 = 1</p><p><b>(b) </b>the center is at (1<i>,−</i>1); 2<i>a </i>= 5<i>− </i>(<i>−</i>3) = 8<i>, a </i>= 4<i>, </i>(<i>x− </i>1)2</p><p>16<i>− </i>(<i>y </i>+ 1)</p><p>2</p><p>16= 1</p><p><b>39. (a) </b><i>y </i>= <i>ax</i>2 + <i>b</i>, (20<i>, </i>0) and (10<i>, </i>12) are on the curve so400<i>a</i>+ <i>b </i>= 0 and 100<i>a</i>+ <i>b </i>= 12. Solve for <i>b </i>to get<i>b </i>= 16 ft = height of arch.</p><p><b>(b)</b><i>x</i>2</p><p><i>a</i>2+</p><p><i>y</i>2</p><p><i>b</i>2= 1<i>, </i>400 = <i>a</i>2<i>, a </i>= 20;</p><p>100400</p><p>+144<i>b</i>2</p><p>= 1,</p><p><i>b </i>= 8<i>√</i>3 ft = height of arch.</p><p>–20 –10 10 20</p><p>(10, 12)</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p><b>40. (a) </b>(<i>x− b/</i>2)2 = <i>a</i>(<i>y − h</i>), but (0<i>, </i>0) is on the parabola so <i>b</i>2<i>/</i>4 = <i>−ah</i>, <i>a </i>= <i>− b</i>2</p><p>4<i>h</i>,</p><p>(<i>x− b/</i>2)2 = <i>− b</i>2</p><p>4<i>h</i>(<i>y − h</i>)</p><p><b>(b) </b>As in Part (a), <i>y </i>= <i>−</i>4<i>hb</i>2</p><p>(<i>x− b/</i>2)2 + <i>h</i>, <i>A </i>=∫ <i>b</i>0</p><p>[<i>−</i>4<i>hb</i>2</p><p>(<i>x− b/</i>2)2 + <i>h</i>]<i>dx </i>=</p><p>23<i>bh</i></p><p><b>41. </b>We may assume that the vertex is (0<i>, </i>0) and the parabola opens to the right. Let <i>P </i>(<i>x</i>0<i>, y</i>0) be apoint on the parabola <i>y</i>2 = 4<i>px</i>, then by the definition of a parabola, <i>PF </i>= distance from <i>P </i>todirectrix <i>x </i>= <i>−p</i>, so <i>PF </i>= <i>x</i>0 + <i>p </i>where <i>x</i>0 <i>≥ </i>0 and <i>PF </i>is a minimum when <i>x</i>0 = 0 (the vertex).</p></div></div><div><div><p><b>Exercise Set 11.4 499</b></p><p><b>42. </b>Let <i>p </i>= distance (in millions of miles) betweenthe vertex (closest point) and the focus <i>F </i>,then <i>PD </i>= <i>PF </i>, 2<i>p</i>+ 20 = 40, <i>p </i>= 10 million miles.</p><p>40 60°</p><p>40 cos 60° = 20<i>p</i></p><p><i>DP</i></p><p><i>p</i></p><p>Directrix</p><p><b>43. </b>Use an <i>xy</i>-coordinate system so that <i>y</i>2 = 4<i>px </i>is an equation of the parabola, then (1<i>, </i>1<i>/</i>2) is apoint on the curve so (1<i>/</i>2)2 = 4<i>p</i>(1), <i>p </i>= 1<i>/</i>16. The light source should be placed at the focuswhich is 1<i>/</i>16 ft. from the vertex.</p><p><b>44. (a) </b>Substitute <i>x</i>2 = <i>y/</i>2 into <i>y</i>2 <i>− </i>8<i>x</i>2 = 5 to get <i>y</i>2 <i>− </i>4<i>y − </i>5 = 0;<i>y </i>= <i>−</i>1<i>, </i>5. Use <i>x</i>2 = <i>y/</i>2 to find that there is no solution if<i>y </i>= <i>−</i>1 and that <i>x </i>= <i>±</i></p><p>√5<i>/</i>2 if <i>y </i>= 5. The curves intersect</p><p>at (√</p><p>5<i>/</i>2<i>, </i>5) and (<i>−</i>√</p><p>5<i>/</i>2<i>, </i>5), and thus the area is</p><p><i>A </i>= 2∫ <i>√</i>5<i>/</i>20</p><p>(√5 + 8<i>x</i>2 <i>− </i>2<i>x</i>2) <i>dx</i></p><p>=[<i>x√</i>5 + 8<i>x</i>2 + (5<i>/</i>4)</p><p><i>√</i>2 sinh<i>−</i>1(2<i>/</i>5)</p><p><i>√</i>10<i>x</i>)<i>− </i>(4<i>/</i>3)<i>x</i>3]5<i>/</i>20</p><p>=5<i>√</i>106</p><p>+5<i>√</i>2</p><p>4ln(2 +</p><p><i>√</i>5)</p><p>52(–√ , 5) 52(√ , 5)</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p><b>(b) </b>Eliminate <i>x </i>to get <i>y</i>2 = 1, <i>y </i>= <i>±</i>1. Use either equationto find that <i>x </i>= <i>±</i>2 if <i>y </i>= 1 or if <i>y </i>= <i>−</i>1. The curvesintersect at (2<i>, </i>1), (2<i>,−</i>1), (<i>−</i>2<i>, </i>1), and (<i>−</i>2<i>,−</i>1),and thus the area is</p><p><i>A </i>= 4∫ <i>√</i>5<i>/</i>30</p><p>13</p><p>√1 + 2<i>x</i>2 <i>dx</i></p><p>+ 4∫ 2<i>√</i></p><p>5<i>/</i>3</p><p>[13</p><p>√1 + 2<i>x</i>2 <i>− </i>1<i>√</i></p><p>7</p><p>√3<i>x</i>2 <i>− </i>5</p><p>]<i>dx</i></p><p>=13</p><p><i>√</i>2 ln(2</p><p><i>√</i>2 + 3) +</p><p>1021</p><p><i>√</i>21 ln(2</p><p><i>√</i>3 +</p><p><i>√</i>7)<i>− </i>5</p><p>21ln 5</p><p>(–2, 1)</p><p>(–2, –1) (2, –1)</p><p>(2, 1)</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p><b>(c) </b>Add both equations to get <i>x</i>2 = 4, <i>x </i>= <i>±</i>2.Use either equation to find that <i>y </i>= <i>±</i></p><p><i>√</i>3 if <i>x </i>= 2</p><p>or if <i>x </i>= <i>−</i>2. The curves intersect at(2<i>,</i></p><p><i>√</i>3), (2<i>,−</i></p><p><i>√</i>3), (<i>−</i>2<i>,</i></p><p><i>√</i>3), (<i>−</i>2<i>,−</i></p><p><i>√</i>3) and thus</p><p><i>A </i>= 4∫ 10</p><p>√7<i>− x</i>2 <i>dx</i>+ 4</p><p>∫ 21</p><p>[√7<i>− x</i>2 <i>−</i></p><p>√<i>x</i>2 <i>− </i>1</p><p>]<i>dx</i></p><p>= 14 sin<i>−</i>1(27</p><p><i>√</i>7)+ 2 ln(2 +</p><p><i>√</i>3)</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p>(–2, √3) (2, √3)</p><p>(–2, –√3) (2, –√3)</p></div></div><div><div><p><b>500 Chapter 11</b></p><p><b>45. (a) </b><i>P </i>: (<i>b </i>cos <i>t, b </i>sin <i>t</i>); <i>Q </i>: (<i>a </i>cos <i>t, a </i>sin <i>t</i>); <i>R </i>: (<i>a </i>cos <i>t, b </i>sin <i>t</i>)</p><p><b>(b) </b>For a circle, <i>t </i>measures the angle between the positive <i>x</i>-axis and the line segment joiningthe origin to the point. For an ellipse, <i>t </i>measures the angle between the <i>x</i>-axis and <i>OPQ</i>,not <i>OR</i>.</p><p><b>46. (a) </b>For any point (<i>x, y</i>)<i>, </i>the equation<i>y </i>= <i>b </i>sinh <i>t </i>has a unique solution <i>t</i>,<i>−∞ < t < </i>+<i>∞</i>. On the hyperbola,<i>x</i>2</p><p><i>a</i>2= 1 +</p><p><i>y</i>2</p><p><i>b</i>2= 1 + sinh2 <i>t</i></p><p>= cosh2 <i>t</i>, so <i>x </i>= <i>±a </i>cosh <i>t</i>.</p><p><b>(b) </b>3</p><p>–3</p><p>–3 3</p><p><b>47. (a) </b>For any point (<i>x, y</i>), the equation <i>y </i>= <i>b </i>tan <i>t </i>has a unique solution <i>t </i>where <i>−π/</i>2 <i>< t < π/</i>2.On the hyperbola,</p><p><i>x</i>2</p><p><i>a</i>2= 1 +</p><p><i>y</i>2</p><p><i>b</i>2= 1 + tan2 <i>t </i>= sec2 <i>t</i>, so <i>x </i>= <i>±a </i>sec <i>t</i>.</p><p><b>(b) </b>3</p><p>–3</p><p>–3 3</p><p><b>48. </b>By Definition 11.4.1, (<i>x− </i>2)2 + (<i>y − </i>4)2 = <i>y</i>2<i>, </i>(<i>x− </i>2)2 = 8<i>y − </i>16<i>, </i>(<i>x− </i>2)2 = 8(<i>y − </i>2)</p><p><b>49. </b>(4<i>, </i>1) and (4<i>, </i>5) are the foci so the center is at (4<i>, </i>3) thus <i>c </i>= 2, <i>a </i>= 12<i>/</i>2 = 6, <i>b</i>2 = 36 <i>− </i>4 = 32;(<i>x− </i>4)2<i>/</i>32 + (<i>y − </i>3)2<i>/</i>36 = 1</p><p><b>50. </b>From the definition of a hyperbola,∣∣∣√(<i>x− </i>1)2 + (<i>y − </i>1)2 <i>−</i>√<i>x</i>2 + <i>y</i>2 ∣∣∣ = 1,√</p><p>(<i>x− </i>1)2 + (<i>y − </i>1)2 <i>−</i>√<i>x</i>2 + <i>y</i>2 = <i>±</i>1, transpose the second radical to the right hand side of the</p><p>equation and square and simplify to get <i>±</i>2√<i>x</i>2 + <i>y</i>2 = <i>−</i>2<i>x − </i>2<i>y </i>+ 1, square and simplify again</p><p>to get 8<i>xy − </i>4<i>x− </i>4<i>y </i>+ 1 = 0.</p><p><b>51. </b>Let the ellipse have equation481</p><p><i>x</i>2 +<i>y</i>2</p><p>4= 1, then <i>A</i>(<i>x</i>) = (2<i>y</i>)2 = 16</p><p>(1<i>− </i>4<i>x</i></p><p>2</p><p>81</p><p>)<i>,</i></p><p><i>V </i>= 2∫ 9<i>/</i>20</p><p>16(1<i>− </i>4<i>x</i></p><p>2</p><p>81</p><p>)<i>dx </i>= 96</p><p><b>52. </b>See Exercise 51, <i>A</i>(<i>x</i>) =<i>√</i>3<i>y</i>2 = 4</p><p><i>√</i>3(1<i>− </i>4</p><p>81<i>x</i>2)<i>, V </i>= 2</p><p>∫ 9<i>/</i>20</p><p>4<i>√</i>3(1<i>− </i>4</p><p>81<i>x</i>2)</p><p><i>dx </i>= 24<i>√</i>3</p><p><b>53. </b>Assume<i>x</i>2</p><p><i>a</i>2+</p><p><i>y</i>2</p><p><i>b</i>2= 1<i>, A </i>= 4</p><p>∫ <i>a</i>0</p><p><i>b</i>√1<i>− x</i>2<i>/a</i>2 <i>dx </i>= <i>πab</i></p><p><b>54. (a) </b>Assume<i>x</i>2</p><p><i>a</i>2+</p><p><i>y</i>2</p><p><i>b</i>2= 1<i>, V </i>= 2</p><p>∫ <i>a</i>0</p><p><i>πb</i>2(1<i>− x</i>2<i>/a</i>2) <i>dx </i>= 4</p><p>3<i>πab</i>2</p><p><b>(b) </b>In Part (a) interchange <i>a </i>and <i>b </i>to obtain the result.</p></div></div><div><div><p><b>Exercise Set 11.4 501</b></p><p><b>55. </b>Assume<i>x</i>2</p><p><i>a</i>2+</p><p><i>y</i>2</p><p><i>b</i>2= 1<i>,</i></p><p><i>dy</i></p><p><i>dx</i>= <i>− bx</i></p><p><i>a√a</i>2 <i>− x</i>2 <i>, </i>1 +</p><p>(<i>dy</i></p><p><i>dx</i></p><p>)2=</p><p><i>a</i>4 <i>− </i>(<i>a</i>2 <i>− b</i>2)<i>x</i>2<i>a</i>2(<i>a</i>2 <i>− x</i>2) <i>,</i></p><p><i>S </i>= 2∫ <i>a</i>0</p><p>2<i>πba</i></p><p>√1<i>− x</i>2<i>/a</i>2</p><p>√<i>a</i>4 <i>− </i>(<i>a</i>2 <i>− b</i>2)<i>x</i>2</p><p><i>a</i>2 <i>− x</i>2 <i>dx </i>= 2<i>πab</i>(<i>b</i></p><p><i>a</i>+</p><p><i>a</i></p><p><i>c</i>sin<i>−</i>1</p><p><i>c</i></p><p><i>a</i></p><p>)<i>, c </i>=</p><p>√<i>a</i>2 <i>− b</i>2</p><p><b>56. </b>As in Exercise 55, 1 +(<i>dx</i></p><p><i>dy</i></p><p>)2=</p><p><i>b</i>4 + (<i>a</i>2 <i>− b</i>2)<i>y</i>2<i>b</i>2(<i>b</i>2 <i>− y</i>2) <i>,</i></p><p><i>S </i>= 2∫ <i>b</i>0</p><p>2<i>πa</i>√1<i>− y</i>2<i>/b</i>2</p><p>√<i>b</i>4 + (<i>a</i>2 <i>− b</i>2)<i>y</i>2</p><p><i>b</i>2(<i>b</i>2 <i>− y</i>2) <i>dy </i>= 2<i>πab</i>(<i>a</i></p><p><i>b</i>+</p><p><i>b</i></p><p><i>c</i>ln</p><p><i>a</i>+ <i>cb</i></p><p>)<i>, c </i>=</p><p>√<i>a</i>2 <i>− b</i>2</p><p><b>57. </b>Open the compass to the length of half the major axis, place the point of the compass at an endof the minor axis and draw arcs that cross the major axis to both sides of the center of the ellipse.Place the tacks where the arcs intersect the major axis.</p><p><b>58. </b>Let <i>P </i>denote the pencil tip, and let <i>R</i>(<i>x, </i>0) be the point below <i>Q </i>and <i>P </i>which lies on the line <i>L</i>.Then <i>QP </i>+ <i>PF </i>is the length of the string and <i>QR </i>= <i>QP </i>+ <i>PR </i>is the length of the side of thetriangle. These two are equal, so <i>PF </i>= <i>PR</i>. But this is the definition of a parabola according toDefinition 11.4.1.</p><p><b>59. </b>Let <i>P </i>denote the pencil tip, and let <i>k </i>be the difference between the length of the ruler and thatof the string. Then <i>QP </i>+ <i>PF</i>2 + <i>k </i>= <i>QF</i>1, and hence <i>PF</i>2 + <i>k </i>= <i>PF</i>1<i>, PF</i>1 <i>− PF</i>2 = <i>k</i>. But thisis the definition of a hyperbola according to Definition 11.4.3.</p><p><b>60. </b>In the <i>x′y′</i>-plane an equation of the circle is <i>x′</i>2+<i>y′</i>2 = <i>r</i>2 where <i>r </i>is the radius of the cylinder. Let<i>P </i>(<i>x, y</i>) be a point on the curve in the <i>xy</i>-plane, then <i>x′ </i>= <i>x </i>cos <i>θ </i>and <i>y′ </i>= <i>y </i>so <i>x</i>2 cos2 <i>θ</i>+ <i>y</i>2 = <i>r</i>2</p><p>which is an equation of an ellipse in the <i>xy</i>-plane.</p><p><b>61. </b><i>L </i>= 2<i>a </i>=√<i>D</i>2 + <i>p</i>2<i>D</i>2 = <i>D</i></p><p>√1 + <i>p</i>2 (see figure), so <i>a </i>=</p><p>12<i>D</i>√1 + <i>p</i>2, but <i>b </i>=</p><p>12<i>D</i>,</p><p><i>T </i>= <i>c</i>=√<i>a</i>2 <i>− b</i>2 =</p><p>√14<i>D</i>2(1 + <i>p</i>2)<i>− </i>1</p><p>4<i>D</i>2 =</p><p>12<i>pD.</i></p><p><i>D</i></p><p><i>pD</i></p><p><b>62. </b><i>y </i>=14<i>p</i></p><p><i>x</i>2, <i>dy/dx </i>=12<i>p</i></p><p><i>x</i>, <i>dy/dx</i>∣∣∣<i>x</i>=<i>x</i>0</p><p>=12<i>p</i></p><p><i>x</i>0, the tangent line at (<i>x</i>0<i>, y</i>0) has the formula</p><p><i>y − y</i>0 =<i>x</i>02<i>p</i></p><p>(<i>x − x</i>0) =<i>x</i>02<i>p</i></p><p><i>x − x</i>20</p><p>2<i>p</i>, but</p><p><i>x</i>202<i>p</i></p><p>= 2<i>y</i>0 because (<i>x</i>0<i>, y</i>0) is on the parabola <i>y </i>=14<i>p</i></p><p><i>x</i>2.</p><p>Thus the tangent line is <i>y − y</i>0 =<i>x</i>02<i>p</i></p><p><i>x− </i>2<i>y</i>0, <i>y </i>=<i>x</i>02<i>p</i></p><p><i>x− y</i>0.</p><p><b>63. </b>By implicit differentiation,<i>dy</i></p><p><i>dx</i></p><p>∣∣∣∣(<i>x</i>0<i>,y</i>0)</p><p>= <i>− b</i>2</p><p><i>a</i>2<i>x</i>0<i>y</i>0</p><p>if <i>y</i>0 <i></i>= 0, the tangent line is</p><p><i>y − y</i>0 = <i>−b</i>2</p><p><i>a</i>2<i>x</i>0<i>y</i>0</p><p>(<i>x− x</i>0), <i>a</i>2<i>y</i>0<i>y − a</i>2<i>y</i>20 = <i>−b</i>2<i>x</i>0<i>x</i>+ <i>b</i>2<i>x</i>20, <i>b</i>2<i>x</i>0<i>x</i>+ <i>a</i>2<i>y</i>0<i>y </i>= <i>b</i>2<i>x</i>20 + <i>a</i>2<i>y</i>20 ,</p><p>but (<i>x</i>0<i>, y</i>0) is on the ellipse so <i>b</i>2<i>x</i>20 + <i>a</i>2<i>y</i>20 = <i>a</i></p><p>2<i>b</i>2; thus the tangent line is <i>b</i>2<i>x</i>0<i>x</i>+ <i>a</i>2<i>y</i>0<i>y </i>= <i>a</i>2<i>b</i>2,<i>x</i>0<i>x/a</i></p><p>2 + <i>y</i>0<i>y/b</i>2 = 1. If <i>y</i>0 = 0 then <i>x</i>0 = <i>±a </i>and the tangent lines are <i>x </i>= <i>±a </i>which also followsfrom <i>x</i>0<i>x/a</i>2 + <i>y</i>0<i>y/b</i>2 = 1.</p></div></div><div><div><p><b>502 Chapter 11</b></p><p><b>64. </b>By implicit differentiation,<i>dy</i></p><p><i>dx</i></p><p>∣∣∣∣(<i>x</i>0<i>,y</i>0)</p><p>=<i>b</i>2</p><p><i>a</i>2<i>x</i>0<i>y</i>0</p><p>if <i>y</i>0 <i></i>= 0, the tangent line is <i>y−y</i>0 =<i>b</i>2</p><p><i>a</i>2<i>x</i>0<i>y</i>0</p><p>(<i>x−x</i>0),</p><p><i>b</i>2<i>x</i>0<i>x−a</i>2<i>y</i>0<i>y </i>= <i>b</i>2<i>x</i>20<i>−a</i>2<i>y</i>20 = <i>a</i>2<i>b</i>2, <i>x</i>0<i>x/a</i>2<i>−y</i>0<i>y/b</i>2 = 1. If <i>y</i>0 = 0 then <i>x</i>0 = <i>±a </i>and the tangentlines are <i>x </i>= <i>±a </i>which also follow from <i>x</i>0<i>x/a</i>2 <i>− y</i>0<i>y/b</i>2 = 1.</p><p><b>65. </b>Use<i>x</i>2</p><p><i>a</i>2+</p><p><i>y</i>2</p><p><i>b</i>2= 1 and</p><p><i>x</i>2</p><p><i>A</i>2<i>− y</i></p><p>2</p><p><i>B</i>2= 1 as the equations of the ellipse and hyperbola. If (<i>x</i>0<i>, y</i>0) is</p><p>a point of intersection then<i>x</i>20<i>a</i>2</p><p>+<i>y</i>20<i>b</i>2</p><p>= 1 =<i>x</i>20<i>A</i>2</p><p><i>− y</i>20</p><p><i>B</i>2, so <i>x</i>20</p><p>(1<i>A</i>2</p><p><i>− </i>1<i>a</i>2</p><p>)= <i>y</i>20</p><p>(1<i>B</i>2</p><p>+1<i>b</i>2</p><p>)and</p><p><i>a</i>2<i>A</i>2<i>y</i>20(<i>b</i>2 +<i>B</i>2) = <i>b</i>2<i>B</i>2<i>x</i>20(<i>a</i></p><p>2 <i>−A</i>2). Since the conics have the same foci, <i>a</i>2 <i>− b</i>2 = <i>c</i>2 = <i>A</i>2 +<i>B</i>2,so <i>a</i>2 <i>− A</i>2 = <i>b</i>2 + <i>B</i>2. Hence <i>a</i>2<i>A</i>2<i>y</i>20 = <i>b</i>2<i>B</i>2<i>x</i>20. From Exercises 63 and 64, the slopes of the</p><p>tangent lines are <i>− b</i>2<i>x</i>0<i>a</i>2<i>y</i>0</p><p>and<i>B</i>2<i>x</i>0<i>A</i>2<i>y</i>0</p><p>, whose product is <i>−b</i>2<i>B</i>2<i>x</i>20<i>a</i>2<i>A</i>2<i>y</i>20</p><p>= <i>−</i>1. Hence the tangent lines areperpendicular.</p><p><b>66. </b>Use implicit differentiation on <i>x</i>2 + 4<i>y</i>2 = 8 to get<i>dy</i></p><p><i>dx</i></p><p>∣∣∣∣(<i>x</i>0<i>,y</i>0)</p><p>= <i>− x</i>04<i>y</i>0</p><p>where (<i>x</i>0<i>, y</i>0) is the point</p><p>of tangency, but <i>−x</i>0<i>/</i>(4<i>y</i>0) = <i>−</i>1<i>/</i>2 because the slope of the line is <i>−</i>1<i>/</i>2 so <i>x</i>0 = 2<i>y</i>0. (<i>x</i>0<i>, y</i>0) ison the ellipse so <i>x</i>20+4<i>y</i></p><p>20 = 8 which when solved with <i>x</i>0 = 2<i>y</i>0 yields the points of tangency (2<i>, </i>1)</p><p>and (<i>−</i>2<i>,−</i>1). Substitute these into the equation of the line to get <i>k </i>= <i>±</i>4.</p><p><b>67. </b>Let (<i>x</i>0<i>, y</i>0) be such a point. The foci are at (<i>−√</i>5<i>, </i>0) and (</p><p><i>√</i>5<i>, </i>0)<i>, </i>the lines are perpendicular if</p><p>the product of their slopes is <i>−</i>1 so <i>y</i>0<i>x</i>0 +</p><p><i>√</i>5<i>· y</i>0<i>x</i>0 <i>−</i></p><p><i>√</i>5= <i>−</i>1<i>, y</i>20 = 5<i>− x</i>20 and 4<i>x</i>20 <i>− y</i>20 = 4<i>. </i>Solve</p><p>to get <i>x</i>0 = <i>±</i>3<i>/√</i>5<i>, y</i>0 = <i>±</i>4<i>/</i></p><p><i>√</i>5. The coordinates are (<i>±</i>3<i>/</i></p><p><i>√</i>5<i>, </i>4<i>/</i></p><p><i>√</i>5)<i>, </i>(<i>±</i>3<i>/</i></p><p><i>√</i>5<i>,−</i>4<i>/</i></p><p><i>√</i>5)<i>.</i></p><p><b>68. </b>Let (<i>x</i>0<i>, y</i>0) be one of the points; then <i>dy/dx</i>∣∣∣(<i>x</i>0<i>,y</i>0)</p><p>= 4<i>x</i>0<i>/y</i>0, the tangent line is <i>y </i>= (4<i>x</i>0<i>/y</i>0)<i>x</i>+4,</p><p>but (<i>x</i>0<i>, y</i>0) is on both the line and the curve which leads to 4<i>x</i>20<i>− y</i>20 +4<i>y</i>0 = 0 and 4<i>x</i>20<i>− y</i>20 = 36,solve to get <i>x</i>0 = <i>±</i>3</p><p><i>√</i>13<i>/</i>2, <i>y</i>0 = <i>−</i>9.</p><p><b>69. </b>Let <i>d</i>1 and <i>d</i>2 be the distances of the first and second observers, respectively, from the point of theexplosion. Then <i>t </i>= (time for sound to reach the second observer) <i>− </i>(time for sound to reach thefirst observer) = <i>d</i>2<i>/v − d</i>1<i>/v </i>so <i>d</i>2 <i>− d</i>1 = <i>vt</i>. For constant <i>v </i>and <i>t </i>the difference of distances, <i>d</i>2and <i>d</i>1 is constant so the explosion occurred somewhere on a branch of a hyperbola whose foci are</p><p>where the observers are. Since <i>d</i>2<i>−d</i>1 = 2<i>a, a </i>=<i>vt</i></p><p>2<i>, b</i>2 = <i>c</i>2<i>− v</i></p><p>2<i>t</i>2</p><p>4, and</p><p><i>x</i>2</p><p><i>v</i>2<i>t</i>2<i>/</i>4<i>− y</i></p><p>2</p><p><i>c</i>2 <i>− </i>(<i>v</i>2<i>t</i>2<i>/</i>4) = 1.</p><p><b>70. </b>As in Exercise 69, <i>d</i>2 <i>− d</i>1 = 2<i>a </i>= <i>vt </i>= (299,792,458 m/s)(10<i>−</i>7 s) <i>≈ </i>29<i>.</i>9792 m.<i>a</i>2 = (<i>vt/</i>2)2 <i>≈ </i>449<i>.</i>3762 m2; <i>c</i>2 = (50)2 = 2500 m2</p><p><i>b</i>2 = <i>c</i>2 <i>− a</i>2 = 2050<i>.</i>6238, <i>x</i>2</p><p>449<i>.</i>3762<i>− y</i></p><p>2</p><p>2050<i>.</i>6238= 1</p><p>But <i>y </i>= 200 km = 200,000 m, so <i>x ≈ </i>93,625.05 m = 93.62505 km. The ship is located at(93.62505,200).</p><p><b>71. (a) </b>Use<i>x</i>2</p><p>9+</p><p><i>y</i>2</p><p>4= 1, <i>x </i>=</p><p>32</p><p>√4<i>− y</i>2,</p><p><i>V </i>=∫ <i>−</i>2+<i>h−</i>2</p><p>(2)(3<i>/</i>2)√4<i>− y</i>2(18)<i>dy </i>= 54</p><p>∫ <i>−</i>2+<i>h−</i>2</p><p>√4<i>− y</i>2 <i>dy</i></p><p>= 54[<i>y</i></p><p>2</p><p>√4<i>− y</i>2 + 2 sin<i>−</i>1 <i>y</i></p><p>2</p><p>]<i>−</i>2+<i>h−</i>2</p><p>= 27[4 sin<i>−</i>1</p><p><i>h− </i>22</p><p>+ (<i>h− </i>2)√4<i>h− h</i>2 + 2<i>π</i></p><p>]ft3</p></div></div><div><div><p><b>Exercise Set 11.4 503</b></p><p><b>(b) </b>When <i>h </i>= 4 ft, <i>V</i>full = 108 sin<i>−</i>1 1 + 54<i>π </i>= 108<i>π </i>ft3, so solve for <i>h </i>when <i>V </i>= (<i>k/</i>4)<i>V</i>full<i>,</i></p><p><i>k </i>= 1<i>, </i>2<i>, </i>3, to get <i>h </i>= 1<i>.</i>19205<i>, </i>2<i>, </i>2<i>.</i>80795 ft or 14<i>.</i>30465<i>, </i>24<i>, </i>33<i>.</i>69535 in.</p><p><b>72. </b>We may assume <i>A > </i>0, since if <i>A < </i>0 then one can multiply the equation by <i>−</i>1, and if <i>A </i>= 0then one can exchange <i>A </i>with <i>C </i>(<i>C </i>cannot be zero simultaneously with <i>A</i>). Then</p><p><i>Ax</i>2 + <i>Cy</i>2 +<i>Dx</i>+ <i>Ey </i>+ <i>F </i>= <i>A</i>(<i>x</i>+</p><p><i>D</i></p><p>2<i>A</i></p><p>)2+ <i>C</i></p><p>(<i>y </i>+</p><p><i>E</i></p><p>2<i>C</i></p><p>)2+ <i>F − D</i></p><p>2</p><p>4<i>A− E</i></p><p>2</p><p>4<i>C</i>= 0.</p><p><b>(a) </b>Let <i>AC > </i>0. If <i>F <D</i>2</p><p>4<i>A</i>+</p><p><i>E</i>2</p><p>4<i>C</i>the equation represents an ellipse (a circle if <i>A </i>= <i>C</i>);</p><p>if <i>F </i>=<i>D</i>2</p><p>4<i>A</i>+</p><p><i>E</i>2</p><p>4<i>C</i>, the point <i>x </i>= <i>−D/</i>(2<i>A</i>)<i>, y </i>= <i>−E/</i>(2<i>C</i>); and if <i>F > D</i></p><p>2</p><p>4<i>A</i>+</p><p><i>E</i>2</p><p>4<i>C</i>then there is</p><p>no graph.</p><p><b>(b) </b>If <i>AC < </i>0 and <i>F </i>=<i>D</i>2</p><p>4<i>A</i>+</p><p><i>E</i>2</p><p>4<i>C</i>, then[<i>√</i></p><p><i>A</i></p><p>(<i>x</i>+</p><p><i>D</i></p><p>2<i>A</i></p><p>)+<i>√−C</i></p><p>(<i>y </i>+</p><p><i>E</i></p><p>2<i>C</i></p><p>)][<i>√A</i></p><p>(<i>x</i>+</p><p><i>D</i></p><p>2<i>A</i></p><p>)<i>−√−C</i></p><p>(<i>y </i>+</p><p><i>E</i></p><p>2<i>C</i></p><p>)]= 0,</p><p>a pair of lines; otherwise a hyperbola</p><p><b>(c) </b>Assume <i>C </i>= 0, so <i>Ax</i>2+<i>Dx</i>+<i>Ey</i>+<i>F </i>= 0. If <i>E </i>= 0, parabola; if <i>E </i>= 0 then <i>Ax</i>2+<i>Dx</i>+<i>F </i>= 0.If this polynomial has roots <i>x </i>= <i>x</i>1<i>, x</i>2 with <i>x</i>1 <i></i>= <i>x</i>2 then a pair of parallel lines; if <i>x</i>1 = <i>x</i>2then one line; if no roots, then no graph. If <i>A </i>= 0<i>, C </i>= 0 then a similar argument applies.</p><p><b>73. (a) </b>(<i>x− </i>1)2 <i>− </i>5(<i>y </i>+ 1)2 = 5, hyperbola<b>(b) </b><i>x</i>2 <i>− </i>3(<i>y </i>+ 1)2 = 0<i>, x </i>= <i>±</i></p><p><i>√</i>3(<i>y </i>+ 1), two lines</p><p><b>(c) </b>4(<i>x</i>+ 2)2 + 8(<i>y </i>+ 1)2 = 4, ellipse</p><p><b>(d) </b>3(<i>x</i>+ 2)2 + (<i>y </i>+ 1)2 = 0, the point (<i>−</i>2<i>,−</i>1) (degenerate case)<b>(e) </b>(<i>x</i>+ 4)2 + 2<i>y </i>= 2, parabola</p><p><b>(f) </b>5(<i>x</i>+ 4)2 + 2<i>y </i>= <i>−</i>14, parabola</p><p><b>74. </b>distance from the point (<i>x, y</i>) to the focus (0<i>, p</i>) = distance to the directrix <i>y </i>= <i>−p</i>, so <i>x</i>2+(<i>y−p</i>)2= (<i>y </i>+ <i>p</i>)2<i>, x</i>2 = 4<i>py</i></p><p><b>75. </b>distance from the point (<i>x, y</i>) to the focus (0<i>,−c</i>) plus distance to the focus (0<i>, c</i>) = const = 2<i>a,</i>√<i>x</i>2 + (<i>y </i>+ <i>c</i>)2 +</p><p>√<i>x</i>2 + (<i>y − c</i>)2 = 2<i>a, x</i>2 + (<i>y </i>+ <i>c</i>)2 = 4<i>a</i>2 + <i>x</i>2 + (<i>y − c</i>)2 <i>− </i>4<i>a</i></p><p>√<i>x</i>2 + (<i>y − c</i>)2,√</p><p><i>x</i>2 + (<i>y − c</i>)2 = <i>a− cay</i>, and since <i>a</i>2 <i>− c</i>2 = <i>b</i>2, <i>x</i></p><p>2</p><p><i>b</i>2+</p><p><i>y</i>2</p><p><i>a</i>2= 1</p><p><b>76. </b>distance from the point (<i>x, y</i>) to the focus (<i>−c, </i>0) less distance to the focus (<i>c, </i>0) is equal to 2<i>a,</i>√(<i>x</i>+ <i>c</i>)2 + <i>y</i>2 <i>−</i></p><p>√(<i>x− c</i>)2 + <i>y</i>2 = <i>±</i>2<i>a, </i>(<i>x</i>+ <i>c</i>)2 + <i>y</i>2 = (<i>x− c</i>)2 + <i>y</i>2 + 4<i>a</i>2 <i>± </i>4<i>a</i></p><p>√(<i>x− c</i>)2 + <i>y</i>2<i>,</i>√</p><p>(<i>x− c</i>)2 + <i>y</i>2 = <i>±</i>(<i>cxa</i></p><p><i>− a</i>), and, since <i>c</i>2 <i>− a</i>2 = <i>b</i>2<i>, x</i></p><p>2</p><p><i>a</i>2<i>− y</i></p><p>2</p><p><i>b</i>2= 1</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p><i>F</i>(0, <i>p</i>)<i>P</i>(<i>x</i>0, <i>y</i>0)</p><p><i>y</i> = – <i>y</i>0 <i>Q</i>(0, – <i>y</i>0)</p><p><b>77. </b>Assume the equation of the parabola is <i>x</i>2 = 4<i>py</i>. Thetangent line at <i>P </i>(<i>x</i>0<i>, y</i>0) (see figure) is given by(<i>y − y</i>0)<i>/</i>(<i>x− x</i>0) = <i>m </i>= <i>x</i>0<i>/</i>2<i>p</i>. To find the <i>y</i>-intercept set<i>x </i>= 0 and obtain <i>y </i>= <i>−y</i>0. Thus <i>Q </i>: (0<i>,−y</i>0). The focus is(0<i>, p</i>) = (0<i>, x</i>20<i>/</i>4<i>y</i>0), the distance from <i>P </i>to the focus is√<i>x</i>20 + (<i>y</i>0 <i>− p</i>)2 =</p><p>√4<i>py</i>0 + (<i>y</i>0 <i>− p</i>)2 =</p><p>√(<i>y</i>0 + <i>p</i>)2 = <i>y</i>0 + <i>p</i>,</p><p>and the distance from the focus to the <i>y</i>-intercept is <i>p</i>+ <i>y</i>0,so triangle <i>FPQ </i>is isosceles, and angles <i>FPQ </i>and <i>FQP </i>areequal.</p></div></div><div><div><p><b>504 Chapter 11</b></p><p><b>78. (a) </b>tan <i>θ </i>= tan(<i>φ</i>2 <i>− φ</i>1) =tan<i>φ</i>2 <i>− </i>tan<i>φ</i>11 + tan<i>φ</i>2 tan<i>φ</i>1</p><p>=<i>m</i>2 <i>−m</i>11 +<i>m</i>1<i>m</i>2</p><p><b>(b) </b>By implicit differentiation, <i>m </i>= <i>dy/dx</i>∣∣∣<i>P </i>(<i>x</i>0<i>,y</i>0)</p><p>= <i>− b</i>2</p><p><i>a</i>2<i>x</i>0<i>y</i>0</p><p>if <i>y</i>0 <i></i>= 0. Let <i>m</i>1 and <i>m</i>2 be the</p><p>slopes of the lines through <i>P </i>and the foci at (<i>−c, </i>0) and (<i>c, </i>0) respectively, then<i>m</i>1 = <i>y</i>0<i>/</i>(<i>x</i>0 + <i>c</i>) and <i>m</i>2 = <i>y</i>0<i>/</i>(<i>x</i>0 <i>− c</i>). For <i>P </i>in the first quadrant,</p><p>tan<i>α </i>=<i>m−m</i>21 +<i>mm</i>2</p><p>=<i>−</i>(<i>b</i>2<i>x</i>0)<i>/</i>(<i>a</i>2<i>y</i>0)<i>− y</i>0<i>/</i>(<i>x</i>0 <i>− c</i>)</p><p>1<i>− </i>(<i>b</i>2<i>x</i>0)<i>/</i>[<i>a</i>2(<i>x</i>0 <i>− c</i>)]</p><p>=<i>−b</i>2<i>x</i>20 <i>− a</i>2<i>y</i>20 + <i>b</i>2<i>cx</i>0[(<i>a</i>2 <i>− b</i>2)<i>x</i>0 <i>− a</i>2<i>c</i>] <i>y</i>0</p><p>=<i>−a</i>2<i>b</i>2 + <i>b</i>2<i>cx</i>0(<i>c</i>2<i>x</i>0 <i>− a</i>2<i>c</i>)<i>y</i>0</p><p>=<i>b</i>2</p><p><i>cy</i>0</p><p>similarly tan(<i>π − β</i>) = <i>m−m</i>11 +<i>mm</i>1</p><p>= <i>− b</i>2</p><p><i>cy</i>0= <i>− </i>tan<i>β </i>so tan<i>α </i>= tan<i>β</i>, <i>α </i>= <i>β</i>. The proof</p><p>for the case <i>y</i>0 = 0 follows trivially. By symmetry, the result holds for <i>P </i>in the other threequadrants as well.</p><p><b>(c) </b>Let <i>P </i>(<i>x</i>0<i>, y</i>0) be in the third quadrant. Suppose <i>y</i>0 <i></i>= 0 and let <i>m </i>= slope of the tangent lineat <i>P </i>, <i>m</i>1 = slope of the line through <i>P </i>and (<i>−c, </i>0), <i>m</i>2 = slope of the line through <i>P </i>and(<i>c, </i>0) then <i>m </i>=</p><p><i>dy</i></p><p><i>dx</i></p><p>∣∣∣∣(<i>x</i>0<i>,y</i>0)</p><p>= (<i>b</i>2<i>x</i>0)<i>/</i>(<i>a</i>2<i>y</i>0), <i>m</i>1 = <i>y</i>0<i>/</i>(<i>x</i>0 + <i>c</i>), <i>m</i>2 = <i>y</i>0<i>/</i>(<i>x</i>0 <i>− c</i>). Usetan<i>α </i>= (<i>m</i>1 <i>−m</i>)<i>/</i>(1 +<i>m</i>1<i>m</i>) and tan<i>β </i>= (<i>m−m</i>2)<i>/</i>(1 +<i>mm</i>2) to gettan<i>α </i>= tan<i>β </i>= <i>−b</i>2<i>/</i>(<i>cy</i>0) so <i>α </i>= <i>β</i>. If <i>y</i>0 = 0 the result follows trivially and by symmetrythe result holds for <i>P </i>in the other three quadrants as well.</p><p><b>EXERCISE SET 11.5</b></p><p><b>1. (a) </b>sin <i>θ </i>=<i>√</i>3<i>/</i>2, cos <i>θ </i>= 1<i>/</i>2</p><p><i>x′ </i>= (<i>−</i>2)(1<i>/</i>2) + (6)(<i>√</i>3<i>/</i>2) = <i>−</i>1 + 3</p><p><i>√</i>3, <i>y′ </i>= <i>−</i>(<i>−</i>2)(</p><p><i>√</i>3<i>/</i>2) + 6(1<i>/</i>2) = 3 +</p><p><i>√</i>3</p><p><b>(b) </b><i>x </i>=12<i>x′ −</i></p><p><i>√</i>32</p><p><i>y′ </i>=12(<i>x′ −</i></p><p><i>√</i>3<i>y′</i>), <i>y </i>=</p><p><i>√</i>32</p><p><i>x′ </i>+12<i>y′ </i>=</p><p>12(<i>√</i>3<i>x′ </i>+ <i>y′</i>)</p><p><i>√</i>3[12(<i>x′ −</i></p><p><i>√</i>3<i>y′</i>)</p><p>] [12(<i>√</i>3<i>x′ </i>+ <i>y′</i>)</p><p>]+[12(<i>√</i>3<i>x′ </i>+ <i>y′</i>)</p><p>]2= 6</p><p><i>√</i>34</p><p>(<i>√</i>3<i>x′</i>2 <i>− </i>2<i>x′y′ −</i></p><p><i>√</i>3<i>y′</i>2) +</p><p>14(3<i>x′</i>2 + 2</p><p><i>√</i>3<i>x′y′ </i>+ <i>y′</i>2) = 6</p><p>32<i>x′</i>2 <i>− </i>1</p><p>2<i>y′</i>2 = 6, 3<i>x′</i>2 <i>− y′</i>2 = 12</p><p><b>(c) </b><i>x</i>′</p><p><i>y</i>′</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p></div></div><div><div><p><b>Exercise Set 11.5 505</b></p><p><b>2. (a) </b>sin <i>θ </i>= 1<i>/</i>2, cos <i>θ </i>=<i>√</i>3<i>/</i>2</p><p><i>x′ </i>= (1)(<i>√</i>3<i>/</i>2) + (<i>−</i></p><p><i>√</i>3)(1<i>/</i>2) = 0, <i>y′ </i>= <i>−</i>(1)(1<i>/</i>2) + (<i>−</i></p><p><i>√</i>3)(</p><p><i>√</i>3<i>/</i>2) = <i>−</i>2</p><p><b>(b) </b><i>x </i>=<i>√</i>32</p><p><i>x′ − </i>12<i>y′ </i>=</p><p>12(<i>√</i>3<i>x′ − y′</i>), <i>y </i>= 1</p><p>2<i>x′ </i>+</p><p><i>√</i>32</p><p><i>y′ </i>=12(<i>x′ </i>+</p><p><i>√</i>3<i>y′</i>)</p><p>2[12(<i>√</i>3<i>x′ − y′</i>)</p><p>]2+ 2</p><p><i>√</i>3[12(<i>√</i>3<i>x′ − y′</i>)</p><p>] [12(<i>x′ </i>+</p><p><i>√</i>3<i>y′</i>)</p><p>]= 3</p><p>12(3<i>x′</i>2 <i>− </i>2</p><p><i>√</i>3<i>x′y′ </i>+ <i>y′</i>2) +</p><p><i>√</i>32</p><p>(<i>√</i>3<i>x′</i>2 + 2<i>x′y′ −</i></p><p><i>√</i>3<i>y′</i>2) = 3</p><p>3<i>x′</i>2 <i>− y′</i>2 = 3, <i>x′</i>2<i>/</i>1<i>− y′</i>2<i>/</i>3 = 1</p><p><b>(c)</b></p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p><i>x</i>′</p><p><i>y</i>′</p><p><b>3. </b>cot 2<i>θ </i>= (0<i>− </i>0)<i>/</i>1 = 0, 2<i>θ </i>= 90<i>◦</i>, <i>θ </i>= 45<i>◦x </i>= (</p><p><i>√</i>2<i>/</i>2)(<i>x′ − y′</i>), <i>y </i>= (</p><p><i>√</i>2<i>/</i>2)(<i>x′ </i>+ <i>y′</i>)</p><p><i>y′</i>2<i>/</i>18<i>− x′</i>2<i>/</i>18 = 1, hyperbola</p><p><i>x</i></p><p><i>yx</i>′<i>y</i>′</p><p><b>4. </b>cot 2<i>θ </i>= (1<i>− </i>1)<i>/</i>(<i>−</i>1) = 0, <i>θ </i>= 45<i>◦x </i>= (</p><p><i>√</i>2<i>/</i>2)(<i>x′ − y′</i>), <i>y </i>= (</p><p><i>√</i>2<i>/</i>2)(<i>x′ </i>+ <i>y′</i>)</p><p><i>x′</i>2<i>/</i>4 + <i>y′</i>2<i>/</i>(4<i>/</i>3) = 1, ellipse</p><p><i>x</i></p><p><i>yx</i>′<i>y</i>′</p><p><b>5. </b>cot 2<i>θ </i>= [1<i>− </i>(<i>−</i>2)]<i>/</i>4 = 3<i>/</i>4cos 2<i>θ </i>= 3<i>/</i>5sin <i>θ </i>=</p><p>√(1<i>− </i>3<i>/</i>5)<i>/</i>2 = 1<i>/</i></p><p><i>√</i>5</p><p>cos <i>θ </i>=√(1 + 3<i>/</i>5)<i>/</i>2 = 2<i>/</i></p><p><i>√</i>5</p><p><i>x </i>= (1<i>/√</i>5)(2<i>x′ − y′</i>)</p><p><i>y </i>= (1<i>/√</i>5)(<i>x′ </i>+ 2<i>y′</i>)</p><p><i>x′</i>2<i>/</i>3<i>− y′</i>2<i>/</i>2 = 1, hyperbola</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p><i>x</i>′</p><p><i>y</i>′</p></div></div><div><div><p><b>506 Chapter 11</b></p><p><b>6. </b>cot 2<i>θ</i>= (31<i>− </i>21)<i>/</i>(10<i>√</i>3) = 1<i>/</i></p><p><i>√</i>3<i>,</i></p><p>2<i>θ</i>= 60<i>◦, θ </i>= 30<i>◦</i></p><p><i>x</i>= (1<i>/</i>2)(<i>√</i>3<i>x′ − y′</i>)<i>,</i></p><p><i>y</i>= (1<i>/</i>2)(<i>x′ </i>+<i>√</i>3<i>y′</i>)</p><p><i>x′</i>2<i>/</i>4 + <i>y′</i>2<i>/</i>9 = 1, ellipse</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p><i>x</i>′</p><p><i>y</i>′</p><p><b>7. </b>cot 2<i>θ</i>= (1<i>− </i>3)<i>/</i>(2<i>√</i>3) = <i>−</i>1<i>/</i></p><p><i>√</i>3<i>,</i></p><p>2<i>θ</i>= 120<i>◦, θ </i>= 60<i>◦</i></p><p><i>x</i>= (1<i>/</i>2)(<i>x′ −√</i>3<i>y′</i>)</p><p><i>y</i>= (1<i>/</i>2)(<i>√</i>3<i>x′ </i>+ <i>y′</i>)</p><p><i>y′ </i>= <i>x′</i>2<i>, </i>parabola</p><p><i>x</i></p><p><i>y x</i>′</p><p><i>y</i>′</p><p><b>8. </b>cot 2<i>θ </i>= (34<i>− </i>41)<i>/</i>(<i>−</i>24) = 7<i>/</i>24cos 2<i>θ </i>= 7<i>/</i>25sin <i>θ </i>=</p><p>√(1<i>− </i>7<i>/</i>25)<i>/</i>2 = 3<i>/</i>5</p><p>cos <i>θ </i>=√(1 + 7<i>/</i>25)<i>/</i>2 = 4<i>/</i>5</p><p><i>x </i>= (1<i>/</i>5)(4<i>x′ − </i>3<i>y′</i>),<i>y </i>= (1<i>/</i>5)(3<i>x′ </i>+ 4<i>y′</i>)<i>x′</i>2 + <i>y′</i>2<i>/</i>(1<i>/</i>2) = 1, ellipse</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p><i>x</i>′<i>y</i>′</p><p><b>9. </b>cot 2<i>θ</i>= (9<i>− </i>16)<i>/</i>(<i>−</i>24) = 7<i>/</i>24cos 2<i>θ</i>= 7<i>/</i>25<i>,</i>sin <i>θ</i>= 3<i>/</i>5<i>, </i>cos <i>θ </i>= 4<i>/</i>5</p><p><i>x</i>= (1<i>/</i>5)(4<i>x′ − </i>3<i>y′</i>)<i>,y</i>= (1<i>/</i>5)(3<i>x′ </i>+ 4<i>y′</i>)</p><p><i>y′</i>2 = 4(<i>x′ − </i>1)<i>, </i>parabola<i>x</i></p><p><i>y</i></p><p><i>x</i>′<i>y</i>′</p><p><b>10. </b>cot 2<i>θ</i>= (5<i>− </i>5)<i>/</i>(<i>−</i>6) = 0<i>,θ</i>= 45<i>◦</i></p><p><i>x</i>= (<i>√</i>2<i>/</i>2)(<i>x′ − y′</i>)<i>,</i></p><p><i>y</i>= (<i>√</i>2<i>/</i>2)(<i>x′ </i>+ <i>y′</i>)<i>,</i></p><p><i>x′</i>2<i>/</i>8 + (<i>y′ </i>+ 1)2<i>/</i>2 = 1, ellipse<i>x</i></p><p><i>yx</i>′<i>y</i>′</p></div></div><div><div><p><b>Exercise Set 11.5 507</b></p><p><b>11. </b>cot 2<i>θ</i>= (52<i>− </i>73)<i>/</i>(<i>−</i>72) = 7<i>/</i>24cos 2<i>θ</i>= 7<i>/</i>25<i>, </i>sin <i>θ </i>= 3<i>/</i>5<i>,</i>cos <i>θ</i>= 4<i>/</i>5</p><p><i>x</i>= (1<i>/</i>5)(4<i>x′ − </i>3<i>y′</i>)<i>,y</i>= (1<i>/</i>5)(3<i>x′ </i>+ 4<i>y′</i>)</p><p>(<i>x′ </i>+ 1)2<i>/</i>4 + <i>y′</i>2 = 1, ellipse</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p><i>x</i>′<i>y</i>′</p><p><b>12. </b>cot 2<i>θ</i>= [6<i>− </i>(<i>−</i>1)]<i>/</i>24 = 7<i>/</i>24cos 2<i>θ</i>= 7<i>/</i>25<i>, </i>sin <i>θ </i>= 3<i>/</i>5<i>,</i>cos <i>θ</i>= 4<i>/</i>5</p><p><i>x</i>= (1<i>/</i>5)(4<i>x′ − </i>3<i>y′</i>)<i>,y</i>= (1<i>/</i>5)(3<i>x′ </i>+ 4<i>y′</i>)</p><p>(<i>y′ − </i>7<i>/</i>5)2<i>/</i>3<i>− </i>(<i>x′ </i>+ 1<i>/</i>5)2<i>/</i>2 = 1, hyperbola</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p><i>x</i>′<i>y</i>′</p><p><b>13. </b><i>x′ </i>= (<i>√</i>2<i>/</i>2)(<i>x </i>+ <i>y</i>), <i>y′ </i>= (</p><p><i>√</i>2<i>/</i>2)(<i>−x </i>+ <i>y</i>) which when substituted into 3<i>x′</i>2 + <i>y′</i>2 = 6 yields</p><p><i>x</i>2 + <i>xy </i>+ <i>y</i>2 = 3.</p><p><b>14. </b>From (5), <i>x </i>=12(<i>√</i>3<i>x′ − y′</i>) and <i>y </i>= 1</p><p>2(<i>x′ </i>+</p><p><i>√</i>3<i>y′</i>) so <i>y </i>= <i>x</i>2 becomes</p><p>12(<i>x′ </i>+</p><p><i>√</i>3<i>y′</i>) =</p><p>14(<i>√</i>3<i>x′ − y′</i>)2; simplify to get 3<i>x′</i>2 <i>− </i>2</p><p><i>√</i>3<i>x′y′ </i>+ <i>y′</i>2 <i>− </i>2<i>x′ − </i>2</p><p><i>√</i>3<i>y′ </i>= 0.</p><p><b>15. </b>Let <i>x </i>= <i>x′ </i>cos <i>θ − y′ </i>sin <i>θ</i>, <i>y </i>= <i>x′ </i>sin <i>θ </i>+ <i>y′ </i>cos <i>θ </i>then <i>x</i>2 + <i>y</i>2 = <i>r</i>2 becomes(sin2 <i>θ </i>+ cos2 <i>θ</i>)<i>x′</i>2 + (sin2 <i>θ </i>+ cos2 <i>θ</i>)<i>y′</i>2 = <i>r</i>2, <i>x′</i>2 + <i>y′</i>2 = <i>r</i>2. Under a rotation transformation thecenter of the circle stays at the origin of both coordinate systems.</p><p><b>16. </b>Multiply the first equation through by cos <i>θ </i>and the second by sin <i>θ </i>and add to get<i>x </i>cos <i>θ</i>+ <i>y </i>sin <i>θ </i>= (cos2 <i>θ</i>+sin2 <i>θ</i>)<i>x′ </i>= <i>x′</i>. Multiply the first by <i>− </i>sin <i>θ </i>and the second by cos <i>θ </i>andadd to get <i>y′</i>.</p><p><b>17. </b>Use the Rotation Equations (5).</p><p><b>18. </b>If the line is given by <i>Dx′ </i>+ <i>Ey′ </i>+ <i>F </i>= 0 then from (6),<i>D</i>(<i>x </i>cos <i>θ </i>+ <i>y </i>sin <i>θ</i>) + <i>E</i>(<i>−x </i>sin <i>θ </i>+ <i>y </i>cos <i>θ</i>) + <i>F </i>= 0, or(<i>D </i>cos <i>θ − E </i>sin <i>θ</i>)<i>x</i>+ (<i>D </i>sin <i>θ </i>+ <i>E </i>cos <i>θ</i>)<i>y </i>+ <i>F </i>= 0, which is a line in the <i>xy</i>-coordinates.</p><p><b>19. </b>Set cot 2<i>θ </i>=<i>A− CB</i></p><p>= 0<i>, </i>2<i>θ </i>= <i>π/</i>2<i>, θ </i>= <i>π/</i>4. Set <i>x </i>= (<i>x′ − y′</i>)<i>√</i>2<i>/</i>2<i>, y </i>= (<i>x′ </i>+ <i>y′</i>)</p><p><i>√</i>2<i>/</i>2 and insert</p><p>these into the equation to obtain 2<i>x′</i>2 <i>− </i>8<i>y′ </i>= 0; parabola, vertex (0<i>, </i>0), focus (0<i>, </i>1), directrix<i>y </i>= <i>−</i>1</p><p><b>20. </b>cot 2<i>θ </i>= (1<i>− </i>3)<i>/</i>(<i>−</i>2<i>√</i>3) =</p><p><i>√</i>3<i>/</i>3<i>, </i>2<i>θ </i>= <i>π/</i>3<i>, θ </i>= <i>π/</i>6; set</p><p><i>x </i>=<i>√</i>3<i>x′/</i>2 <i>− y′/</i>2<i>, y </i>= <i>x′/</i>2 +</p><p><i>√</i>3<i>y′/</i>2 and obtain 4<i>y′</i>2 <i>− </i>16<i>x′ </i>= 0; parabola, <i>p </i>= 1, vertex (0<i>, </i>0),</p><p>focus (<i>−</i>1<i>, </i>0), directrix <i>x′ </i>= 1</p><p><b>21. </b>cot 2<i>θ </i>= (9<i>− </i>16)<i>/</i>(<i>−</i>24) = 7<i>/</i>24 use method of Ex 4 to obtain cos 2<i>θ </i>= 725</p><p><i>, </i>so</p><p>cos <i>θ </i>=</p><p>√1 + cos 2<i>θ</i></p><p>2=</p><p>√1 + 725</p><p>2=</p><p>45<i>, </i>sin <i>θ </i>=</p><p>√1<i>− </i>cos 2<i>θ</i></p><p>2=</p><p>35. Then set</p><p><i>x </i>=45<i>x′ − </i>3</p><p>5<i>y′, y </i>=</p><p>35<i>x′ </i>+</p><p>45<i>y′</i>, insert these into the original equation to obtain <i>y′</i>2 = 4(<i>x′ − </i>1), so</p><p><i>p </i>= 1, vertex is (1<i>, </i>0), focus (2<i>, </i>0) and directrix <i>x′ </i>= 0.</p></div></div><div><div><p><b>508 Chapter 11</b></p><p><b>22. </b>cot 2<i>θ </i>= (1 <i>− </i>3)<i>/</i>(2<i>√</i>3) = <i>−</i>1<i>/</i></p><p><i>√</i>3<i>, </i>2<i>θ </i>= 2<i>π/</i>3<i>, θ </i>= <i>π/</i>3<i>, </i>and the equation is transformed into</p><p><i>x′</i>2 = 8(<i>y′ </i>+ 3), parabola, <i>p </i>= 2, vertex (0<i>,−</i>3), focus (0<i>,−</i>1), directrix <i>y′ </i>= <i>−</i>5</p><p><b>23. </b>cot 2<i>θ </i>= (288<i>−</i>337)<i>/</i>(<i>−</i>168) = 49<i>/</i>168 = 7<i>/</i>24; proceed as in Exercise 21 to obtain <i>cosθ </i>= 45<i>, </i>sin <i>θ </i>=</p><p>35, so the new equation is 225<i>x′</i>2 + 400<i>y′</i>2 <i>− </i>3600 = 0, <i>x′</i>2<i>/</i>16 + <i>y′</i>2<i>/</i>9 = 1, ellipse, <i>a </i>= 4, <i>b </i>= 3,</p><p><i>c </i>=<i>√</i>7, foci at (<i>±</i></p><p><i>√</i>7<i>, </i>0), vertices at (<i>±</i>4<i>, </i>0), minor axis has endpoints (0<i>,±</i>3) in the <i>x′</i>-<i>y′ </i>plane.</p><p><b>24. </b>cot 2<i>θ </i>= 0<i>, </i>2<i>θ </i>= <i>π/</i>2<i>, θ </i>= <i>π/</i>4, sin <i>θ </i>= cos <i>θ </i>=<i>√</i>2<i>/</i>2 and the equation becomes 18<i>x′</i>2 + 32<i>y′</i>2 =</p><p>288<i>, x′</i>2<i>/</i>16 + <i>y′</i>2<i>/</i>9 = 1, ellipse, <i>a </i>= 4<i>, b </i>= 3<i>, c </i>=<i>√</i>7, foci at (<i>±</i></p><p><i>√</i>7<i>, </i>0), vertices at (<i>±</i>4<i>, </i>0), minor</p><p>axis has endpoints (0<i>,±</i>3)</p><p><b>25. </b>cot 2<i>θ </i>= (31<i>− </i>21)<i>/</i>(10<i>√</i>3) = 1<i>/</i></p><p><i>√</i>3<i>, </i>2<i>θ </i>= <i>π/</i>3<i>, θ </i>= <i>π/</i>6 and the new equation is</p><p>36<i>x′</i>2+16<i>y′</i>2+64<i>y′ </i>= 80<i>, </i>36<i>x′</i>2+16(<i>y′</i>+2)2 = 144<i>, x′</i>2<i>/</i>4+(<i>y′</i>+2)2<i>/</i>9 = 1, ellipse, <i>a </i>= 3<i>, b </i>= 2<i>, c </i>=<i>√</i>9<i>− </i>4 =</p><p><i>√</i>5, so vertices at (0<i>, </i>1)<i>, </i>(0<i>,−</i>5), foci at (0<i>,−</i>2<i>±</i></p><p><i>√</i>5), ends of minor axis at (<i>±</i>2<i>,−</i>2).</p><p><b>26. </b>cot 2<i>θ </i>= 1<i>/√</i>3<i>, </i>2<i>θ </i>= <i>π/</i>3<i>, θ </i>= <i>π/</i>6. The new equation is</p><p>36<i>x′</i>2 + 64<i>y′</i>2 <i>− </i>72<i>x′ − </i>540 = 0<i>, </i>36(<i>x′ − </i>1)2 + 64<i>y′</i>2 = 576<i>, </i>(<i>x′ − </i>1)2<i>/</i>16 + <i>y′</i>2<i>/</i>9 = 1, ellipse,<i>a </i>= 4<i>, b </i>= 3<i>, c </i>=</p><p><i>√</i>16<i>− </i>9 =</p><p><i>√</i>7<i>, </i>vertices at (5<i>, </i>0)<i>, </i>(<i>−</i>3<i>, </i>0), foci at (1<i>±</i></p><p><i>√</i>7<i>, </i>0), ends of minor axis at</p><p>(1<i>,±</i>3).</p><p><b>27. </b>cot 2<i>θ </i>= (1<i>− </i>11)<i>/</i>(<i>−</i>10<i>√</i>3) = 1<i>/</i></p><p><i>√</i>3<i>, </i>2<i>θ </i>= 2<i>π/</i>3<i>, θ </i>= <i>π/</i>3 and the new equation is</p><p><i>−</i>4<i>x′</i>2 + 16<i>y′</i>2 + 64 = 0<i>, x′</i>2<i>/</i>16<i>− y′</i>2<i>/</i>4 = 1, hyperbola, vertices (<i>±</i>4<i>, </i>0), <i>a </i>= 4<i>, b </i>= 2<i>, c </i>=<i>√</i>20 =</p><p>2<i>√</i>5, so foci at (<i>±</i>2</p><p><i>√</i>5<i>, </i>0), asymptotes <i>y </i>= <i>±</i>2<i>x</i>.</p><p><b>28. </b>cot 2<i>θ </i>= (17<i>− </i>108)<i>/</i>(<i>−</i>312) = 7<i>/</i>24; proceed as in Exercise 21 to obtain cos <i>θ </i>= 45<i>, </i>sin <i>θ </i>=</p><p>35. Then</p><p>the new equation is <i>−</i>100<i>x′</i>2+225<i>y′</i>2<i>−</i>900 = 0<i>, y′</i>2<i>/</i>4<i>−x′</i>2<i>/</i>9 = 1, hyperbola, <i>a </i>= 2<i>, b </i>= 3<i>, c </i>=<i>√</i>13,</p><p>vertices at (0<i>,±</i>2), foci at (0<i>,±√</i>13), asymptotes <i>y </i>= <i>±</i>(2<i>/</i>3)<i>x</i>.</p><p><b>29. </b>cot 2<i>θ </i>= (32<i>− </i>(<i>−</i>7))<i>/</i>(<i>−</i>52) = <i>−</i>3<i>/</i>4; proceed as in Example 4 to obtain</p><p>cos 2<i>θ </i>= <i>−</i>3<i>/</i>5<i>, </i>cos <i>θ </i>=√</p><p>1 + cos 2<i>θ</i>2</p><p>=1<i>√</i>5<i>, </i>sin <i>θ </i>=</p><p>2<i>√</i>5The new equation is</p><p><i>−</i>20<i>x′</i>2 + 45<i>y′</i>2 <i>− </i>360<i>y′ </i>= <i>−</i>900<i>, </i>20<i>x′</i>2 <i>− </i>45(<i>y′ − </i>4)2 = 180, or <i>x</i>2</p><p>9<i>− </i>(<i>y − </i>4)</p><p>2</p><p>4= 1, hyperbola,</p><p><i>a </i>= 3<i>, b </i>= 2<i>, c </i>=<i>√</i>13, so the vertices are at (<i>±</i>3<i>, </i>4), the foci at (<i>±</i></p><p><i>√</i>13<i>, </i>4) and the asymptotes are</p><p><i>y − </i>4 = <i>±</i>23<i>x</i>.</p><p><b>30. </b>cot 2<i>θ </i>= 0<i>, θ </i>= <i>π/</i>4, and the resulting equation is9<i>x′</i>2 <i>− y′</i>2 + 36<i>x′ </i>+ 72 = 0<i>, </i>9(<i>x′ </i>+ 2)2 <i>− y′</i>2 + 72 <i>− </i>36 = 0<i>, y′</i>2<i>/</i>36 <i>− </i>(<i>x′ </i>+ 2)2<i>/</i>4 = 1, hyperbola,<i>a </i>= 6<i>, b </i>= 2<i>, c </i>=</p><p><i>√</i>36 + 4 = 2</p><p><i>√</i>10, vertices at (<i>−</i>2<i>,±</i>6), foci at (<i>−</i>2<i>,±</i>2</p><p><i>√</i>10), asymptotes <i>y </i>=</p><p><i>±</i>3(<i>x</i>+ 2).</p><p><b>31. </b>(<i>√x</i>+</p><p><i>√y</i>)2 = 1 = <i>x</i>+ <i>y </i>+ 2</p><p><i>√xy, </i>(1<i>− x− y</i>)2 = <i>x</i>2 + <i>y</i>2 + 1<i>− </i>2<i>x− </i>2<i>y </i>+ <i>xy </i>= 4<i>xy</i>, so <i>x</i>2 <i>− </i>3<i>xy </i>+</p><p><i>y</i>2 <i>− </i>2<i>x− </i>2<i>y </i>+ 1 = 0. Set cot 2<i>θ </i>= 0<i>, </i>then <i>θ </i>= <i>π/</i>4. Change variables by the Rotation Equationsto obtain 2<i>y′</i>2 <i>− </i>2</p><p><i>√</i>2<i>x′ </i>+ 1, which is a parabola.</p><p><b>32. </b>When (5) is substituted into (7), the term <i>x′y′ </i>will occur in the terms<i>A</i>(<i>x′ </i>cos <i>θ − y′ </i>sin <i>θ</i>)2 +<i>B</i>(<i>x′ </i>cos <i>θ − y′ </i>sin <i>θ</i>)(<i>x′ </i>sin <i>θ </i>+ <i>y′ </i>cos <i>θ</i>) + <i>C</i>(<i>x′ </i>sin <i>θ </i>+ <i>y′ </i>cos <i>θ</i>)2= <i>x′</i>2(<i>. . .</i>)+<i>x′y′</i>(<i>−</i>2<i>A </i>cos <i>θ </i>sin <i>θ</i>+<i>B</i>(cos2 <i>θ−</i>sin2 <i>θ</i>)+2<i>C </i>cos <i>θ </i>sin <i>θ</i>)+<i>y′</i>2(<i>. . .</i>)+ <i>. . .</i>, so the coefficientof <i>x′y′ </i>is <i>B′ </i>= <i>B</i>(cos2 <i>θ − </i>sin2 <i>θ</i>) + 2(<i>C −A</i>) sin <i>θ </i>cos <i>θ</i>.</p></div></div><div><div><p><b>Exercise Set 11.6 509</b></p><p><b>33. </b>It suffiices to show that the expression <i>B′</i>2 <i>− </i>4<i>A′C ′ </i>is independent of <i>θ</i>. Set<i>g </i>= <i>B′ </i>= <i>B</i>(cos2 <i>θ − </i>sin2 <i>θ</i>) + 2(<i>C −A</i>) sin <i>θ </i>cos <i>θf </i>= <i>A′ </i>= (<i>A </i>cos2 <i>θ </i>+<i>B </i>cos <i>θ </i>sin <i>θ </i>+ <i>C </i>sin2 <i>θ</i>)<i>h </i>= <i>C ′ </i>= (<i>A </i>sin2 <i>θ −B </i>sin <i>θ </i>cos <i>θ </i>+ <i>C </i>cos2 <i>θ</i>)It is easy to show that</p><p><i>g′</i>(<i>θ</i>) = <i>−</i>2<i>B </i>sin 2<i>θ </i>+ 2(<i>C −A</i>) cos 2<i>θ,f ′</i>(<i>θ</i>) = (<i>C −A</i>) sin 2<i>θ </i>+<i>B </i>cos 2<i>θh′</i>(<i>θ</i>) = (<i>A− C</i>) sin 2<i>θ −B </i>cos 2<i>θ </i>and it is a bit more tedious to show that<i>d</i></p><p><i>dθ</i>(<i>g</i>2 <i>− </i>4<i>fh</i>) = 0.</p><p>It follows that<i>B′</i>2<i>−</i>4<i>A′C ′ </i>is independent of <i>θ </i>and by taking <i>θ </i>= 0, we have<i>B′</i>2<i>−</i>4<i>A′C ′ </i>= <i>B</i>2<i>−</i>4<i>AC</i>.</p><p><b>34. </b>From equations (9), <i>A′ </i>+ <i>C ′ </i>= <i>A</i>(sin2 <i>θ </i>+ cos2 <i>θ</i>) + <i>C</i>(sin2 <i>θ </i>+ cos2 <i>θ</i>) = <i>A</i>+ <i>C</i>.</p><p><b>35. </b>If <i>A </i>= <i>C </i>then cot 2<i>θ </i>= (<i>A− C</i>)<i>B </i>= 0, so 2<i>θ </i>= <i>π/</i>2, and <i>θ </i>= <i>π/</i>4.</p><p><b>36. </b>If <i>F </i>= 0 then <i>x</i>2 +<i>Bxy </i>= 0, <i>x</i>(<i>x</i>+<i>By</i>) = 0 so <i>x </i>= 0 or <i>x</i>+<i>By </i>= 0 which are lines that intersectat (0<i>, </i>0). Suppose <i>F </i>= 0, rotate through an angle <i>θ </i>where cot 2<i>θ </i>= 1<i>/B </i>eliminating the crossproduct term to get <i>A′x′</i>2 + <i>C ′y′</i>2 + <i>F ′ </i>= 0, and note that <i>F ′ </i>= <i>F </i>so <i>F ′ </i>= 0. From (9),<i>A′ </i>= cos2 <i>θ </i>+<i>B </i>cos <i>θ </i>sin <i>θ </i>= cos <i>θ</i>(cos <i>θ </i>+<i>B </i>sin <i>θ</i>) and<i>C ′ </i>= sin2 <i>θ −B </i>sin <i>θ </i>cos <i>θ </i>= sin <i>θ</i>(sin <i>θ −B </i>cos <i>θ</i>) so</p><p><i>A′C ′ </i>= sin <i>θ </i>cos <i>θ</i>[sin <i>θ </i>cos <i>θ −B</i>(cos2 <i>θ − </i>sin2 <i>θ</i>)<i>−B</i>2 sin <i>θ </i>cos <i>θ</i>]</p><p>=12sin 2<i>θ</i></p><p>[12sin 2<i>θ −B </i>cos 2<i>θ − </i>1</p><p>2<i>B</i>2 sin 2<i>θ</i></p><p>]=</p><p>14sin2 2<i>θ</i>[1<i>− </i>2<i>B </i>cot 2<i>θ −B</i>2]</p><p>=14sin2 2<i>θ</i>[1<i>− </i>2<i>B</i>(1<i>/B</i>)<i>−B</i>2] = <i>−</i>1</p><p>4sin2 2<i>θ</i>(1 +<i>B</i>2) <i>< </i>0</p><p>thus <i>A′ </i>and <i>C ′ </i>have unlike signs so the graph is a hyperbola.</p><p><b>EXERCISE SET 11.6</b></p><p><b>1. (a) </b><i>r </i>=3<i>/</i>2</p><p>1<i>− </i>cos <i>θ , e </i>= 1<i>, d </i>= 3<i>/</i>2</p><p>0</p><p>c/2</p><p>–2</p><p>–2</p><p>2</p><p>2</p><p><b>(b) </b><i>r </i>=3<i>/</i>2</p><p>1 + 12 sin <i>θ, e </i>= 1<i>/</i>2<i>, d </i>= 3</p><p>0</p><p>c/2</p><p>–2</p><p>–2 2</p></div></div><div><div><p><b>510 Chapter 11</b></p><p><b>(c) </b><i>r </i>=2</p><p>1 + 32 cos <i>θ, e </i>= 3<i>/</i>2<i>, d </i>= 4<i>/</i>3</p><p>0</p><p>c/2</p><p>–5 10</p><p>–7</p><p>7</p><p><b>(d) </b><i>r </i>=5<i>/</i>3</p><p>1 + sin <i>θ, e </i>= 1<i>, d </i>= 5<i>/</i>3</p><p>0</p><p>c/2</p><p>–11</p><p>3</p><p>–7 7</p><p><b>2. (a) </b><i>r </i>=3<i>/</i>4</p><p>1<i>− </i>12 cos <i>θ, e </i>= 1<i>/</i>2<i>, d </i>= 3<i>/</i>2</p><p>–0.5 1.5</p><p>–1</p><p>1</p><p>0</p><p>c/2</p><p><b>(b) </b><i>r </i>=1</p><p>1<i>− </i>2 sin <i>θ , e </i>= 2<i>, d </i>= 1<i>/</i>2</p><p>–2 2</p><p>–2</p><p>2</p><p>0</p><p>c/2</p><p><b>(c) </b><i>r </i>=1<i>/</i>2</p><p>1 + cos <i>θ, e </i>= 1<i>, d </i>= 1<i>/</i>2</p><p>–4 2</p><p>–3</p><p>3</p><p>0</p><p>c/2</p><p><b>(d) </b><i>r </i>=1<i>/</i>2</p><p>1 + 4 cos <i>θ, e </i>= 4<i>, d </i>= 1<i>/</i>8</p><p>–0.3 0.5</p><p>–0.4</p><p>0.4</p><p>0</p><p>c/2</p><p><b>3. (a) </b><i>e </i>= 1<i>, d </i>= 8<i>,</i>parabola, opens up</p><p>10</p><p>–10</p><p>–15 15</p><p><b>(b) </b><i>r </i>=4</p><p>1 + 34 sin <i>θ, e </i>= 3<i>/</i>4<i>, d </i>= 16<i>/</i>3<i>,</i></p><p>ellipse, directrix 16<i>/</i>3 unitsabove the pole</p><p>5</p><p>–20</p><p>–12 12</p></div></div><div><div><p><b>Exercise Set 11.6 511</b></p><p><b>(c) </b><i>r </i>=2</p><p>1<i>− </i>32 sin <i>θ, e </i>= 3<i>/</i>2<i>, d </i>= 4<i>/</i>3<i>,</i></p><p>hyperbola, directrix 4/3 unitsbelow the pole</p><p>4</p><p>–8</p><p>–6 6</p><p><b>(d) </b><i>r </i>=3</p><p>1 + 14 cos <i>θ, e </i>= 1<i>/</i>4<i>, d </i>= 12<i>,</i></p><p>ellipse, directrix 12 unitsto the right of the pole</p><p>4</p><p>–4</p><p>–7 3</p><p><b>4. (a) </b><i>e </i>= 1<i>, d </i>= 15<i>,</i>parabola, opens left</p><p>20</p><p>–20</p><p>–20 20</p><p><b>(b) </b><i>r </i>=2<i>/</i>3</p><p>1 + cos <i>θ, e </i>= 1<i>,</i></p><p><i>d </i>= 2<i>/</i>3<i>,</i>parabola, opens left</p><p>10</p><p>–10</p><p>–15 5</p><p><b>(c) </b><i>r </i>=64<i>/</i>7</p><p>1<i>− </i>127 sin <i>θ, e </i>= 12<i>/</i>7<i>, d </i>= 16<i>/</i>3<i>,</i></p><p>hyperbola, directrix 16/3 units below pole</p><p>20</p><p>–40</p><p>–30 30</p><p><b>(d) </b><i>r </i>=4</p><p>1<i>− </i>23 cos <i>θ, e </i>= 2<i>/</i>3<i>, d </i>= 6<i>,</i></p><p>ellipse, directrix 6 units left of the pole</p><p>6</p><p>–6</p><p>–3 13</p><p><b>5. (a) </b><i>d </i>= 2<i>, r </i>=<i>ed</i></p><p>1 + <i>e </i>cos <i>θ</i>=</p><p>3<i>/</i>21 + 34 cos <i>θ</i></p><p>=6</p><p>4 + 3 cos <i>θ</i></p><p><b>(b) </b><i>e </i>= 1<i>, d </i>= 1<i>, r </i>=<i>ed</i></p><p>1 + <i>e </i>cos <i>θ</i>=</p><p>11 + cos <i>θ</i></p><p><b>(c) </b><i>e </i>= 4<i>/</i>3<i>, d </i>= 3<i>, r </i>=<i>ed</i></p><p>1 + <i>e </i>sin <i>θ</i>=</p><p>41 + 43 sin <i>θ</i></p><p>=12</p><p>3 + 4 sin <i>θ</i></p></div></div><div><div><p><b>512 Chapter 11</b></p><p><b>6. (a) </b><i>e </i>= 2<i>/</i>3<i>, d </i>= 1<i>, r </i>=<i>ed</i></p><p>1<i>− e </i>sin <i>θ </i>=2<i>/</i>3</p><p>1<i>− </i>23 sin <i>θ</i>=</p><p>23<i>− </i>2 sin <i>θ</i></p><p><b>(b) </b><i>e </i>= 1<i>, d </i>= 1<i>, r </i>=<i>ed</i></p><p>1 + <i>e </i>sin <i>θ</i>=</p><p>11 + sin <i>θ</i></p><p><b>(c) </b><i>e </i>= 4<i>/</i>3<i>, d </i>= 1<i>, r </i>=<i>ed</i></p><p>1<i>− e </i>cos <i>θ </i>=4<i>/</i>3</p><p>1<i>− </i>43 cos <i>θ</i>=</p><p>43<i>− </i>4 cos <i>θ</i></p><p><b>7. (a) </b><i>r </i>=<i>ed</i></p><p>1<i>± e </i>cos <i>θ , θ </i>= 0 : 6 =<i>ed</i></p><p>1<i>± e , θ </i>= <i>π </i>: 4 =<i>ed</i></p><p>1<i>∓ e , </i>6 <i>± </i>6<i>e </i>= 4 <i>∓ </i>4<i>e, </i>2 = <i>∓</i>10<i>e</i>, use bottom</p><p>sign to get <i>e </i>= 1<i>/</i>5<i>, d </i>= 24<i>, r </i>=24<i>/</i>5</p><p>1<i>− </i>cos <i>θ </i>=24</p><p>5<i>− </i>5 cos <i>θ</i></p><p><b>(b) </b><i>e </i>= 1<i>, r </i>=<i>d</i></p><p>1<i>− </i>sin <i>θ , </i>1 =<i>d</i></p><p>2<i>, d </i>= 2<i>, r </i>=</p><p>21<i>− </i>sin <i>θ</i></p><p><b>(c) </b><i>r </i>=<i>ed</i></p><p>1<i>± e </i>sin <i>θ , θ </i>= <i>π/</i>2 : 3 =<i>ed</i></p><p>1<i>± e , θ </i>= 3<i>π/</i>2 : <i>−</i>7 =<i>ed</i></p><p>1<i>∓ e , ed </i>= 3<i>±</i>3<i>e </i>= <i>−</i>7<i>±</i>7<i>e, </i>10 = <i>±</i>4<i>e,</i></p><p><i>e </i>= 5<i>/</i>2<i>, d </i>= 21<i>/</i>5<i>, r </i>=21<i>/</i>2</p><p>1 + (5<i>/</i>2) sin <i>θ</i>=</p><p>212 + 5 sin <i>θ</i></p><p><b>8. (a) </b><i>r </i>=<i>ed</i></p><p>1<i>± e </i>sin <i>θ , </i>2 =<i>ed</i></p><p>1<i>± e , </i>6 =<i>ed</i></p><p>1<i>∓ e , </i>2<i>± </i>2<i>e </i>= 6<i>∓ </i>6<i>e</i>, upper sign yields <i>e </i>= 1<i>/</i>2<i>, d </i>= 6<i>,</i></p><p><i>r </i>=3</p><p>1 + 12 sin <i>θ</i>=</p><p>62 + sin <i>θ</i></p><p><b>(b) </b><i>e </i>= 1<i>, r </i>=<i>d</i></p><p>1<i>− </i>cos <i>θ , </i>2 =<i>d</i></p><p>2<i>, d </i>= 4<i>, r </i>=</p><p>41<i>− </i>cos <i>θ</i></p><p><b>(c) </b><i>e </i>=<i>√</i>2<i>, r </i>=</p><p><i>√</i>2<i>d</i></p><p>1 +<i>√</i>2 cos <i>θ</i></p><p>; <i>r </i>= 2 when <i>θ </i>= 0, so <i>d </i>= 2 + 2<i>√</i>2<i>, r </i>=</p><p>2 + 2<i>√</i>2</p><p>1 +<i>√</i>2 cos <i>θ</i></p><p>.</p><p><b>9. (a) </b><i>r </i>=3</p><p>1 + 12 sin <i>θ, e </i>= 1<i>/</i>2<i>, d </i>= 6, directrix 6 units above pole; if <i>θ </i>= <i>π/</i>2 : <i>r</i>0 = 2;</p><p>if <i>θ </i>= 3<i>π/</i>2 : <i>r</i>1 = 6<i>, a </i>= (<i>r</i>0 + <i>r</i>1)<i>/</i>2 = 4<i>, b </i>=<i>√r</i>0<i>r</i>1 = 2</p><p><i>√</i>3, center (0<i>,−</i>2) (rectangular</p><p>coordinates),<i>x</i>2</p><p>12+</p><p>(<i>y </i>+ 2)2</p><p>16= 1</p><p><b>(b) </b><i>r </i>=1<i>/</i>2</p><p>1<i>− </i>12 cos <i>θ, e </i>= 1<i>/</i>2<i>, d </i>= 1, directrix 1 unit left of pole; if <i>θ </i>= <i>π </i>: <i>r</i>0 =</p><p>1<i>/</i>23<i>/</i>2</p><p>= 1<i>/</i>3;</p><p>if <i>θ </i>= 0 : <i>r</i>1 = 1<i>, a </i>= 2<i>/</i>3<i>, b </i>= 1<i>/√</i>3, center = (1<i>/</i>3<i>, </i>0) (rectangular coordinates),</p><p>94(<i>x− </i>1<i>/</i>3)2 + 3<i>y</i>2 = 1</p><p><b>10. (a) </b><i>r </i>=6<i>/</i>5</p><p>1 + 25 cos <i>θ, e </i>= 2<i>/</i>5<i>, d </i>= 3, directrix 3 units right of pole, if <i>θ </i>= 0 : <i>r</i>0 = 6<i>/</i>7,</p><p>if <i>θ </i>= <i>π </i>: <i>r</i>1 = 2<i>, a </i>= 10<i>/</i>7<i>, b </i>= 2<i>√</i>3<i>/√</i>7, center (<i>−</i>4<i>/</i>7<i>, </i>0) (rectangular coordinates),</p><p>49100</p><p>(<i>x</i>+ 4<i>/</i>7)2 +712</p><p><i>y</i>2 = 1</p><p><b>(b) </b><i>r </i>=2</p><p>1<i>− </i>34 sin <i>θ, e </i>= 3<i>/</i>4<i>, d </i>= 8<i>/</i>3, directrix 8/3 units below pole, if <i>θ </i>= 3<i>π/</i>2 : <i>r</i>0 = 8<i>/</i>7,</p><p>if <i>θ </i>= <i>π/</i>2; <i>r</i>1 = 8<i>, a </i>= 32<i>/</i>7<i>, b </i>= 8<i>/√</i>7, center: (0<i>, </i>24<i>/</i>7) (rectangular coordinates),</p><p>764</p><p><i>x</i>2 +491024</p><p>(<i>y − </i>24</p><p>7</p><p>)2= 1</p></div></div><div><div><p><b>Exercise Set 11.6 513</b></p><p><b>11. (a) </b><i>r </i>=3</p><p>1 + 2 sin <i>θ, e </i>= 2<i>, d </i>= 3<i>/</i>2, hyperbola, directrix 3/2 units above pole, if <i>θ </i>= <i>π/</i>2 :</p><p><i>r</i>0 = 1; <i>θ </i>= 3<i>π/</i>2 : <i>r </i>= <i>−</i>3, so <i>r</i>1 = 3, center (0<i>, </i>2)<i>, a </i>= 1<i>, b </i>=<i>√</i>3<i>,−x</i></p><p>2</p><p>3+ (<i>y − </i>2)2 = 1</p><p><b>(b) </b><i>r </i>=5<i>/</i>2</p><p>1<i>− </i>32 cos <i>θ, e </i>= 3<i>/</i>2<i>, d </i>= 5<i>/</i>3, hyperbola, directrix 5/3 units left of pole, if <i>θ </i>= <i>π </i>:</p><p><i>r</i>0 = 1; <i>θ </i>= 0 : <i>r </i>= <i>−</i>5<i>, r</i>1 = 5, center (<i>−</i>3<i>, </i>0)<i>, a </i>= 2<i>, b </i>=<i>√</i>5<i>,</i></p><p>14(<i>x</i>+ 3)2 <i>− </i>1</p><p>5<i>y</i>2 = 1</p><p><b>12. (a) </b><i>r </i>=4</p><p>1<i>− </i>2 sin <i>θ , e </i>= 2<i>, d </i>= 2, hyperbola, directrix 2 units below pole, if <i>θ </i>= 3<i>π/</i>2 : <i>r</i>0 = 4<i>/</i>3;</p><p><i>θ </i>= <i>π/</i>2 : <i>r</i>1 =∣∣∣∣ 41<i>− </i>2</p><p>∣∣∣∣ = 4, center (0<i>,−</i>8<i>/</i>3)<i>, a </i>= 4<i>/</i>3<i>, b </i>= 4<i>/√</i>3<i>, </i>916(<i>y </i>+</p><p>83</p><p>)2<i>− </i>3</p><p>16<i>x</i>2 = 1</p><p><b>(b) </b><i>r </i>=15<i>/</i>2</p><p>1 + 4 cos <i>θ, e </i>= 4<i>, d </i>= 15<i>/</i>8, hyperbola, directrix 15/8 units right of pole, if <i>θ </i>= 0 :</p><p><i>r</i>0 = 3<i>/</i>2; <i>θ </i>= <i>π </i>: <i>r</i>1 =∣∣∣∣<i>−</i>52</p><p>∣∣∣∣ = 5<i>/</i>2<i>, a </i>= 1<i>/</i>2<i>, b </i>=<i>√</i>152</p><p>, center (2<i>, </i>0)<i>, </i>4(<i>x− </i>2)2 <i>− </i>415</p><p><i>y</i>2 = 1</p><p><b>13. (a) </b><i>r </i>=12<i>d</i></p><p>1 + 12 cos <i>θ</i>=</p><p><i>d</i></p><p>2 + cos <i>θ</i>, if <i>θ </i>= 0 : <i>r</i>0 = <i>d/</i>3; <i>θ </i>= <i>π, r</i>1 = <i>d,</i></p><p>8 = <i>a </i>=12(<i>r</i>1 + <i>r</i>0) =</p><p>23<i>d, d </i>= 12<i>, r </i>=</p><p>122 + cos <i>θ</i></p><p><b>(b) </b><i>r </i>=35<i>d</i></p><p>1<i>− </i>35 sin <i>θ</i>=</p><p>3<i>d</i>5<i>− </i>3 sin <i>θ </i>, if <i>θ </i>= 3<i>π/</i>2 : <i>r</i>0 =</p><p>38<i>d</i>; <i>θ </i>= <i>π/</i>2<i>, r</i>1 =</p><p>32<i>d,</i></p><p>4 = <i>a </i>=12(<i>r</i>1 + <i>r</i>0) =</p><p>1516</p><p><i>d, d </i>=6415</p><p><i>, r </i>=3(64<i>/</i>15)5<i>− </i>3 sin <i>θ </i>=</p><p>6425<i>− </i>15 sin <i>θ</i></p><p><b>(c) </b><i>r </i>=35<i>d</i></p><p>1<i>− </i>35 cos <i>θ</i>=</p><p>3<i>d</i>5<i>− </i>3 cos <i>θ </i>, if <i>θ </i>= <i>π </i>: <i>r</i>0 =</p><p>38<i>d</i>; <i>θ </i>= 0<i>, r</i>1 =</p><p>32<i>d, </i>4 = <i>b </i>=</p><p>34<i>d,</i></p><p><i>d </i>= 16<i>/</i>3<i>, r </i>=16</p><p>5<i>− </i>3 cos <i>θ</i></p><p><b>(d) </b><i>r </i>=15<i>d</i></p><p>1 + 15 sin <i>θ</i>=</p><p><i>d</i></p><p>5 + sin <i>θ</i>, if <i>θ </i>= <i>π/</i>2 : <i>r</i>0 = <i>d/</i>6; <i>θ </i>= 3<i>π/</i>2<i>, r</i>1 = <i>d/</i>4<i>,</i></p><p>5 = <i>c </i>=12<i>d</i></p><p>(14<i>− </i>1</p><p>6</p><p>)=</p><p>124</p><p><i>d, d </i>= 120<i>, r </i>=120</p><p>5 + sin <i>θ</i></p><p><b>14. (a) </b><i>r </i>=12<i>d</i></p><p>1 + 12 sin <i>θ</i>=</p><p><i>d</i></p><p>2 + sin <i>θ</i>, if <i>θ </i>= <i>π/</i>2 : <i>r</i>0 = <i>d/</i>3; <i>θ </i>= 3<i>π/</i>2 : <i>r</i>1 = <i>d,</i></p><p>6 = <i>a </i>=12(<i>r</i>0 + <i>r</i>1) =</p><p>23<i>d, d </i>= 9<i>, r </i>=</p><p>92 + sin <i>θ</i></p><p><b>(b) </b><i>r </i>=15<i>d</i></p><p>1<i>− </i>15 cos <i>θ</i>=</p><p><i>d</i></p><p>5<i>− </i>cos <i>θ </i>, if <i>θ </i>= <i>π </i>: <i>r</i>0 = <i>d/</i>6<i>, θ </i>= 0 : <i>r</i>1 = <i>d/</i>4<i>,</i></p><p>5 = <i>a </i>=12(<i>r</i>1 + <i>r</i>0) =</p><p>12<i>d</i></p><p>(14+</p><p>16</p><p>)=</p><p>524</p><p><i>d, d </i>= 24<i>, r </i>=24</p><p>5<i>− </i>cos <i>θ</i></p></div></div><div><div><p><b>514 Chapter 11</b></p><p><b>(c) </b><i>r </i>=45<i>d</i></p><p>1<i>− </i>45 sin <i>θ</i>=</p><p>4<i>d</i>5<i>− </i>4 sin <i>θ </i>, if <i>θ </i>= 3<i>π/</i>2 : <i>r</i>0 =</p><p>49<i>d, θ </i>= <i>π/</i>2 : <i>r</i>1 = 4<i>d, </i>4 = <i>b </i>=</p><p>43<i>d,</i></p><p><i>d </i>= 3<i>, r </i>=12</p><p>5<i>− </i>4 sin <i>θ</i></p><p><b>(d) </b><i>r </i>=34<i>d</i></p><p>1 + 34 cos <i>θ</i>=</p><p>3<i>d</i>4 + 3 cos <i>θ</i></p><p>, if <i>θ </i>= 0 : <i>r</i>0 =37<i>d</i>; <i>θ </i>= <i>π </i>: <i>r</i>1 = 3<i>d,</i></p><p><i>c </i>= 10 =12(<i>r</i>1 <i>− r</i>0) =</p><p>12<i>d</i></p><p>(3<i>− </i>3</p><p>7</p><p>)=</p><p>97<i>d, d </i>=</p><p>709<i>, r </i>=</p><p>70<i>/</i>34 + 3 cos <i>θ</i></p><p>=70</p><p>12 + 9 cos <i>θ</i></p><p><b>15. </b>A hyperbola is equilateral if and only if <i>a </i>= <i>b </i>if and only if <i>c </i>=<i>√</i>2<i>a </i>=</p><p><i>√</i>2<i>b</i>, which is equivalent to</p><p><i>e </i>=<i>c</i></p><p><i>a</i>=</p><p><i>√</i>2.</p><p><b>17. </b>Since the foci are fixed, <i>c </i>is constant; since <i>e → </i>0, the distance <i>ae</i>=</p><p><i>c</i></p><p><i>e</i>2<i>→ </i>+<i>∞</i>.</p><p><b>18. (a) </b>From Figure 11.4.22,<i>x</i>2</p><p><i>a</i>2<i>− y</i></p><p>2</p><p><i>b</i>2= 1<i>,</i></p><p><i>x</i>2</p><p><i>a</i>2<i>− y</i></p><p>2</p><p><i>c</i>2 <i>− a</i>2 = 1<i>,</i>(1<i>− c</i></p><p>2</p><p><i>a</i>2</p><p>)<i>x</i>2 + <i>y</i>2 = <i>a</i>2 <i>− c</i>2<i>,</i></p><p><i>c</i>2 + <i>x</i>2 + <i>y</i>2 =( <i>cax</i>)2</p><p>+ <i>a</i>2<i>, </i>(<i>x− c</i>)2 + <i>y</i>2 =( <i>cax− a</i></p><p>)2<i>,</i></p><p>√(<i>x− c</i>)2 + <i>y</i>2 = <i>c</i></p><p><i>ax− a </i>for <i>x > a</i>2<i>/c</i>.</p><p><b>(b) </b>From Part (a) and Figure 11.6.1, <i>PF </i>=<i>c</i></p><p><i>aPD,</i></p><p><i>PF</i></p><p><i>PD</i>= <i>c/a</i>.</p><p><b>19. (a) </b><i>e </i>= <i>c/a </i>=12 (<i>r</i>1 <i>− r</i>0)12 (<i>r</i>1 + <i>r</i>0)</p><p>=<i>r</i>1 <i>− r</i>0<i>r</i>1 + <i>r</i>0</p><p><b>(b) </b><i>e </i>=<i>r</i>1<i>/r</i>0 <i>− </i>1<i>r</i>1<i>/r</i>0 + 1</p><p><i>, e</i>(<i>r</i>1<i>/r</i>0 + 1) = <i>r</i>1<i>/r</i>0 <i>− </i>1<i>,r</i>1<i>r</i>0</p><p>=1 + <i>e</i>1<i>− e</i></p><p><b>20. (a) </b><i>e </i>= <i>c/a </i>=12 (<i>r</i>1 + <i>r</i>0)12 (<i>r</i>1 <i>− r</i>0)</p><p>=<i>r</i>1 + <i>r</i>0<i>r</i>1 <i>− r</i>0</p><p><b>(b) </b><i>e </i>=<i>r</i>1<i>/r</i>0 + 1<i>r</i>1<i>/r</i>0 <i>− </i>1</p><p><i>, e</i>(<i>r</i>1<i>/r</i>0 <i>− </i>1) = <i>r</i>1<i>/r</i>0 + 1<i>,r</i>1<i>r</i>0</p><p>=<i>e</i>+ 1<i>e− </i>1</p><p><b>21. </b><i>a </i>= <i>b </i>= 5<i>, e </i>= <i>c/a </i>=<i>√</i>50<i>/</i>5 =</p><p><i>√</i>2<i>, r </i>=</p><p><i>√</i>2<i>d</i></p><p>1 +<i>√</i>2 cos <i>θ</i></p><p>; <i>r </i>= 5 when <i>θ </i>= 0, so <i>d </i>= 5 +5<i>√</i>2<i>,</i></p><p><i>r </i>=5<i>√</i>2 + 5</p><p>1 +<i>√</i>2 cos <i>θ</i></p><p>.</p><p><b>22. (a)</b></p><p>–5 5</p><p>–5</p><p>5</p><p>0</p><p>c/2 <b>(b) </b><i>θ </i>= <i>π/</i>2<i>, </i>3<i>π/</i>2<i>, r </i>= 1</p></div></div><div><div><p><b>Exercise Set 11.6 515</b></p><p><b>(c) </b><i>dy/dx </i>=<i>r </i>cos <i>θ </i>+ (<i>dr/dθ</i>) sin <i>θ−r </i>sin <i>θ </i>+ (<i>dr/dθ</i>) cos <i>θ </i>; at <i>θ </i>= <i>π/</i>2<i>,m</i>1 = (<i>−</i>1)<i>/</i>(<i>−</i>1) = 1<i>,m</i>2 = 1<i>/</i>(<i>−</i>1) = <i>−</i>1<i>,</i></p><p><i>m</i>1<i>m</i>2 = <i>−</i>1; and at <i>θ </i>= 3<i>π/</i>2<i>,m</i>1 = <i>−</i>1<i>,m</i>2 = 1<i>,m</i>1<i>m</i>2 = <i>−</i>1</p><p><b>23. (a) </b><i>T </i>= <i>a</i>3<i>/</i>2 = 39<i>.</i>51<i>.</i>5 <i>≈ </i>248 yr<b>(b) </b><i>r</i>0 = <i>a</i>(1<i>− e</i>) = 39<i>.</i>5(1<i>− </i>0<i>.</i>249) = 29<i>.</i>6645 AU <i>≈ </i>4<i>,</i>449<i>,</i>675<i>,</i>000 km</p><p><i>r</i>1 = <i>a</i>(1 + <i>e</i>) = 39<i>.</i>5(1 + 0<i>.</i>249) = 49<i>.</i>3355 AU <i>≈ </i>7<i>,</i>400<i>,</i>325<i>,</i>000 km</p><p><b>(c) </b><i>r </i>=<i>a</i>(1<i>− e</i>2)1 + <i>e </i>cos <i>θ</i></p><p><i>≈ </i>39<i>.</i>5(1<i>− </i>(0<i>.</i>249)2)</p><p>1 + 0<i>.</i>249 cos <i>θ≈ </i>37<i>.</i>05</p><p>1 + 0<i>.</i>249 cos <i>θ</i>AU</p><p><b>(d)</b></p><p>0</p><p>c/2</p><p>–50</p><p>50</p><p>–30 20</p><p><b>24. (a) </b>In yr and AU, <i>T </i>= <i>a</i>3<i>/</i>2; in days and km,<i>T</i></p><p>365=(</p><p><i>a</i></p><p>150<i>× </i>106)3<i>/</i>2</p><p>,</p><p>so <i>T </i>= 365<i>× </i>10<i>−</i>9( <i>a</i>150</p><p>)3<i>/</i>2days.</p><p><b>(b) </b><i>T </i>= 365<i>× </i>10<i>−</i>9(57<i>.</i>95<i>× </i>106</p><p>150</p><p>)3<i>/</i>2<i>≈ </i>87<i>.</i>6 days</p><p><b>(c) </b><i>r </i>=55490833<i>.</i>8</p><p>1 + 0<i>.</i>206 cos <i>θ</i></p><p>From (17) the polar equation of the orbit has the form <i>r </i>=<i>a</i>(1<i>− e</i>2)1 + <i>e </i>cos <i>θ</i></p><p>=55490833<i>.</i>81 + <i>.</i>206 cos <i>θ</i></p><p>km,</p><p>or <i>r </i>=0<i>.</i>3699</p><p>1 + 0<i>.</i>206 cos <i>θ</i>AU.</p><p><b>(d)</b></p><p>0</p><p>c/2</p><p>0.2–0.2</p><p>–0.4</p><p>0.4</p><p><b>25. (a) </b><i>a </i>= <i>T </i>2<i>/</i>3 = 23802<i>/</i>3 <i>≈ </i>178<i>.</i>26 AU<b>(b) </b><i>r</i>0 = <i>a</i>(1<i>− e</i>) <i>≈ </i>0<i>.</i>8735 AU<i>, r</i>1 = <i>a</i>(1 + <i>e</i>) <i>≈ </i>355<i>.</i>64 AU</p></div></div><div><div><p><b>516 Chapter 11</b></p><p><b>(c) </b><i>r </i>=<i>a</i>(1<i>− e</i>2)1 + <i>e </i>cos <i>θ</i></p><p><i>≈ </i>1<i>.</i>741 + 0<i>.</i>9951 cos <i>θ</i></p><p>AU</p><p><b>(d)</b></p><p>0</p><p>c/2</p><p>–180</p><p>4</p><p><b>26. (a) </b>By Exercise 15(a), <i>e </i>=<i>r</i>1 <i>− r</i>0<i>r</i>1 + <i>r</i>0</p><p><i>≈ </i>0<i>.</i>092635</p><p><b>(b) </b><i>a </i>= 12 (<i>r</i>0 + <i>r</i>1) = 225<i>,</i>400<i>,</i>000 km <i>≈ </i>1<i>.</i>503 AU, so <i>T </i>= <i>a</i>3<i>/</i>2 <i>≈ </i>1<i>.</i>84 yr</p><p><b>(c) </b><i>r </i>=<i>a</i>(1<i>− e</i>2)1 + <i>e </i>cos <i>θ</i></p><p><i>≈ </i>223465774<i>.</i>61 + 0<i>.</i>092635 cos <i>θ</i></p><p>km, or <i>≈ </i>1<i>.</i>489771 + 0<i>.</i>092635 cos <i>θ</i></p><p>AU</p><p><b>(d)</b></p><p>0</p><p>c/2</p><p>1.3635</p><p>1.49</p><p>1.49</p><p>1.6419</p><p><b>27. </b><i>r</i>0 = <i>a</i>(1<i>− e</i>) <i>≈ </i>7003 km, <i>h</i>min <i>≈ </i>7003<i>− </i>6440 = 563 km,<i>r</i>1 = <i>a</i>(1 + <i>e</i>) <i>≈ </i>10<i>,</i>726 km, <i>h</i>max <i>≈ </i>10<i>,</i>726<i>− </i>6440 = 4286 km</p><p><b>28. </b><i>r</i>0 = <i>a</i>(1<i>− e</i>) <i>≈ </i>651<i>,</i>736 km, <i>h</i>min <i>≈ </i>581<i>,</i>736 km; <i>r</i>1 = <i>a</i>(1 + <i>e</i>) <i>≈ </i>6<i>,</i>378<i>,</i>102 km,<i>h</i>max <i>≈ </i>6<i>,</i>308<i>,</i>102 km</p><p><b>REVIEW EXERCISE SET</b></p><p><b>1. (a) </b>(<i>−</i>4<i>√</i>2<i>,−</i>4</p><p><i>√</i>2) <b>(b) </b>(7</p><p><i>√</i>2<i>/</i>2<i>,−</i>7</p><p><i>√</i>2<i>/</i>2) <b>(c) </b>(4</p><p><i>√</i>2<i>, </i>4</p><p><i>√</i>2)</p><p><b>(d) </b>(5<i>, </i>0) <b>(e) </b>(0<i>,−</i>2) <b>(f) </b>(0<i>, </i>0)</p><p><b>2. (a) </b>(<i>√</i>2<i>, </i>3<i>π/</i>4) <b>(b) </b>(<i>−</i></p><p><i>√</i>2<i>, </i>7<i>π/</i>4) <b>(c) </b>(</p><p><i>√</i>2<i>, </i>3<i>π/</i>4) <b>(d) </b>(<i>−</i></p><p><i>√</i>2<i>,−π/</i>4)</p><p><b>3. (a) </b>(5<i>, </i>0<i>.</i>6435) <b>(b) </b>(<i>√</i>29<i>, </i>5<i>.</i>0929) <b>(c) </b>(1<i>.</i>2716<i>, </i>0<i>.</i>6658)</p><p><b>4. (a) </b>circle <b>(b) </b>rose <b>(c) </b>line <b>(d) </b>limaçon<b>(e) </b>limaçon <b>(f) </b>none <b>(g) </b>none <b>(h) </b>spiral</p></div></div><div><div><p><b>Review Exercise Set 517</b></p><p><b>5. (a) </b><i>r </i>= 2<i>a/</i>(1 + cos <i>θ</i>)<i>, r </i>+ <i>x </i>= 2<i>a, x</i>2 + <i>y</i>2 = (2<i>a− x</i>)2<i>, y</i>2 = <i>−</i>4<i>ax</i>+ 4<i>a</i>2, parabola<b>(b) </b><i>r</i>2(cos2 <i>θ − </i>sin2 <i>θ</i>) = <i>x</i>2 <i>− y</i>2 = <i>a</i>2, hyperbola<b>(c) </b><i>r </i>sin(<i>θ − π/</i>4) = (</p><p><i>√</i>2<i>/</i>2)<i>r</i>(sin <i>θ − </i>cos <i>θ</i>) = 4<i>, y − x </i>= 4</p><p><i>√</i>2, line</p><p><b>(d) </b><i>r</i>2 = 4<i>r </i>cos <i>θ </i>+ 8<i>r </i>sin <i>θ, x</i>2 + <i>y</i>2 = 4<i>x</i>+ 8<i>y, </i>(<i>x− </i>2)2 + (<i>y − </i>4)2 = 20, circle</p><p><b>6. (a) </b><i>r </i>cos <i>θ </i>= 7 <b>(b) </b><i>r </i>= 3<b>(c) </b><i>r</i>2 <i>− </i>6<i>r </i>sin <i>θ </i>= 0, <i>r </i>= 6 sin <i>θ<b></b></i><b>(d) </b>4(<i>r </i>cos <i>θ</i>)(<i>r </i>sin <i>θ</i>) = 9, 4<i>r</i>2 sin <i>θ </i>cos <i>θ </i>= 9, <i>r</i>2 sin 2<i>θ </i>= 9<i>/</i>2</p><p><b>7.</b></p><p>Line</p><p>2</p><p><b>8.</b></p><p>6</p><p>Circle</p><p><b>9.</b></p><p>Cardioid</p><p>3</p><p>6</p><p><b>10.</b>3</p><p>21</p><p>Limaçon</p><p><b>11.</b></p><p>4 2</p><p>3</p><p>Limaçon</p><p><b>12.</b>1</p><p>Lemniscate</p><p><b>13. (a) </b><i>x </i>= <i>r </i>cos <i>θ </i>= cos <i>θ − </i>cos2 <i>θ, dx/dθ </i>= <i>− </i>sin <i>θ </i>+ 2 sin <i>θ </i>cos <i>θ </i>= sin <i>θ</i>(2 cos <i>θ − </i>1) = 0 if sin <i>θ </i>= 0or cos <i>θ </i>= 1<i>/</i>2, so <i>θ </i>= 0<i>, π, π/</i>3<i>, </i>5<i>π/</i>3; maximum <i>x </i>= 1<i>/</i>4 at <i>θ </i>= <i>π/</i>3<i>, </i>5<i>π/</i>3, minimum <i>x </i>= <i>−</i>2at <i>θ </i>= <i>π</i>;</p><p><b>(b) </b><i>y </i>= <i>r </i>sin <i>θ </i>= sin <i>θ − </i>sin <i>θ </i>cos <i>θ, dy/dθ </i>= cos <i>θ </i>+ 1<i>− </i>2 cos2 <i>θ </i>= 0 at cos <i>θ </i>= 1<i>,−</i>1<i>/</i>2, so<i>θ </i>= 0<i>, </i>2<i>π/</i>3<i>, </i>4<i>π/</i>3; maximum <i>y </i>= 3</p><p><i>√</i>3<i>/</i>4 at <i>θ </i>= 2<i>π/</i>3, minimum <i>y </i>= <i>−</i>3</p><p><i>√</i>3<i>/</i>4 at <i>θ </i>= 4<i>π/</i>3</p><p><b>14. (a) </b><i>y </i>= <i>r </i>sin <i>θ </i>= (sin <i>θ</i>)<i>/√θ, dy/dθ </i>=</p><p>2<i>θ </i>cos <i>θ − </i>sin <i>θ</i>2<i>θ</i>3<i>/</i>2</p><p>= 0 if 2<i>θ </i>cos <i>θ </i>= sin <i>θ, </i>tan <i>θ </i>= 2<i>θ </i>which</p><p>only happens once on (0<i>, π</i>]. Since lim<i>θ→</i>0+</p><p><i>y </i>= 0 and <i>y </i>= 0 at <i>θ </i>= <i>π</i>, <i>y </i>has a maximum when</p><p>tan <i>θ </i>= 2<i>θ</i>.</p><p><b>(b) </b><i>θ ≈ </i>1<i>.</i>16556<b>(c) </b><i>y</i>max = (sin <i>θ</i>)<i>/</i></p><p><i>√θ ≈ </i>0<i>.</i>85124</p><p><b>15. (a) </b><i>dy/dx </i>=1<i>/</i>22<i>t</i></p><p>= 1<i>/</i>(4<i>t</i>); <i>dy/dx</i>∣∣<i>t</i>=<i>−</i>1 = <i>−</i>1<i>/</i>4; <i>dy/dx</i></p><p>∣∣<i>t</i>=1 = 1<i>/</i>4</p><p><b>(b) </b><i>x </i>= (2<i>y</i>)2 + 1<i>, dx/dy </i>= 8<i>y, dy/dx</i>∣∣<i>y</i>=<i>±</i>(1<i>/</i>2) = <i>±</i>1<i>/</i>4</p><p><b>16. </b><i>dy/dx </i>=<i>t</i>2</p><p><i>t</i>= <i>t</i>, <i>d</i>2<i>y/dx</i>2 =</p><p>1<i>t</i>, <i>dy/dx</i></p><p>∣∣<i>t</i>=2 = 2, <i>d</i></p><p>2<i>y/dx</i>2∣∣<i>t</i>=2 = 1<i>/</i>2</p></div></div><div><div><p><b>518 Chapter 11</b></p><p><b>17. </b><i>dy/dx </i>=4 cos <i>t−</i>2 sin <i>t </i>= <i>−</i>2 cot <i>t</i></p><p><b>(a) </b><i>dy/dx </i>= 0 if cot <i>t </i>= 0, <i>t </i>= <i>π/</i>2 + <i>nπ </i>for <i>n </i>= 0<i>,±</i>1<i>, · · ·</i></p><p><b>(b) </b><i>dx/dy </i>= <i>−</i>12tan <i>t </i>= 0 if tan <i>t </i>= 0, <i>t </i>= <i>nπ </i>for <i>n </i>= 0<i>,±</i>1<i>, · · ·</i></p><p><b>18. </b>Use equation (7) of Section 11.2:<i>dy</i></p><p><i>dx</i>=</p><p><i>dy/dθ</i></p><p><i>dx/dθ</i>=</p><p><i>r </i>cos <i>θ </i>+ sin <i>θ drdθ−r </i>sin <i>θ </i>+ cos <i>θ drdθ</i></p><p>, then set <i>θ </i>= <i>π/</i>4, <i>dr/dθ </i>=<i>√</i>2<i>/</i>2, <i>r </i>= 1 +</p><p><i>√</i>2<i>/</i>2, <i>m </i>= <i>−</i>1<i>−</i></p><p><i>√</i>2</p><p><b>19. (a) </b>As <i>t </i>runs from 0 to <i>π</i>, the upper portion of the curve is traced out from right to left; as <i>t</i>runs from <i>π </i>to 2<i>π </i>the bottom portion of the curve is traced out from right to left. The loop</p><p>occurs for <i>π </i>+ sin<i>−</i>114<i>< t < </i>2<i>π − </i>sin<i>−</i>1 1</p><p>4.</p><p><b>(b) </b>lim<i>t→</i>0+</p><p><i>x </i>= +<i>∞, </i>lim<i>t→</i>0+</p><p><i>y </i>= 1; lim<i>t→π−</i></p><p><i>x </i>= <i>−∞, </i>lim<i>t→π−</i></p><p><i>y </i>= 1; lim<i>t→π</i>+</p><p><i>x </i>= +<i>∞, </i>lim<i>t→π</i>+</p><p><i>y </i>= 1;</p><p>lim<i>t→</i>2<i>π−</i></p><p><i>x </i>= <i>−∞, </i>lim<i>t→</i>2<i>π−</i></p><p><i>y </i>= 1; the horizontal asymptote is <i>y </i>= 1.</p><p><b>(c) </b>horizontal tangent line when <i>dy/dx </i>= 0, or <i>dy/dt </i>= 0, so cos <i>t </i>= 0<i>, t </i>= <i>π/</i>2<i>, </i>3<i>π/</i>2;</p><p>vertical tangent line when <i>dx/dt </i>= 0, so <i>− </i>csc2 <i>t−</i>4 sin <i>t </i>= 0<i>, t </i>= <i>π</i>+sin<i>−</i>1 13<i>√</i>4<i>, </i>2<i>π−</i>sin<i>−</i>1 1</p><p>3<i>√</i>4<i>,</i></p><p><i>t </i>= 3<i>.</i>823<i>, </i>5<i>.</i>602</p><p><b>(d) </b><i>r</i>2 = <i>x</i>2 + <i>y</i>2 = (cot <i>t</i>+ 4 cos <i>t</i>)2 + (1 + 4 sin <i>t</i>)2 = (4 + csc <i>t</i>)2<i>, r </i>= 4 + csc <i>t</i>; with <i>t </i>= <i>θ,f</i>(<i>θ</i>) = 4 + csc <i>θ</i>;<i>m </i>= <i>dy/dx </i>= (<i>f</i>(<i>θ</i>) cos <i>θ </i>+ <i>f ′</i>(<i>θ</i>) sin <i>θ</i>)<i>/</i>(<i>−f</i>(<i>θ</i>) sin <i>θ </i>+ <i>f ′</i>(<i>θ</i>) cos <i>θ</i>); when<i>θ </i>= <i>π </i>+ sin<i>−</i>1(1<i>/</i>4)<i>,m </i>=</p><p><i>√</i>15<i>/</i>15, when <i>θ </i>= 2<i>π − </i>sin<i>−</i>1(1<i>/</i>4)<i>,m </i>= <i>−</i></p><p><i>√</i>15<i>/</i>15, so the tangent</p><p>lines to the conchoid at the pole have polar equations <i>θ </i>= <i>± </i>tan<i>−</i>1 1<i>√</i>15</p><p>.</p><p><b>20. (a) </b><i>r </i>= 1<i>/θ, dr/dθ </i>= <i>−</i>1<i>/θ</i>2<i>, r</i>2 + (<i>dr/dθ</i>)2 = 1<i>/θ</i>2 + 1<i>/θ</i>4<i>, L </i>=∫ <i>π/</i>2<i>π/</i>4</p><p>1<i>θ</i>2</p><p>√1 + <i>θ</i>2 <i>dθ ≈ </i>0<i>.</i>9457 by</p><p>Endpaper Table Formula 93.</p><p><b>(b) </b>The integral∫ +<i>∞</i>1</p><p>1<i>θ</i>2</p><p>√1 + <i>θ</i>2 <i>dθ </i>diverges by the comparison test (with 1<i>/θ</i>), and thus the</p><p>arc length is infinite.</p><p><b>21. </b><i>A </i>= 2∫ <i>π</i>0</p><p>12(2 + 2 cos <i>θ</i>)2<i>dθ </i>= 6<i>π <b></b></i><b>22. </b><i>A </i>=</p><p>∫ <i>π/</i>20</p><p>12(1 + sin <i>θ</i>)2<i>dθ </i>= 3<i>π/</i>8 + 1</p><p><b>23. </b>=∫ <i>π/</i>60</p><p>4 sin2 <i>θ dθ </i>+∫ <i>π/</i>4<i>π/</i>6</p><p>1 <i>dθ </i>=∫ <i>π/</i>60</p><p>2(1<i>− </i>cos 2<i>θ</i>) <i>dθ </i>+ <i>π</i>12</p><p>= (2<i>θ − </i>sin 2<i>θ</i>)]<i>π/</i>60</p><p>+<i>π</i></p><p>12</p><p>=<i>π</i></p><p>3<i>−</i></p><p><i>√</i>32</p><p>+<i>π</i></p><p>12=</p><p>5<i>π</i>12</p><p><i>−√</i>32</p><p><b>24. </b>The circle has radius <i>a/</i>2 and lies entirely inside the cardioid, so</p><p><i>A </i>=∫ 2<i>π</i>0</p><p>12<i>a</i>2(1 + sin <i>θ</i>)2 <i>dθ − πa</i>2<i>/</i>4 = 3<i>a</i></p><p>2</p><p>2<i>π − a</i></p><p>2</p><p>4<i>π </i>=</p><p>5<i>a</i>2</p><p>4<i>π</i></p></div></div><div><div><p><b>Review Exercise Set 519</b></p><p><b>25.</b></p><p>–3 3</p><p>–3</p><p>3</p><p>32</p><p><i>F</i>( , 0)<i>x</i></p><p><i>y</i></p><p>32</p><p><i>x</i> = –</p><p><b>26.</b></p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p>94<i>F </i>(0, – )</p><p>94</p><p><i>y</i> = </p><p>–5 5</p><p>–5</p><p>5</p><p><b>27.</b>234</p><p><i>x</i> =</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p>94</p><p><i>F</i>( , –1)<i>V</i>(4, –1)</p><p><b>28.</b></p><p>12</p><p><i>y</i> =</p><p><i>F</i>( , )1232</p><p><i>V</i>( , 1)12</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p><b>29. </b><i>c</i>2 = 25<i>− </i>4 = 21, <i>c </i>=<i>√</i>21</p><p>(0, 5)</p><p>(0, –5)</p><p>(–2, 0) (2, 0)</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p>(0, –√21)</p><p>(0, √21)</p><p><b>30.</b><i>x</i>2</p><p>9+</p><p><i>y</i>2</p><p>4= 1</p><p><i>c</i>2 = 9<i>− </i>4 = 5<i>, c </i>=<i>√</i>5</p><p>(0, 2)</p><p>(0, –2)</p><p>(–3, 0)</p><p>(3, 0)</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p>(–√5, 0)</p><p>(√5, 0)</p><p><b>31.</b>(<i>x− </i>1)2</p><p>16+</p><p>(<i>y − </i>3)29</p><p>= 1</p><p><i>c</i>2 = 16<i>− </i>9 = 7<i>, c </i>=<i>√</i>7</p><p>(1, 6)</p><p>(1, 0)</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p>(1 – √7, 3) (1 + √7, 3)</p><p>(5, 3)(–3, 3)</p><p><b>32.</b>(<i>x</i>+ 2)2</p><p>4+</p><p>(<i>y </i>+ 1)2</p><p>3= 1</p><p><i>c</i>2 = 4<i>− </i>3 = 1<i>, c </i>= 1</p><p>(–4, –1)(–3, –1)</p><p>(–1, –1)(0, –1)</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p>(–2, –1 + √3)</p><p>(–2, –1 – √3)</p></div></div><div><div><p><b>520 Chapter 11</b></p><p><b>33. </b><i>c</i>2 = <i>a</i>2 + <i>b</i>2 = 16 + 4 = 20<i>, c </i>= 2<i>√</i>5</p><p>(–4, 0) (4, 0)</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p>12</p><p><i>y</i> = – <i>x </i>12</p><p><i>y</i> = <i>x</i></p><p>(–2√5, 0) (2√5, 0)</p><p><b>34. </b><i>y</i>2<i>/</i>4<i>− x</i>2<i>/</i>9 = 1<i>c</i>2 = 4 + 9 = 13<i>, c </i>=</p><p><i>√</i>13</p><p>(0, –2)</p><p>(0, 2)</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p>23</p><p><i>y</i> = – <i>x </i>23</p><p><i>y</i> = <i>x</i></p><p>(0, √13)</p><p>(0, –√13)</p><p><b>35. </b><i>c</i>2 = 9 + 4 = 13<i>, c </i>=<i>√</i>13</p><p>(5, 4)</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p>(2 – √13, 4) (2 + √13, 4)(–1, 4)</p><p><i>y</i> – 4 = – (<i>x</i> – 2)23</p><p><i>y</i> – 4 = (<i>x</i> – 2)23</p><p><b>36. </b>(<i>y </i>+ 3)2<i>/</i>36<i>− </i>(<i>x</i>+ 2)2<i>/</i>4 = 1<i>c</i>2 = 36 + 4 = 40<i>, c </i>= 2</p><p><i>√</i>10</p><p>(–2, 3)</p><p>(–2, –9)</p><p><i>y</i> + 3 = –3(<i>x</i> + 2) <i>y</i> + 3 = 3(<i>x</i> + 2)</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i>(–2, –3 + 2√10)</p><p>(–2, –3 – 2√10)</p><p><b>37. (a)</b></p><p>–4 8</p><p>–10</p><p>2<i>x</i></p><p><i>y <b></b></i><b>(b)</b></p><p>2 10</p><p>–3</p><p>4</p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p><b>(c)</b></p><p>–8 8</p><p>–12</p><p>4<i>x</i></p><p><i>y</i></p><p><b>39. </b><i>x</i>2 = <i>−</i>4<i>py</i>, <i>p </i>= 4, <i>x</i>2 = <i>−</i>16<i>y <b></b></i><b>40. </b><i>x</i>2 + <i>y</i>2<i>/</i>5 = 1</p><p><b>41. </b><i>a </i>= 3, <i>a/b </i>= 1, <i>b </i>= 3; <i>y</i>2<i>/</i>9<i>− x</i>2<i>/</i>9 = 1</p></div></div><div><div><p><b>Review Exercise Set 521</b></p><p><b>42. (a) </b>The equation of the parabola is <i>y </i>= <i>ax</i>2 and it passes through (2100<i>, </i>470), thus <i>a </i>=47021002</p><p><i>,</i></p><p><i>y </i>=47021002</p><p><i>x</i>2.</p><p><b>(b) </b><i>L </i>= 2∫ 21000</p><p>√1 +</p><p>(2</p><p>47021002</p><p><i>x</i></p><p>)2<i>dx</i></p><p>=<i>x</i></p><p>220500</p><p>√48620250000 + 2209<i>x</i>2 +</p><p>22050047</p><p>sinh<i>−</i>1(</p><p>47220500</p><p><i>x</i></p><p>)<i>≈ </i>4336<i>.</i>3 ft</p><p><b>43. (a) </b><i>y </i>= <i>y</i>0 + (<i>v</i>0 sin<i>α</i>)<i>x</i></p><p><i>v</i>0 cos<i>α− g</i></p><p>2</p><p>(<i>x</i></p><p><i>v</i>0 cos<i>α</i></p><p>)2= <i>y</i>0 + <i>x </i>tan<i>α−</i></p><p><i>g</i></p><p>2<i>v</i>20 cos2 <i>αx</i>2</p><p><b>(b)</b><i>dy</i></p><p><i>dx</i>= tan<i>α− g</i></p><p><i>v</i>20 cos2 <i>αx, dy/dx </i>= 0 at <i>x </i>=</p><p><i>v</i>20<i>g</i></p><p>sin<i>α </i>cos<i>α,</i></p><p><i>y </i>= <i>y</i>0 +<i>v</i>20<i>g</i></p><p>sin2 <i>α− g</i>2<i>v</i>20 cos2 <i>α</i></p><p>(<i>v</i>20 sin<i>α </i>cos<i>α</i></p><p><i>g</i></p><p>)2= <i>y</i>0 +</p><p><i>v</i>202<i>g</i></p><p>sin2 <i>α</i></p><p><b>44. </b><i>α </i>= <i>π/</i>4<i>, y</i>0 = 3<i>, x </i>= <i>v</i>0<i>t/√</i>2<i>, y </i>= 3 + <i>v</i>0<i>t/</i></p><p><i>√</i>2<i>− </i>16<i>t</i>2</p><p><b>(a) </b>Assume the ball passes through <i>x </i>= 391<i>, y </i>= 50, then 391 = <i>v</i>0<i>t/√</i>2<i>, </i>50 = 3 + 391<i>− </i>16<i>t</i>2<i>,</i></p><p>16<i>t</i>2 = 344<i>, t </i>=<i>√</i>21<i>.</i>5<i>, v</i>0 =</p><p><i>√</i>2<i>x/t ≈ </i>119<i>.</i>2538820 ft/s</p><p><b>(b)</b><i>dy</i></p><p><i>dt</i>=</p><p><i>v</i>0<i>√</i>2<i>− </i>32<i>t </i>= 0 at <i>t </i>= <i>v</i>0</p><p>32<i>√</i>2<i>, y</i>max = 3+</p><p><i>v</i>0<i>√</i>2</p><p><i>v</i>0</p><p>32<i>√</i>2<i>− </i>16 <i>v</i></p><p>20</p><p>211= 3+</p><p><i>v</i>20128</p><p><i>≈ </i>114<i>.</i>1053779 ft</p><p><b>(c) </b><i>y </i>= 0 when <i>t </i>=<i>−v</i>0<i>/</i></p><p><i>√</i>2<i>±</i></p><p>√<i>v</i>20<i>/</i>2 + 192</p><p><i>−</i>32 <i>, t ≈ −</i>0<i>.</i>035339577 (discard) and 5<i>.</i>305666365,dist = 447<i>.</i>4015292 ft</p><p><b>45. (a) </b><i>V </i>=∫ <i>√a</i>2+<i>b</i>2<i>a</i></p><p><i>π</i>(<i>b</i>2<i>x</i>2<i>/a</i>2 <i>− b</i>2) <i>dx</i></p><p>=<i>πb</i>2</p><p>3<i>a</i>2(<i>b</i>2 <i>− </i>2<i>a</i>2)</p><p>√<i>a</i>2 + <i>b</i>2 +</p><p>23<i>ab</i>2<i>π</i></p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p><p><b>(b) </b><i>V </i>= 2<i>π</i>∫ <i>√a</i>2+<i>b</i>2<i>a</i></p><p><i>x</i>√</p><p><i>b</i>2<i>x</i>2<i>/a</i>2 <i>− b</i>2 <i>dx </i>= (2<i>b</i>4<i>/</i>3<i>a</i>)<i>π</i></p><p><i>x</i></p><p><i>y</i></p></div></div><div><div><p><b>522 Chapter 11</b></p><p><b>46. (a)</b><i>x</i>2</p><p>225<i>− y</i></p><p>2</p><p>1521= 1, so <i>V </i>= 2</p><p>∫ <i>h/</i>20</p><p>225<i>π</i>(1 +</p><p><i>y</i>2</p><p>1521</p><p>)<i>dy </i>=</p><p>252028</p><p><i>πh</i>3 + 225<i>πh </i>ft3.</p><p><b>(b) </b><i>S </i>= 2∫ <i>h/</i>20</p><p>2<i>πx</i>√</p><p>1 + (<i>dx/dy</i>)2 <i>dy </i>= 4<i>π</i>∫ <i>h/</i>20</p><p>√√√√225 + <i>y</i>2(</p><p>2251521</p><p>+(</p><p>2251521</p><p>)2)<i>dy</i></p><p>=5<i>πh</i>338</p><p>√1028196 + 194<i>h</i>2 +</p><p>7605<i>√</i>194</p><p>97<i>π </i>ln</p><p>[<i>√</i>194<i>h</i>+</p><p><i>√</i>1028196 + 194<i>h</i>2</p><p>1014</p><p>]ft2</p><p><b>47. </b>cot 2<i>θ </i>=<i>A− CB</i></p><p>= 0<i>, </i>2<i>θ </i>= <i>π/</i>2<i>, θ </i>= <i>π/</i>4<i>, </i>cos <i>θ </i>= sin <i>θ </i>=<i>√</i>2<i>/</i>2<i>, </i>so</p><p><i>x </i>= (<i>√</i>2<i>/</i>2)(<i>x′ − y′</i>)<i>, y </i>= (</p><p><i>√</i>2<i>/</i>2)(<i>x′ </i>+ <i>y′</i>)<i>,</i></p><p>12<i>x′</i>2 <i>− </i>5</p><p>2<i>y′</i>2 + 3 = 0, hyperbola</p><p><b>48. </b>cot 2<i>θ </i>= (7<i>− </i>5)<i>/</i>(2<i>√</i>3) = 1<i>/</i></p><p><i>√</i>3<i>, </i>2<i>θ </i>= <i>π/</i>3<i>, θ </i>= <i>π/</i>6 then the transformed equation is</p><p>8<i>x′</i>2 + 4<i>y′</i>2 <i>− </i>4 = 0, ellipse</p><p><b>49. </b>cot 2<i>θ </i>= (4<i>√</i>5<i>−</i></p><p><i>√</i>5)<i>/</i>(4</p><p><i>√</i>5) = 3<i>/</i>4, so cos 2<i>θ </i>= 3<i>/</i>5 and thus cos <i>θ </i>=</p><p>√(1 + cos 2<i>θ</i>)<i>/</i>2 = 2<i>/</i></p><p><i>√</i>5 and</p><p>sin <i>θ </i>=√(1<i>− </i>cos 2<i>θ</i>)<i>/</i>2 = 1<i>/</i></p><p><i>√</i>5. Hence the transformed equation is 5</p><p><i>√</i>5<i>x′</i>2<i>−</i>5</p><p><i>√</i>5<i>y′ </i>= 0, parabola</p><p><b>50. </b>cot 2<i>θ </i>= (17<i>− </i>108)<i>/</i>(<i>−</i>312) = 7<i>/</i>24. Use the methods of Example 4 of Section 11.5 to obtaincos <i>θ </i>= 4<i>/</i>5<i>, </i>sin <i>θ </i>= 3<i>/</i>5<i>, </i>and the new equation is<i>−</i>100<i>x′</i>2 + 225<i>y′</i>2 <i>− </i>1800<i>y′ </i>+ 4500 = 0, which, upon completing the square, becomes<i>− </i>49<i>x′</i>2 + (<i>y′ − </i>4)2 + 4 = 0, or 19<i>x′</i>2 <i>− </i>14 (<i>y′ − </i>4)2 = 1.Thus center at (0<i>, </i>4), <i>c</i>2 = 9 + 4 = 13<i>, c </i>=</p><p><i>√</i>13, so vertices at (<i>−</i>3<i>, </i>4) and (3<i>, </i>4); foci at (<i>±</i></p><p><i>√</i>13<i>, </i>4)</p><p>and asymptotes <i>y</i>1 <i>− </i>4 = 23<i>x</i>1.</p><p><b>51. (a) </b><i>r </i>=1<i>/</i>3</p><p>1 + 13 cos <i>θ</i>, ellipse, right of pole, distance = 1</p><p><b>(b) </b>hyperbola, left of pole, distance = 1<i>/</i>3</p><p><b>(c) </b><i>r </i>=1<i>/</i>3</p><p>1 + sin <i>θ</i>, parabola, above pole, distance = 1<i>/</i>3</p><p><b>(d) </b>parabola, below pole, distance = 3</p><p><b>52. (a)</b><i>c</i></p><p><i>a</i>= <i>e </i>=</p><p>27and 2<i>b </i>= 6<i>, b </i>= 3<i>, a</i>2 = <i>b</i>2 + <i>c</i>2 = 9 +</p><p>449</p><p><i>a</i>2<i>,</i>4549</p><p><i>a</i>2 = 9<i>, a </i>=7<i>√</i>5<i>,</i></p><p>549</p><p><i>x</i>2 +19<i>y</i>2 = 1</p><p><b>(b) </b><i>x</i>2 = <i>−</i>4<i>py</i>, directrix <i>y </i>= 4, focus (<i>−</i>4<i>, </i>0)<i>, </i>2<i>p </i>= 8<i>, x</i>2 = <i>−</i>16<i>y<b></b></i><b>(c) </b>For the ellipse, <i>a </i>= 4<i>, b </i>=</p><p><i>√</i>3<i>, c</i>2 = <i>a</i>2 <i>− b</i>2 = 16<i>− </i>3 = 13, foci (<i>±</i></p><p><i>√</i>13<i>, </i>0);</p><p>for the hyperbola, <i>c </i>=<i>√</i>13<i>, b/a </i>= 2<i>/</i>3<i>, b </i>= 2<i>a/</i>3<i>, </i>13 = <i>c</i>2 = <i>a</i>2 + <i>b</i>2 = <i>a</i>2 +</p><p>49<i>a</i>2 =</p><p>139<i>a</i>2<i>,</i></p><p><i>a </i>= 3<i>, b </i>= 2<i>,x</i>2</p><p>9<i>− y</i></p><p>2</p><p>4= 1</p></div></div><div><div><p><b>Review Exercise Set 523</b></p><p><b>53. (a) </b><i>e </i>= 4<i>/</i>5 = <i>c/a, c </i>= 4<i>a/</i>5, but <i>a </i>= 5 so <i>c </i>= 4<i>, b </i>= 3<i>,</i>(<i>x</i>+ 3)2</p><p>25+</p><p>(<i>y − </i>2)29</p><p>= 1</p><p><b>(b) </b>directrix <i>y </i>= 2<i>, p </i>= 2<i>, </i>(<i>x</i>+ 2)2 = <i>−</i>8<i>y</i></p><p><b>(c) </b>center (<i>−</i>1<i>, </i>5), vertices (<i>−</i>1<i>, </i>7) and (<i>−</i>1<i>, </i>3)<i>, a </i>= 2<i>, a/b </i>= 8<i>, b </i>= 1<i>/</i>4<i>, </i>(<i>y − </i>5)2</p><p>4<i>−</i>16(<i>x</i>+1)2 = 1</p><p><b>54. </b><i>C </i>= 4∫ <i>π/</i>20</p><p>[(<i>dx</i></p><p><i>dt</i></p><p>)2+(<i>dy</i></p><p><i>dt</i></p><p>)2]1<i>/</i>2<i>dt </i>= 4</p><p>∫ <i>π/</i>20</p><p>(<i>a</i>2 sin2 <i>t</i>+ <i>b</i>2 cos2 <i>t</i>)1<i>/</i>2 <i>dt</i></p><p>= 4∫ <i>π/</i>20</p><p>(<i>a</i>2 sin2 <i>t</i>+ (<i>a</i>2 <i>− c</i>2) cos2 <i>t</i>)1<i>/</i>2 <i>dt </i>= 4<i>a</i>∫ <i>π/</i>20</p><p>(1<i>− e</i>2 cos2 <i>t</i>)1<i>/</i>2 <i>dt</i></p><p>Set <i>u </i>=<i>π</i></p><p>2<i>− t, C </i>= 4<i>a</i></p><p>∫ <i>π/</i>20</p><p>(1<i>− e</i>2 sin2 <i>t</i>)1<i>/</i>2 <i>dt</i></p><p><b>55. </b><i>a </i>= 3<i>, b </i>= 2<i>, c </i>=<i>√</i>5<i>, C </i>= 4(3)</p><p>∫ <i>π/</i>20</p><p>√1<i>− </i>(5<i>/</i>9) cos2 <i>u du ≈ </i>15<i>.</i>86543959</p><p><b>56. (a)</b><i>r</i>0<i>r</i>1</p><p>=5961</p><p>=1<i>− e</i>1 + <i>e</i></p><p><i>, e </i>=160</p><p><b>(b) </b><i>a </i>= 93<i>× </i>106<i>, r</i>0 = <i>a</i>(1<i>− e</i>) =5960(93<i>× </i>106) = 91<i>,</i>450<i>,</i>000 mi</p><p><b>(c) </b><i>C </i>= 4<i>× </i>93<i>× </i>106∫ <i>π/</i>20</p><p>[1<i>−</i></p><p>(cos <i>θ</i>60</p><p>)2]1<i>/</i>2<i>dθ ≈ </i>584<i>,</i>295<i>,</i>652<i>.</i>5 mi</p></div></div></div></div></div></div></div></div><div><div><div><div></div></div></div></div></main><div><div><div><div></div></div></div></div><div><div><div><div><div><div><div><div><div><div></div></div><div><div></div></div></div></div></div></div></div><div><div><div><div><div><div><div></div></div><div><div></div></div></div></div></div></div></div><div><div><div><div><div><div><div></div></div><div><div></div></div></div></div></div></div></div><div><div><div><div><div><div><div></div></div><div><div></div></div></div></div></div></div></div><div><div><div><div><div><div><div></div></div><div><div></div></div></div></div></div></div></div><div><div><div><div><div><div><div></div></div><div><div></div></div></div></div></div></div></div></div></div></div><div><div><div><div><div><div><div><div><div><div></div></div><div><div></div></div></div></div></div></div></div><div><div><div><div><div><div><div></div></div><div><div></div></div></div></div></div></div></div><div><div><div><div><div><div><div></div></div><div><div></div></div></div></div></div></div></div><div><div><div><div><div><div><div></div></div><div><div></div></div></div></div></div></div></div><div><div><div><div><div><div><div></div></div><div><div></div></div></div></div></div></div></div></div></div></div></aside></div></div></div></div></div></div></div></div></body>
Jan 11, 2017 Curso de f´u131sica ba´sica 1: Mecau2c6nica H. Moyse´s Nussenzveig [email protected] Compilado dia Neste documento se encontra as soluc¸ou2dces do 1u25e6 e 2u25e6 cap´u131tulo do volume 1 do livro de f´u131sica ba´sica do Moyse´s Nussenzveig.
Páginas: 396 (98873 palavras)Publicado: 21 de maio de 2013
HTTP://PHYSICSACT.WORDPRESS.COM
Chapter 21 The Electric Field 1: Discrete Charge Distributions
Conceptual Problems
*1 •• Similarities: The force between charges and masses varies as 1/r2. The force is directly proportional to the product of the charges or masses.
Differences: There are positive and negative charges but only positive masses. Like charges repel; like masses attract.
Thegravitational constant G is many orders of magnitude smaller than the Coulomb constant k. 2 • Determine the Concept No. In order to charge a body by induction, it must have charges that are free to move about on the body. An insulator does not have such charges. 3 •• Determine the Concept During this sequence of events, negative charges are attracted from ground to the rectangular metal plate B.When S is opened, these charges are trapped on B and remain there when the charged body is removed. Hence B is negatively charged and (c) is correct. 4 •• (a) Connect the metal sphere to ground; bring the insulating rod near the metal sphere and disconnect the sphere from ground; then remove the insulating rod. The sphere will be negatively charged. (b) Bring the insulating rod in contact with themetal sphere; some of the positive charge on the rod will be transferred to the metal sphere. (c) Yes. First charge one metal sphere negatively by induction as in (a). Then use that negatively charged sphere to charge the second metal sphere positively by induction.
1
2
Chapter 21
*5 •• Determine the Concept Because the spheres are conductors, there are free electrons on them thatwill reposition themselves when the positively charged rod is brought nearby. (a) On the sphere near the positively charged rod, the induced charge is negative and near the rod. On the other sphere, the net charge is positive and on the side far from the rod. This is shown in the diagram. (b) When the spheres are separated and far apart and the rod has been removed, the induced charges aredistributed uniformly over each sphere. The charge distributions are shown in the diagram. 6 • Determine the Concept The forces acting on +q are shown in the diagram. The force acting on +q due to −Q is along the line joining them and directed toward −Q. The force acting on +q due to +Q is along the line joining them and directed away from +Q. Because charges +Q and −Q are equal in magnitude, the forcesdue to these charges are equal and their sum (the net force on +q) will be to the right and so (e) is correct. Note that the vertical components of these forces add up to zero. *7 • Determine the Concept The acceleration of the positive charge is given by
r r F q0 r a= = E . Because q0 and m are both positive, the acceleration is in the same m m direction as the electric field. (d ) is correct.*8 • r Determine the Concept E is zero wherever the net force acting on a test charge is zero. At the center of the square the two positive charges alone would produce a net electric field of zero, and the two negative charges alone would also produce a net electric field of zero. Thus, the net force acting on a test charge at the midpoint of the
The Electric Field 1: Discrete ChargeDistributions
square will be zero. (b) is correct. 9 •• (a) The zero net force acting on Q could be the consequence of equal collinear charges being equidistant from and on opposite sides of Q. (b) The charges described in (a) could be either positive or negative and the net force on Q would still be zero.
3
(c) Suppose Q is positive. Imagine a negative charge situated to its right and a largerpositive charge on the same line and the right of the negative charge. Such an arrangement of charges, with the distances properly chosen, would result in a net force of zero acting on Q. (d) Because none of the above are correct, (d ) is correct. 10 • Determine the Concept We can use the rules for drawing electric field lines to draw the electric field lines for this system. In the sketch to the...
Chapter 21 The Electric Field 1: Discrete Charge Distributions
Conceptual Problems
*1 •• Similarities: The force between charges and masses varies as 1/r2. The force is directly proportional to the product of the charges or masses.
Differences: There are positive and negative charges but only positive masses. Like charges repel; like masses attract.
Thegravitational constant G is many orders of magnitude smaller than the Coulomb constant k. 2 • Determine the Concept No. In order to charge a body by induction, it must have charges that are free to move about on the body. An insulator does not have such charges. 3 •• Determine the Concept During this sequence of events, negative charges are attracted from ground to the rectangular metal plate B.When S is opened, these charges are trapped on B and remain there when the charged body is removed. Hence B is negatively charged and (c) is correct. 4 •• (a) Connect the metal sphere to ground; bring the insulating rod near the metal sphere and disconnect the sphere from ground; then remove the insulating rod. The sphere will be negatively charged. (b) Bring the insulating rod in contact with themetal sphere; some of the positive charge on the rod will be transferred to the metal sphere. (c) Yes. First charge one metal sphere negatively by induction as in (a). Then use that negatively charged sphere to charge the second metal sphere positively by induction.
1
2
Chapter 21
*5 •• Determine the Concept Because the spheres are conductors, there are free electrons on them thatwill reposition themselves when the positively charged rod is brought nearby. (a) On the sphere near the positively charged rod, the induced charge is negative and near the rod. On the other sphere, the net charge is positive and on the side far from the rod. This is shown in the diagram. (b) When the spheres are separated and far apart and the rod has been removed, the induced charges aredistributed uniformly over each sphere. The charge distributions are shown in the diagram. 6 • Determine the Concept The forces acting on +q are shown in the diagram. The force acting on +q due to −Q is along the line joining them and directed toward −Q. The force acting on +q due to +Q is along the line joining them and directed away from +Q. Because charges +Q and −Q are equal in magnitude, the forcesdue to these charges are equal and their sum (the net force on +q) will be to the right and so (e) is correct. Note that the vertical components of these forces add up to zero. *7 • Determine the Concept The acceleration of the positive charge is given by
r r F q0 r a= = E . Because q0 and m are both positive, the acceleration is in the same m m direction as the electric field. (d ) is correct.*8 • r Determine the Concept E is zero wherever the net force acting on a test charge is zero. At the center of the square the two positive charges alone would produce a net electric field of zero, and the two negative charges alone would also produce a net electric field of zero. Thus, the net force acting on a test charge at the midpoint of the
The Electric Field 1: Discrete ChargeDistributions
square will be zero. (b) is correct. 9 •• (a) The zero net force acting on Q could be the consequence of equal collinear charges being equidistant from and on opposite sides of Q. (b) The charges described in (a) could be either positive or negative and the net force on Q would still be zero.
3
(c) Suppose Q is positive. Imagine a negative charge situated to its right and a largerpositive charge on the same line and the right of the negative charge. Such an arrangement of charges, with the distances properly chosen, would result in a net force of zero acting on Q. (d) Because none of the above are correct, (d ) is correct. 10 • Determine the Concept We can use the rules for drawing electric field lines to draw the electric field lines for this system. In the sketch to the...